经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 ~ 1 ~ 熟能生巧熟能生巧 模型一：手拉手模型—全等 等边三角形 条件：OAB?,OCD?均为等边三角形 结论：①OACOBD??≌;②60AEB??? ③OE平分AED?（易忘） EODCBAABCDOEOABEABCD OE智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 ~ ~ 2 2 ~ ~ 锲而不舍锲而不舍 等腰RT? 条件：OAB?,OCD?均为等腰直角三角形 结论：①OACOBD??≌;②90AEB??? ③OE平分AED?（易忘） OABECDDCEBAOABEO导角核心图形 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 ~ 3 ~ 熟能生巧熟能生巧 任意等腰三角形 条件：OAB?,OCD?均为等腰三角形 且AOBCOD??? 结论：①OACOBD??≌;②AEBAOB??? ③OE平分AED?（易忘） 模型总结：核心图形如右图，核心条件如下： ①OAOB?，OCOD? ②AOBCOD??? OABCDEOABCD智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 ~ ~ 6 6 ~ ~ 锲而不舍锲而不舍 模型三：对角互补模型 （全等型—90°） 条件：①90AOBDCE????? ②OC平分AOB? 结论：①CDCE?；②2ODOEOC?? ③21 2ODCEOCDOCESSSOC????? 辅助线之一：作垂直，证明CDMCEN??≌ EDCBOANMAOBCDE经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 ~ 7 ~ 熟能生巧熟能生巧 条件：①90AOBDCE????? ②OC平分AOB? 结论：①CDCE?；②2ODOEOC?? ③21 2ODCEOCDOCESSSOC????? 辅助线之二：过点C作CFOC? 证明ODCFEC??≌ FAOBCDE智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 ~ ~ 8 8 ~ ~ 锲而不舍锲而不舍 当∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图 以上三个结论： （辅助线之一） ①CDCE?不变 ②2OEODOC??（重点） ③21 2OCEOCDSSOC????（难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 MNEDCBOA经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 ~ 9 ~ 熟能生巧熟能生巧 当∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图 以上三个结论： （辅助线之二） ①CDCE?不变 ②2OEODOC??（重点） ③21 2OCEOCDSSOC????（难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 FAOBCDE智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 ~ ~ 1010 ~ ~ 锲而不舍锲而不舍 细节变化：若将条件“OC平分AOB?”与结论“CDCE?”互换 条件：①90AOBDCE????? ②CDCE? 结论：①OC平分AOB?； ②2ODOEOC?? ③21 2ODCEOCDOCESSSOC????? EDCBOA经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 ~ 11 ~ 熟能生巧熟能生巧 （全等型—120°） 条件：①2120AOBDCE?? ??? ②OC平分AOB? 结论：①CDCE?；②ODOEOC?? ③23 4ODCEOCDOCESSSOC????? 请模仿（全等形—90°）辅助线之一完成证明 ODACEB智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 ~ ~ 1212 ~ ~ 锲而不舍锲而不舍 辅助线之二： 在OB上取一点F， 使O F O C? 证明OCF?为等边三角形（重要） 结论：①CDCE?；②ODOEOC?? ③23 4ODCEOCDOCESSSOC????? 必须熟练，自己独立完成证明 FBECADO经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 ~ 13 ~ 熟能生巧熟能生巧 当∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图 以上三个结论： （辅助线之二） ①____________________ ②_______________________（重点） ③________________________（难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 O DACE BF智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 ~ ~ 1414 ~ ~ 锲而不舍锲而不舍 （全等型—任意角?） 条件：①2AOB???,1802DCE????? ②CDCE? 结论：①OC平分AOB?； ②2cosODOEOC???? ③2sincosODCEOCDOCESSSOC??????? 难度较大，记得经常复习 OBECDA经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 ~ 15 ~ 熟能生巧熟能生巧 当∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图 以上三个结论： （辅助线之二） ①____________________ ②_______________________（重点） ③________________________（难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 请思考初始条件的变化，对模型的影响 OBECDA智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 ~ ~ 1616 ~ ~ 锲而不舍锲而不舍 （对角互补模型--相似型） 如图，若将条件“OC平分AOB?”去掉 条 件 ： ①90AOBDCE?????