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1、坐标平面上的直线知识点归纳坐标平面上的直线知识点归纳一、直线的倾斜角和斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着xx交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。注意：规定当直线和轴平行或重合时，其倾斜角为，所以直线的倾斜角的范xo0围是；oo1800（2）直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，o90tank斜率是用来表示倾斜角不等于的直线对于轴的倾斜程度的。o90x每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于轴x时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，
2、应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。 斜率计算公式：设经过和两点的直线的斜率为，),(11yxA),(22yxBk则当时，；当时，；斜率不存在；21xx 2121tanxxyyk21xx o90二、直线方程的几种形式：（1）点斜式：过已知点，且斜率为的直线方程：；),(00yxk)(00xxkyy注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为；0xx 表示：直线上除去的图形 。kxxyy00)(00xxkyy),(00yx（2）斜截式：若已知直线在轴上的截距为，斜率为，则直线方程：；ybkbkxy注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区
3、别。（3）两点式：若已知直线经过和两点，且（） ，则直线),(11yx),(22yx2121,yyxx的方程：；121121 xxxx yyyy 注意：不能表示与轴和轴垂直的直线；xy当两点式方程写成如下形式时，0)()(112112xxyyyyxx方程可以适应在于任何一条直线。（4）截距式：若已知直线在轴，轴上的截距分别是，（）则直线方xyab0, 0ba程：；1by ax注意：不能表示与轴垂直的直线，也不能表示与轴垂直的直线，特别是不能xy表示过原点的直线，要谨慎使用。（5）参数式：（ 为参数）其中方向向量为， btyyatxx00t),(ba； ),( 2222babbaa；abk 22
4、| batPPo 点对应的参数为，则；21,PP21,tt 2221 21| battPP （ 为参数）其中方向向量为， 的几何 sincos00 tyytxxt)sin,(cost意义为；斜率为；倾斜角为|oPPtan。)0(（6）一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：；（不同时为零）0CByAxBA,；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。注意：直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数是否为 0 才能确定。CBA,指出此时直线的方向向量：，),(AB ),(AB),( 2222BAABAB（单位向量）直线的法向量：；（与直线垂直的向量
5、）),(BA三、两直线的位置关系：位置关系 222111: bxkylbxkyl 0:0:22221111 CyBxAlCyBxAl平行，且21kk 21bb 212121 CC BB AA重合，且21kk 21bb 212121 CC BB AA相交21kk 2121 BB AA垂直121kk02121BBAA设两直线的方程分别为：或；当或 222111: bxkylbxkyl 0:0:22221111 CyBxAlCyBxAl 21kk 时它们相交，交点坐标为方程组或1221BABA 2211bxkybxky解； 00222111CyBxACyBxA注意：对于平行和重合，即它们的方向向量（
6、法向量）平行；如：),(),(2211BABA对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如0),(),(2211BABA若两直线的斜率都不存在，则两直线 平行 ；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 0 ，则两直线垂直。对于来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，02121BBAA此公式使用起来更方便斜率相等时，两直线平行(重合)；但两直线平行(重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。四、两直线的交角（1）到的角：把直线依逆时针方向旋转到与重合时所转的角；它是有向角，其范1l2l1l2l围是； 0注意：到的角与到的角是不一样的；旋转的方向是逆时针方向；1l2l2l1l绕“定
7、点”是指两直线的交点。（2）直线与的夹角：是指由与相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，1l2l1l2l它的取值范围是；20（3）设两直线方程分别为： 或 222111: bxkylbxkyl 0:0:22221111 CyBxAlCyBxAl若为到的角，或；1l2l1212 1tankkkk 21211221tanBBAABABA 若为和的夹角，则或；1l2l1212 1tankkkk 21211221tanBBAABABA 当或时，；0121kk02121BBAAo90注意：上述与有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂k直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处
8、理。直线到的角与和的夹角：或1l2l1l2l)2(；)2(五、点到直线的距离公式：设点和直线，点到 的距离为：),(00yxP0:CByAxlPl； 2200|BACByAxd 两平行线，的距离为：0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl2221|BACCd ；六、直线系：（1）设直线，经过的交点0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl21,ll的直线方程为（除去） ；0)(222111CyBxACyBxA2l如：，即也就是过与的交点除去011kxykxy01y0x) 1 , 0(的直线方程。0x注意：推广到过曲线与的交点的方程为：0),(1yxf0),(2yxf；0)()(2
9、1xfxf（2）与平行的直线为；0:CByAxl0CByAx（3）与垂直的直线为；0:CByAxl0CAyBx七、对称问题：（1）中心对称：点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点关于的对称),(baA),(dcC点)2 ,2(bdac直线关于点的对称：、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；、求出一个对称点，在利用由点斜式得出直线方程；21/ll、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与已知直线关于点对称的直线的方程。0632:1 yxl) 1, 1 ( P2l（2）轴对称：点关于直线对称：、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。直线关于直线对称：（设关于 对称）ba,l、若相交，则到 的角等于到 的角；若，则，且与 的距ba,alblla/lb/ba,l离相等。、求出上两个点关于 的对称点，在由两点式求出直线的方程。aBA,l、设为所求直线直线上的任意一点，则关于 的对称点的坐标适合),(yxPPlP的方程。a
