《大一高等数学重点讲解课件完整版（第七章以后）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大一高等数学重点讲解课件完整版（第七章以后）（311页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七章 定积分的应用与广义积分,7.1 定积分的微元法,1 定积分的微元法描述,其描述过程可分为下面几步,(1) 在 a , b 内插入分点:,将曲边梯形分成几个小曲边梯形Ai ,(问题具有可加性),(2) 近似:,(3) 求和精确化:,第一步说明: 问题具有可加性,第二步的特征:,则,记,若记,即 Ai 用所求量 A 关于自变量 x 的微分近似,第三步说明:,即,20 定积分的微元法,7.2 几何应用,1平面图形面积的计算,1、直角坐标系下的面积公式,解,(1) 作草图选取积分变量,从图形可知选取 x 为积分变量,(3) 计算积分,(2) 求两曲线的交点, 确定积分区间,从而确定积分区间:
2、-2 , 4 ,例 计算由曲线 x=2y2 和 x =1+y2 所围成的图形面积,解,(1)作草图, 选取 y 为积分变量,(2)求两曲线的交点, 确定积分区间,得 y = -1, y =1 , 积分区间-1 ,1,解联立方组：,说明:,当 y0 = 3 时 , x0 = 2,两边对 x 求导得,令 x =2 ，y =3 得,切线方程,即,选取 y 为积分变量,解,解,2、参数方程表示的图形面积的计算,则 a b , t = -1(x),说明: 若 (t) 单调减 , 则上积分上、下限倒一下,所成曲边梯形的面积,解,在 0，2 上单调增 ,利用式（2）有,解,M,S1,S2,由于,令,由于,当
3、 时， 取最大值，,3、极坐标系下图形面积的计算,设 r = r() , , r() 在 , 上连续 ,设 , +上曲边扇形的面积为A,由于 r() 连续 , 若记,两边积分得,(1),例 求心脏线 所围图形的面积.,A1,解,画出草图 , 如图所示,确定 的变化范围 0 2,由对称性知 A=2A1 ,所以,例 求平面区域 的面积,解,画出草图, 如图所示,图形关于极轴 r 对称 A= 2A1,A1,求 与 的交点,解,得, 积分区间,例 求双纽线 所围图形的面积,解,将曲线化为极坐标方程有, 的变化范围为 (第一象限部分),2 平面曲线弧长的计算,(3),所以有,作为公式（3）的特殊情形:,
4、注意: 公式 (4) 、(5) 中, 积分下限 积分上限 ,注意: 公式 (3) 中, 积分下限 积分上限 ,例 求曲线 的全长 .,先确定参数 t 的变化范围,由,所以曲线的定义域为,又,解,利用公式 (3) , 有,例 求曲线 的弧长,解,解,3已知平行截面积的立体体积的计算,x+x,记,由于A (x) 连续,故知,（6）,所以有计算公式,例,如图所示, 建立坐标系,在 -R , R 上任取一点 x,解,所以 , 有,4 旋转体的体积计算,旋转体:,(7),同理可得:,(8),(10),(9),解,画出草图, 选取 x 为积分变量 , 积分区间为 -1 , 1 .,所以 , 所围图形的面积
5、,所围图形绕 x 轴旋转的旋转体体积 :,解,要使容器底面露出来 , 至少使 c = 0,当 时, 容器的底面会露出来,解,A 的图形如图所示 .,A 的边界线方程为,A 在 y 轴上的投影区间为 0 , 1,在 0 ，1 上任取一小区间 y , y + dy ,则对应于该小区间的薄片的体积微元为,所以体积:,解,平面图形如图所示,在 0 , a 内任取一小区间 x , x+dx ,则对应于该小区间的薄片的体积微元,-a a,所以所求体积 :,7.2 几何应用,1平面图形面积的计算,1、直角坐标系下的面积公式,解,(1) 作草图选取积分变量,从图形可知选取 x 为积分变量,(3) 计算积分,(
6、2) 求两曲线的交点, 确定积分区间,从而确定积分区间: -2 , 4 ,例 计算由曲线 x=2y2 和 x =1+y2 所围成的图形面积,解,(1)作草图, 选取 y 为积分变量,(2)求两曲线的交点, 确定积分区间,得 y = -1, y =1 , 积分区间-1 ,1,解联立方组：,说明:,当 y0 = 3 时 , x0 = 2,两边对 x 求导得,令 x =2 ，y =3 得,切线方程,即,选取 y 为积分变量,解,解,2、参数方程表示的图形面积的计算,则 a b , t = -1(x),说明: 若 (t) 单调减 , 则上积分上、下限倒一下,所成曲边梯形的面积,解,在 0，2 上单调增
7、 ,利用式（2）有,解,M,S1,S2,由于,令,由于,当 时， 取最大值，,3、极坐标系下图形面积的计算,设 r = r() , , r() 在 , 上连续 ,设 , +上曲边扇形的面积为A,由于 r() 连续 , 若记,两边积分得,(1),例 求心脏线 所围图形的面积.,A1,解,画出草图 , 如图所示,确定 的变化范围 0 2,由对称性知 A=2A1 ,所以,例 求平面区域 的面积,解,画出草图, 如图所示,图形关于极轴 r 对称 A= 2A1,A1,求 与 的交点,解,得, 积分区间,例 求双纽线 所围图形的面积,解,将曲线化为极坐标方程有, 的变化范围为 (第一象限部分),2 平面曲
8、线弧长的计算,(3),所以有,作为公式（3）的特殊情形:,注意: 公式 (4) 、(5) 中, 积分下限 积分上限 ,注意: 公式 (3) 中, 积分下限 1 , 收敛,解,例 计算,解,例 求,解,注意: 不能写成,例 计算,解,说明: 此例涉及了广义积分的分部积分法,若 存在 , 收敛 ,则,即,例 计算,解,例 计算,解,例 求曲线 的斜渐近线，并求此曲线与其斜渐近线所夹之无界区域的面积,解,曲线的斜渐近线为,又,所以面积,无穷区间广义积分的变量代换定理,例 计算,解,利用积分变量代换公式有,常义积分,例 求,解,例 证明: , 并求之.,解 令,则有,20 无界函数的广义积分,定义,说
9、明:,其中 b 代入是左极限,即,若 a 为奇点 , F(x) 为 f (x) 在 ( a , b 上的原函数 ,即,其中 a 代入是右极限,则有,例 讨论广义积分 的敛散性 ( q0 , ba ),解,显然 x = a 是奇点 .,当 q 1 时 ,收敛,发散,当 q = 1 时 ,发散,所以有,例 判别积分 的敛散性,解,因为 是奇点 , 所以积分是广义积分,由于,注意:,以下的解法是错误的,发散,发散,解,因为 是奇点 , 所以积分是广义积分,所以广义积分 收敛 , 且,说明:,此例涉及了无界函数广义积分的分部积分法,一般地 , 如果 x = b 是奇点 , 则有,若 存在 , 收敛 ,
