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1、(七) 第七章 立体几何 （120分钟 150分),一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.一个容器的外形是一个棱长为2的正方体，其三视图如图所示，则容器的容积为( )(A) (B)2 (C)8 (D),【解析】选A.由三视图可知，几何体为正方体内倒置的圆 锥，故其体积为 122= ,即容积为 .,2.(2011台州模拟)把由曲线y=|x|和y=2围成的图形绕x轴旋转360,所得旋转体的体积为( )【解题提示】弄清旋转后形成的几何体的构成特点是解题的关键.,【解析】选D.由题意，如题干图，y=|x|和y=2围成图中阴影 部分
2、的图形，旋转体为一个圆柱挖去两个相同的共顶点的圆 锥. V圆柱=224=16, 2V圆锥=2 222= , 所求几何体的体积为,3.如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS所成的角是60的一个图是( ),【解析】选D.利用中位线定理转化为求正方体的棱和面对角线或面对角线与面对角线所成的角，易知PQ与RS所成的角， A图90，B图0，C图45，D图60.,4.一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面 面积之比为49，则此棱锥被分成的上下两部分体积之比 为( ) (A)23 (B)827 (C)819 (D)817 【解析】选C.截面与底面相似，其相
3、似比为23，上面小棱锥的高与原棱锥的高之比是23，小棱锥的体积与原棱锥的体积之比为827，所求上下两部分体积之比为8(27-8)=819.,【解析】,6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱BB1的中点，则异面直线AM与BD1所成角的余弦值是( )【解题提示】合理建立坐标系，求出 的坐标， 进而得出AM与BD1所成角的余弦值.,【解析】选D.如图，建立空间直角坐标系，且设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，故异面直线AM与BD1所成角的余弦值是 .,7.已知圆柱的母线长等于底面圆的直径，其体积为16， 则其外接球的表面积为( ) (A)32 (B)64 (C)
4、 (D)128 【解题提示】先根据题意，求出圆柱的母线长和底面圆的半径，进而求出球的半径和球的表面积.,【解析】选A.设圆柱的底面圆的半径为r，则其母线长为2r, 则r22r=16,r=2， 设球的半径为R，则(2R)2=42+42，R2=8， S球=4R2=32.,8.(2011揭阳模拟)右图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题： 点M到AB的距离为 ； 三棱锥C-DNE的体积是 ； AB与EF所成的角是 . 其中正确命题的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3,【解析】选D.依题意可作出正方体的直观图， 显然M到AB的距离为 正确， 而 正确， AB
5、与EF所成角为AB与MC所成的角，即为 ， 正确.,9.(2011苏州模拟)如图，在正三棱 柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点. 若截面BC1D是面积为6的直角三角 形，则此三棱柱的体积为( ) (A)12 (B) (C) (D)36 【解题提示】设出底面边长和高，根据题中的垂直关系和面积列方程组.,【解析】选B.设AC=a,CC1=b,则由题意，得C1D=BD,10.如图，正四面体ABCD的棱长为1，G是ABC的中心，M在线段DG上，且AMB=90，则GM的长为( )【解题提示】由题意可判断AMB为等腰直角三角形，由此求出AM的长，进而可得GM的长.,【解析】选D.G是边长为1的等边
6、ABC的中心 GA=GB= ，MG平面ABC， 易得RtMAGRtMBG,MA=MB， AMB=90，AB=1，,11.如图，在三棱锥S-ABC中，SAB=SAC=ACB=90. AC=2，BC=4，SB= ，则直线AB与平面SBC所成角的正 弦值是( )【解题提示】可以利用题目中的垂直关系，找点A在平面SBC内的射影，进一步找出线面角，解三角形求其正弦值.,【解析】选D.如图所示，由题意，SA平面ACB. SABC,又BCAC， BC平面SAC. 在平面SAC内作ADSC， 则BCAD. AD平面SCB，连接BD，则ABD就是直线AB与平面SBC所成的角.,12.二面角的棱上有A、B两点，直
7、线AC、BD分别在这个二 面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6， BD=8，CD= ，则该二面角的大小为( ) (A)150 (B)45 (C)60 (D)120 【解题提示】画出图形，根据图形选取基向量，用向量法求角.,【解析】,二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上) 13.如图，点O为正方体ABCD-ABCD的中心，点E为面BBCC的中心，点F为BC的中点，则空间四边形DOEF在该正方体的面上的正投影可能是_(填出所有可能的序号).,【解析】正方体有三对互相平行的平面，空间四边形DOEF在前后面上的正投影是图，在左右面上的正投影