不 变 ，C O E???，结论中三个条件又该如何变化？ 结论：①tanCECD??； ②(tan)cosODOEOC???? ③221tantan2OCDOCESSOC?????? OA D CEBMNBECDAO经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 ~ 17 ~ 熟能生巧熟能生巧 证明：过点C作CFOC?，交OB于点F ∵90DCEOCF????? ∴DCOECF??? ∵180AOBDCE????? ∴180CDOCEO????? ∴CDOCEF??? ∴CDOCEF??∽ ∴tanEFCECF DOCDCO????（关键步） FOA D CEB智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 ~ ~ 1818 ~ ~ 锲而不舍锲而不舍 ∴结论①得证 ∴tanEFOD?? ∵() cosOEEFOC??? ∴结论②得证 ∴22()tanCEFCDOSCF SCO????? ∴2tanCEFCDOSS???? ∵OCECEFOCFSSS????? 且21tan2OCFSOC??? ∴结论③得证 难度非常大，请仔细认真复习 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 ~ 19 ~ 熟能生巧熟能生巧 对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补 两点注意：四点共圆和直角三角形斜边中线 ②初始条件：角平分线与两边相等的区别 ③常见两种辅助线的作法 ④注意下图中“OC平分AOB?” CDECEDCOACOB???????相 等 是 如何推导 EDCBOA智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 ~ ~ 2424 ~ ~ 锲而不舍锲而不舍 倍长中线类模型 条件：①矩形ABCD；②BDBE? ③DFEF? 结论：AFCF? 模型提取： ①有平行线ADBE∥ ②平行线间线段有中点DFEF? 可以构造 8 字全等ADFHEF??≌ HHBEFDAFEDCBA经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 ~ 25 ~ 熟能生巧熟能生巧 倍长中线类模型 条件：①平行四边形；ABCD②2BCAB?； ③AMDM?；④CEAD? 结论：3EMDMEA?? ? 辅助线:有平行ABCD∥，有中点AMDM? 延长EM， 构造AMEDMF??≌， 连接CM构造等腰EMC?,MCF? 通过构造 8 字全等线段数量及位置关系， 角的大小转化 FABCDEMMEDCBA智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 ~ ~ 3030 ~ ~ 锲而不舍锲而不舍 最短路程模型之一（将军饮马类） \ 总结： 以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到： “两点之间，线段最短”解决 特点：①动点在直线上；②起点，终点固定 PA+PQ+BQPA+PBl2l1B'A'QP BAPl B'BAAP+PQ+QBAP+PQ+QBl1l2A'QPBAlA'QP B'BA经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 ~ 31 ~ 熟能生巧熟能生巧 最短路程模型之二（点到直线类） 条件：如右图①OC平分AOB? ②M为OB上一定点 ③P为OC上动点 ④Q为OB上动点 求：MPPQ?最小时，P、Q的位置 辅助线：将作Q关于OC对称点'Q，转化'PQPQ?，过点M作MHOA? 'MPPAMPPQMH????（垂线段最短） HQ'QPMCBOAPA垂线段最短智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 ~ ~ 3232 ~ ~ 锲而不舍锲而不舍 最短路程模型之二（点到直线类） 条件：如图，点A、B为定点，P为动点 问题：点P在何处， 1 2BPAP?最短 结论：以A为顶点作30PAC???，过点P作PQAC?，转化1 2PQAP?,过点B作AC的垂线与AP的交点为所求（垂线段最短） 所求点定点动点定点CQABPllPBA经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 ~ 33 ~ 熟能生巧熟能生巧 最短路程模型之二（点到直线类） 条件：如图，点A、B为定点，P为动点 问题：点P在何处，2 2BPAP?最短 结论：以A为顶点作45PAC???，过点P作PQAC?，转化1 2PQAP?,过点B作AC的垂线与AP的交点为所求 所求点定点动点定点CQABPllPBA智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 ~ ~ 3434 ~ ~ 锲而不舍锲而不舍 最短路程模型之二（点到直线类） 条件：(0,4)A、( 2,0)B ?，(0, )Pn 问题：n为何值时，5 5PBPA?值最小 结论： ①x上取点(2,0)C， 使5s i n5O A C?? ②过点B作BDAC?， 交y轴于点E为所求 ③1tantan2EBOOAC????，即(0,1)E EDCABxyOPPOyxBA经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 ~ 35 ~ 熟能生巧熟能生巧 最短路程模型之三（旋转类最值模型） 条件：①线段4OA?,2OB?()OAOB? ②OB绕点O在平面内360?旋转 问题：AB的最大值，最小值分别为多少？ 结论：以点O为圆心，OB为半径作圆，如图所示， 将问题转化为 “三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” 最大值：OAOB?；最小值：OAOB? 最大值位置最小值位置BOA智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 ~ ~ 3636 ~ ~ 锲而不舍锲而不舍 最短路程模型之三（旋转类最值模型） 条件：①线段4OA?,2OB? ②以点O为圆心，OB，OC为半径作圆 ③点P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点 问题： 若PA的最大值为10，则6OC ? 若PA的最小值为1，则3OC ? 若PA的最小值为2，则PC的取值范围是 02PC?? PCAOB智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队。