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1、20172017 年自招与三位一体专题年自招与三位一体专题第七讲第七讲 定积分与微积分应定积分与微积分应用用在近年自主招生试题中，在近年自主招生试题中，有关导数与积分的内容大约占有关导数与积分的内容大约占 20%20%30%30%。 一、知识精讲一、知识精讲1定积分：定积分：设函数在上有界，在中任意插入若干个分点( )f x , a b , a b。把区间分成个小区间，各小区间的长度依次为0121nnaxxxxxb , a bn并作和，记，如果不论对1(1,2)iiixxxi1()nii iSf fx12max,nxxx怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和趋于 , a b1,
2、iixxif0S确定的极限，我们称这个极限为函数在区间上的定积分，记为II( )f x , a b。 01( )lim()bnii iaf x dxIf fx 二定积分存在定理：二定积分存在定理：当函数在区间上连续时，则在区间上可积；( )f x , a b( )f x , a b设函数在区间上有界，且只有有限个间断点，则在区间上可积。( )f x , a b( )f x , a b三定积分的几何意义：三定积分的几何意义：时，则表示的图像与及轴围成的曲边梯形( )0f x ( )baf x dxAA( )f x,xa xbx面积；若，令，则表示的图像与及轴围成的曲边( )0f x ( )baf
3、 x dxA A( )f x,xa xbx梯形面积的负值。 四微积分基本定理：牛顿四微积分基本定理：牛顿- -莱布尼兹公式莱布尼兹公式如果是区间上的连续函数，并且，则。若( )f x , a b( )( )F xf x( )( )( )baf x dxF bF a记，则。( )( )( )|baF bF aF x( )( )|( )( )b b a af x dxF xF bF a牛顿-莱布尼兹公式沟通了导数与积分之间的关系，由此求定积分问题转化为求原函数 问题。五洛必塔法则：五洛必塔法则：设（1）如果当时，函数都趋于零；（2）在内，xa( ), ( )f x g x( , )a都存在，且；（
4、3）极限存在（或为无穷大） ；则存在，( ),( )fx g x( )0g x ( )lim( )xafx g x( )lim( )xaf x g x且。( )( )limlim( )( )xaxaf xfx g xg x上述准则称为洛必塔法则。六二次曲线在某点处的切线方程六二次曲线在某点处的切线方程：设是圆上一点，则过的圆切线方程为；00(,)P xy222xyR00(,)P xy2 00x xy yR设是椭圆上一点，则过点的椭圆切线方程为；00(,)P xy22221xy ab00(,)P xy00 221x xy y ab设是双曲线上一点，则过的双曲线切线方程为；00(,)P xy222
5、21xy ab00(,)P xy00 221x xy y ab设是抛物线上一点，则过的抛物线切线方程为；00(,)P xy22ypx00(,)P xy00()y yp xx7函数的单调性：函数的单调性：若函数在内可导，则在内递增（递减）的充要条件是f( , )a bf( , )a b（） ，。( )0fx ( )0fx ( , )xa b八函数的极值八函数的极值：1.1.定义：定义： 已知函数及其定义域内一点，对于存在一个包含的开区间内的( )yf x0x0x所有点，如果都有x0( )()f xf x则称函数在点处取得极大值极大值，记作，并把称为函数的( )yf x0x0()yf x极大值0x
6、( )yf x一个极大值点极大值点；如果都有0( )()f xf x则称函数在点处取得极小值极小值，记作，并把称为函数的( )yf x0x0()yf x极大值0x( )yf x一个极小值点极小值点 极大值与极小值统称为极值，极值，极大值点与极小值点统称为极值点。极值点。 注意：注意：（1）.函数的最大（小）值是函数在指定区间内的最大（小）值；( )yf x（2）.极值与最值不同，极值只是相对一点附件的局部性质，而最值是想对整个定义域 内或所研究问题的整体性质。2.极值的必要条件：极值的必要条件：若函数在可导，且在处取得极值，则。f0x0x0()0fx九两个重要的极限：九两个重要的极限：1.，
7、2. 0sinlim1 xx x1lim()x xxex 来源来源: :学学& &科科& &网网 3 3、典例精讲典例精讲例例 1 1 （2011 复旦）设为正数，若在区间上大于 0，则a322( )2f xxaxa( )f x(0, )a的取值范围是（ ） 。a（A） （B） （C） （D）(0,1(0,1)(1,)1,)答案：答案：A A分析与解：分析与解：，当时，所以在上单调递减，2( )34fxxax(0, )xa( )0fx ( )f x(0, )a所以在上大于 0，当且仅当，即。( )f x(0, )a( )0f a 33220,01aaaa例例 2 2 （2011“华约” ）已知