8、是，在上下面上的正投影是. 答案：,14.(2011福州模拟)四边形ABCD中，A(0,0),B(1,0), C(2,1),D(0,3),绕y轴旋转一周，则所得旋转体的体积 为_.,【解析】答案：5,15.已知m,n为直线，,为平面，给出下列命题：其中正确命题的序号是_.,【解析】由m,mnn 或n, 错误； 由线面垂直的性质可知正确； 垂直于同一直线的两个平面平行. 正确. 当m,n,时，m与n可能平行，也可能异面, 错误. 答案：,16.中心角为 ，面积为S1的扇形围成一个圆锥，若圆锥的 底面积为S2，则 =_. 【解题提示】利用扇形的弧长等于围成圆锥的底面圆的周长列方程，探求扇形的半径和
9、底面圆的半径的关系.,【解析】设扇形的半径为R，弧长为l，则,设围成圆锥的底面半径为r,则答案：,三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90. (1)求证：PCBC； (2)求四棱锥P-ABCD的体积.,【解析】(1)因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC. 由BCD=90，得CDBC， 又PDDC=D，PD、DC平面PCD， 所以BC平面PCD. 因为PC平面PCD，故PCBC.,(2)由题意知，四棱锥P-ABCD的
10、高为PD=1，底面为直角梯形.,18.(12分)已知等腰直角三角形RBC，其中RBC90，RBBC2.点A、D分别是RB、RC的中点，现将RAD沿着边AD折起到PAD位置，使PAAB，连结PB、PC. (1)求证：BCPB； (2)求二面角A-CD-P的余弦值.,【解析】(1)点A、D分别是RB、RC的中点， ADBC且AD BC. PADRADRBC90.PAAD， 又PAAB,DAAB=A， PA平面ABCD，PABC， BCAB,PAAB=A, BC平面PAB. PB平面PAB， BCPB.,(2)建立如图所示的空间直角坐标系.则D(1,0，0)，C(2,1，0)，P(0,0，1). (
11、1,1，0)， (1,0，1)，,设平面PCD的一个法向量为 =(x,y,z)，则令x=1,得y=1,z=-1, =(1,1,-1). 显然， 是平面ACD的一个法向量, =(0，0，-1).二面角A-CD-P的平面角为锐角， 二面角A-CD-P的余弦值是 .,【解析】,20.(12分)(2011哈尔滨模拟)已知 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形， 且PD底面ABCD，其中PD=AD=a. (1)求二面角A-PB-D的大小； (2)在线段PB上是否存在一点E，使PC平面ADE.若存在，试确定E点的位置；若不存在，请说明理由.,【解析】(1)方法一：连结AC，设AC交BD于点O， ACB
12、D，ACPD，BDPD=D, AC平面PBD， 过O点在平面PBD内作OFPB于点F， AOPB且OFAO=O, PB平面AOF， AF平面AOF， AFPB.,则OFA是二面角A-PB-D的平面角. 又ABPA，PA= a，AB=a,PB= a,OFA=60,二面角A-PB-D的大小为60.,方法二：建立如图所示的空间直角坐标系， PD=AD=a且ABCD为正方形， D(0，0，0)，A(a,0,0), B(a,a,0),P(0,0,a),设平面PAB的一个法向量为 =(xm,ym,zm),令xm=1，则 =(1,0,1). 设平面PBD的一个法向量为 =(xn,yn,zn)，,则 =(1,
13、-1,0), 令 的夹角为, 则 显然二面角A-PB-D的平面角为锐角， 二面角A-PB-D的大小为60.,(2)假设在线段PB上存在一点E，使PC平面ADE. 则PCDE，PCAD. 取PC中点H,连结EH、DH, PD=AD=DC,且PDDC,DHPC, PC平面DEH,PCEH. PCAD，ADBC,PCBC. EHBC，H为PC中点,E为PB中点. 即在线段PB上存在它的中点E，使PC平面ADE.,21.(12分)(2010广东高考)如图， 是半径为a的半圆， AC为直径，点E为 的中点，点B和点C为线段AD的三等分 点，平面AEC外一点F满足FB=FD= a,FE= a.,(1)证明
14、：EBFD； (2)已知点Q，R分别为线段FE，FB上的点，使得FQ= FE， FR= FB，求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值. 【解题提示】题中已知边长较多，可考虑运用勾股定理的逆定理证垂直，同时注意半圆等分点的应用，要求二面角，可根据题目条件找角计算，也可建系，用向量法求解.,【解析】方法一：(1)E为 中点，AB=BC，AC为直径，EBAD. EF2=6a2=( a)2+a2=BF2+BE2,EBFB. 又BFBD=B，EB平面BDF. FD平面BDF， EBFD. (2)过D作HDQR. FQ= FE，FR= FB，,QREB，HDEB. 又D平面BED平面RQD， HD为平
15、面BED与平面RQD的交线. BD，RD平面BDF，EB平面BDF， HDBD，HDRD. RDB为平面BED与平面RQD所成二面角的平面角. 连结FC， FB=FD，BC=CD，FCBD.,方法二：(1)同方法一 (2)如图，以B为原点， 的方向为x轴正方向， 的方向为y轴正方向，过B作平面BEC的垂线，建立空间直角坐标系，由此得,B(0，0，0)，C(0，a,0),D(0,2a,0),E(a,0,0). FD=FB,BC=CD,FCBD. 又EB平面BDF， BEFC，FC平面EBC， FC=2a，F(0，a,2a). FQ= FE,FR= FB,设平面RQD的一个法向量为 =(x,y,z),则 =(0,2,5). 平面BED的一个法向量为 =(0,0,1),平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为 .,
