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1、1第五章第五章 平面向量、解三角形平面向量、解三角形 第二第二节节 解三角形解三角形第一部分第一部分 五年高考荟萃五年高考荟萃 2009 年高考年高考题题1.1.(2009(2009 年广东卷文年广东卷文) )已知已知ABC中,中,CBA,的对边分别为的对边分别为, ,a b c若若62ac且且75Ao,则,则b ( ( ) )A.2A.2 B B4 42 3 C C4 42 3 D D62答案答案 A A解析解析 000000026sinsin75sin(3045 )sin30 cos45sin45 cos304A由由62ac可知可知, ,075C, ,所以所以030B, ,1sin2B 由
2、正弦定理得由正弦定理得261sin2sin226 4abBA, ,故选故选 A A2.2.(20092009 全国卷全国卷文)已知文)已知ABCABC中,中,12cot5A ,则,则cos A ( ( ) )A A12 13B.B.5 13C.C. 5 13 D.D. 12 13答案答案 D D解析解析 本题考查同角三角函数关系应用能力,先由本题考查同角三角函数关系应用能力,先由 cotA=cotA=12 5知知 A A 为钝角,为钝角,cosA40=5540=AQ,所以点,所以点 Q 位于点位于点 A 和点和点 E 之间,且之间,且 QE= =AE- -AQ=15.=15.过点过点 E 作作
3、 EPBC 于点于点 P,则,则 EP 为点为点 E 到直线到直线 BC 的距离的距离. .在在 RtRtQPE中中,PE= =QEsinsinsinsin(45)PQEQEAQCQEABC= =5153 57.5所以船会进入警戒水域所以船会进入警戒水域. .1414 (20072007 宁夏,海南)如图,测量河对岸的塔高宁夏,海南)如图,测量河对岸的塔高AB时,时,可以选与塔底可以选与塔底B在同一水平面内在同一水平面内的两个侧点的两个侧点C与与D现测得现测得BCDBDCCDs、,21并在点并在点C测得塔顶测得塔顶A的仰角为的仰角为,求塔高,求塔高AB解解在在BCD中,中,CBD由正弦定理得由
4、正弦定理得sinsinBCCD BDCCBD所以所以sinsin sinsin()CDBDCsBCCBD 在在 RtRtABC 中,中,tansintansin()sABBCACB 1515 (20072007 福建)在福建)在ABC中,中,1tan4A ,3tan5B ()求角)求角C的大小;的大小;()若)若ABC最大边的边长为最大边的边长为17,求最小边的边长,求最小边的边长解解 ()()CAB,13 45tantan()113145CAB 又又0C,34C()3 4C ,AB边最大,即边最大,即17AB 又又tantanAtantanB,A、B2, 0角角A最小,最小,BC边为最小边边
5、为最小边由由22sin1tancos4 sincos1AAA AA ,且且02A,得得17sin17A 由由sinsinABBC CA得:得:BC= =AB2sinsinCA1616 (20072007 浙江)浙江)已知已知ABC的周长为的周长为21,且,且sinsin2sinABC(I I)求边)求边AB的长;的长;(IIII)若)若ABC的面积为的面积为1sin6C,求角,求角C的度数的度数解解 (I I)由题意及正弦定理,得)由题意及正弦定理,得21ABBCAC,2BCACAB,两式相减,得两式相减,得1AB 22(IIII)由)由ABC的面积的面积,sin61sin21CCACBC,得
6、,得31 ACBC,由余弦定理,得由余弦定理,得 coscosC= =BCACABBCAC 2222= =21 22)(22 BCACABBCACBCAC,所以所以60C 1717 (20072007 山东)山东)2020(本小题满分(本小题满分 1212 分)如图分)如图, ,甲船以每小时甲船以每小时30 2海里海里的速度向正北方向航行的速度向正北方向航行, ,乙船按固定方向匀速直线航行乙船按固定方向匀速直线航行, ,当甲船位于当甲船位于1A处处时时, ,乙船位于甲船的北偏西乙船位于甲船的北偏西105的方向的方向1B处处, ,此时两船相距此时两船相距 2020 海里海里. .当甲当甲船航行船
7、航行 2020 分钟到达分钟到达2A处时处时, ,乙船航行到甲船的北偏西乙船航行到甲船的北偏西120方方向的向的2B处处, ,此时两船相距此时两船相距10 2海里海里, ,问乙船每小时航行多少海里问乙船每小时航行多少海里? ?解解 方法一方法一 如图所示,连结如图所示,连结 A1 1B2 2,由已知,由已知 A2 2B2 2= =10 2,A1 1A2 2= =2106020230,A1 1A2 2= =A2 2B2 2,又又A1 1A2 2B2 2=180-120=60=180-120=60A1 1A2 2B2 2是等边三角形是等边三角形,A1 1B2 2= =A1 1A2 2= =10 2