8、，过的直线与该函数图像相切，且3221yxxx( 1,1)不是切点，求直线斜率。( 1,1)分析与解：分析与解：显然在的图象上。设切点为，( 1,1)3221yxxx32 0000(,21)x xxx，所以。另一方面，2322yxx2 00322kxx322 00000000(21) 1(2) ( 1)1xxxx xxkxx 。所以，而，所以，所以00(2)x x2 0000(2)322x xxx2 0022,1xx 01x 01x 。1k 例例 3 3 （2010 南开）求证：。3 sin,0,62xxxx分析与解：分析与解：令，则，3 ( )sin0,62xf xxxx21(0)0. (
9、)cos12ffxxx 。( )sinfxx x由三角不等式，由知单调递增。又，故sin0,2xx x( )0fx ( )fx(0)0f，从而单调递增。( )0fx ( )f x所以，即。得证。( )(0)0f xf3 sin6xxx注：注：在高等数学中的泰勒展开式为：。sin x357 sin()3!5!7!xxxxxx 为其前两项。36xx例例 4 4 （2003 复旦）已知过两抛物线的交点的各自22 12:1(1) ,:(1)41CxyCyxa 的切线互相垂直，求。a分析与解：分析与解：联立221(1) ,41(1)xyxay 得交点坐标为或。,1155aa,1155aa由对称性，不妨设
10、切线在处互相垂直。,1155aa对求导，有：；1C112(1) 1,21yyyy对求导，有：。2C22(1) 4,1yyyy 它们切线的斜率分别为、，故。11 215a215a 1121021155aaa 例例 5 5 （2009 清华）一元三次函数的三次项系数为，的解集为。( )f x3a( )90fxx(1,2)（1）若有两个相等实根，求的解析式；( )70fxa( )fx（2）若在上单调递减，求的范围。( )f xRa分析与解：分析与解：设，则，32( )3af xxbxcxd2( )2fxaxbxc2( )929fxxaxbxcx 的解集为，故有，且得。( )90fxx(1,2)0a
11、290,44180,abcabc 239,2baca （1），有两个相等实根，2( )7(39)90fxaaxaxa( )70fxa22(39)360aa 整理得或（舍去） ，所以。2230,1aaa 3a 26,2bc 2( )62fxxx （2），要使在上单调递减，只需22( )2(39)2fxaxbxcaxaxa( )f xR2(39)axax在上恒成立即可，故只需20aR220,0,0,0( 39)42054810aaaaaaaa 解得，所以的范围为。27 18 227 18 2a a27 18 227 18 2a 例例 6 6 （2010 武大）已知是定义在区间上的可导函数，满足，且
12、( )f x(0,)( )0f x 。( )( )0f xfx（1）讨论函数的单调性；( )( )xF xe f x（2）设，比较函数与的大小。01x( )xf x11fxx分析与解：分析与解：（1）由于。所以在( )( )( )( ( )( )0xxxF xe f xe fxef xfx( )F x上单调递减。(0,)（2）当时，有。证明如下：01x11( )xf xfxx注意到，当时，故由（1）可得，即。01x1xx11( )xxe f xe fx11( )xxf xefx下证，即证。121xxex12ln0xxx为此，考虑函数。1( )2ln , 01g xxxxx因为，当时，有，01x
13、2 2212(1)( )10xg xxxx 所以在上单调减少，故，即。( )g x(0,1)( )(1)0g xg121xxex于是，即。211( )f xfxx11( )xf xfxx例例 7 7 （2011“卓越联盟” ） （1）设，求；( )lnf xxx( )fx（2）设，求常数，使得取得最小值；0abC1|ln|baxC dxba（3）设（2）中的最小值为，证明。,a bm,ln2a bm分析与解：分析与解：（1）；1( )lnln1fxxxxx（2）若，则，显然，当取最小；来源:学&科&网lnCa|ln| lnxCxCln ,lnCaxC若，则，当取最小。lnCb|ln|lnxCCxln ,lnCb Cx故不妨设。lnlnaCb1|ln|baxC dxba1(ln )(ln)ccebaeCx dxxC dxba。1(1)(ln1)(ln1)(1)ccebaeCxdxxCdxba由（1）知，(1)(ln1)(1)(ln1)(1)()ln|cccCeeeCe aaaaCxdxCdxxdxCeaxx因，(ln1)(1)(ln1)(1)ln|(1)()CCCCbbbbC eeeexCdxxdxCdxxxCbe所以 （*）11|ln|( lnln2)bCaxC dxaabbeaCbCabbaba记，( )lnln2()(