8、. .由已知由已知,A1 1B1 1=20=20,B1 1A1 1B2 2=105-60=45=105-60=45,在在A1 1B2 2B1 1中中,由余弦定理由余弦定理,2 21BB= =1 21BB+ +2 21BB- -1 21BBA1 1B2 2cos45cos45=20=202 2+(+(10 2) )2 2-220-22010 222=200.=200.B1 1B2 2= =10 2. .因此因此,乙船的速度的大小为乙船的速度的大小为2021060=60=230(海里海里/ /小时小时). .23答答 乙船每小时航行乙船每小时航行230海里海里.19.19.(20072007 全国
9、全国)设锐角三角形设锐角三角形ABCABC的内角的内角A A,B B,C C的对边分别为的对边分别为a a,b b,c c,2 sinabA()求)求B B的大小;的大小;()若)若3 3a ,5c ,求,求b b解:(解:()由)由2 sinabA,根据正弦定理得,根据正弦定理得sin2sinsinABA,所以,所以1sin2B ,由由ABC为锐角三角形得为锐角三角形得 6B ()根据余弦定理,得)根据余弦定理,得2222cosbacacB2725457所以,所以,7b 20.20.(20072007 全国全国)在)在ABC中,已知内角中,已知内角A,边,边2 3BC 设内角设内角Bx,周长
10、,周长为为y(1 1)求函数)求函数( )yf x的解析式和定义域;的解析式和定义域;(2 2)求)求y的最大值的最大值解:(解:(1 1)ABC的内角和的内角和ABC ,由,由00ABC,得得20B应用正弦定理,知应用正弦定理,知2 3sinsin4sinsinsinBCACBxxA ,2sin4sinsinBCABCxA因为因为yABBCAC,所以所以224sin4sin2 3 03yxxx,(2 2)因为)因为14 sincossin2 32yxxx2454 3sin2 3xx,所以,当所以,当x,即,即x时,时,y取得最大值取得最大值6 3第二部分第二部分 三年联考题汇编三年联考题汇编
11、20092009 年联考题年联考题一、选择题一、选择题1.1.(20092009 岳阳一中第四次月考)岳阳一中第四次月考). .已知已知ABC中,中,ABa ,ACb ,0a b ,15 4ABCS,3,5ab ,则,则BAC( ) A.A. 30 B B 150C C0150 D D 30或或0150答案答案 C C2.2.(20092009 河北区一模)河北区一模)在在ABC中,中,| 3.| 4,| 5,BCABAC则则AC BC( ) A A-9-9 B B0 0 C C9 9 D D1515 答案答案 C C3.3.(辽宁省沈阳二中(辽宁省沈阳二中 2008200820092009
12、学年上学期高三期中考试)已知学年上学期高三期中考试)已知a a,b b,c c为为ABCABC的三内的三内角角A A,B B,C C的对边,向量的对边,向量)sin,(cos),1, 3(AAnm,若,若nm ,且,且BACcAbBa,sincoscos则角的大小分别为的大小分别为( )A A3,6B B6,32C C6,3D D3,3答案答案 C C二、填空题二、填空题4.4.(20092009 长郡中学第六次月考)长郡中学第六次月考)ABCABC 的三内角的三内角, ,A B C所对边的长分别为所对边的长分别为, ,a b c设向量设向量(, )pac b , ,(,)qba ca ,若,
13、若/pq ,则角,则角C的大小为的大小为答案答案 3 三、解答题三、解答题5.5.(20092009 宜春)已知向量宜春)已知向量)sin,(sinBAm ,)cos,(cosABn ,Cnm2sin,且,且A、B、C分别为分别为ABC的三边的三边a、b、c所对的角。所对的角。 (1 1)求角求角 C C 的大小;的大小;25(2 2)若若Asin,Csin,Bsin成等差数列,且成等差数列,且18)(ACABCA,求,求c边的长。边的长。解:(解:(1 1))sin(cossincossinBAABBAnm对于对于CBACCBAABCsin)sin(0 ,,.sinCnm又又Cnm2sin,.3,21cos,sin2sinCCCC(2 2)由)由BACBCAsinsinsin2,sin,sin,sin得成等差比数列,由正弦定理得由正弦定理得.2bac18,18)(CBC