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1、2005 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学(一一)试卷试卷 一、填空题一、填空题(本题共本题共 6 小题小题,每小题每小题 4 分分,满分满分 24 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) (1)曲线 12 2 x x y的斜渐近线方程为 _. (2)微分方程xxyyxln2满足 9 1 ) 1 (y的解为_. (3)设函数 18126 1),( 222 zyx zyxu,单位向量1 , 1 , 1 3 1 n ,则 )3 , 2, 1( n u =._. (4)设是由锥面 22 yxz与半球面 222 yxRz围成的空间区域,是 的整个边界的外侧,
2、则 zdxdyydzdxxdydz_. (5)设 123 , 均为 3 维列向量,记矩阵 123 (,)A , 123123123 (,24,39)B , 如果1A,那么B . (6)从数 1,2,3,4 中任取一个数,记为X, 再从X, 2 , 1中任取一个数,记为Y, 则 2YP=_. 二、选择题二、选择题(本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 4 分分,满分满分 32 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一项只有一项 符合题目要求符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数 n n n xxf 3 1lim)( ,
3、则( )f x在),(内 (A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点 (8)设( )F x是连续函数( )f x的一个原函数,“NM 表示“M的充分必要条件是 “,N则必有 (A)( )F x是偶函数( )f x是奇函数 (B)( )F x是奇函数( )f x是偶函数 (C)( )F x是周期函数( )f x是周期函数 (D)( )F x是单调函数( )f x是单 调函数 (9)设函数 yx yx dttyxyxyxu)()()(),(, 其中函数具有二阶导数, 具有一阶导数,则必有 (A) 2 2 2 2 y u x u (B) 2 2 2 2
4、y u x u (C) 2 22 y u yx u (D) 2 22 x u yx u (10)设有三元方程lne1 xz xyzy,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域, 在此邻域内该方程 (A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数( , )zz x y (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数( , )xx y z和( , )zz x y (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数( , )yy x z和( , )zz x y (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数( , )xx y z和( , )yy x z (11)设 21, 是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为 1
5、2 , ,则 1 , 12 ()A 线性无关的充分必要条件是 (A)0 1 (B)0 2 (C)0 1 (D)0 2 (12)设A为(2)n n 阶可逆矩阵,交换A的第 1 行与第 2 行得矩阵 * .,B A B分别为 ,A B的伴随矩阵,则 (A)交换 * A的第 1 列与第 2 列得 * B (B)交换 * A的第 1 行与第 2 行得 * B (C)交换 * A的第 1 列与第 2 列得 * B (D)交换 * A的第 1 行与第 2 行得 * B (13)设二维随机变量(, )X Y的概率分布为 X Y01 00.4a 1b0.1 已知随机事件0X与1YX相互独立,则 (A)0.2,
6、0.3ab (B)0.4,0.1ab (C)0.3,0.2ab(D)0.1,0.4ab (14)设)2(, 21 nXXX n 为来自总体(0,1)N的简单随机样本,X为样本均值, 2 S为 样本方差,则 (A) 1 , 0( NXn (B) 22 ( )nSn (C) 1( ) 1( nt S Xn (D) 2 1 2 2 (1) (1,1) n i i nX Fn X 三三 、解答题、解答题(本题共本题共 9 小题小题,满分满分 94 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分 11 分) 设0, 0,2),( 22 yxyxy
7、xD,1 22 yx 表示不超过 22 1yx 的最 大整数. 计算二重积分 D dxdyyxxy.1 22 (16)(本题满分 12 分) 求幂级数 1 21 ) ) 12( 1 1 () 1( n nn x nn 的收敛区间与和函数( )f x. (17)(本题满分 11 分) 如图,曲线C的方程为( )yf x,点(3,2)是它的一个拐点, 直线 1 l与 2 l分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点 为(2,4).设函数( )f x具有三阶连续导数,计算定积分 3 0 2 .)()(dxxfxx (18)(本题满分 12 分) 已知函数( )f x在0,1上连续,在(0
8、,1)内可导,且(0)0,(1)1ff. 证明: (1)存在),1 , 0( 使得1)(f. (2)存在两个不同的点) 1 , 0(,使得 . 1 )()(ff (19)(本题满分 12 分) 设函数)(y具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分 24 ( )2 2 L y dxxydy xy A 的值恒为同一常数. (1)证明:对右半平面0x 内的任意分段光滑简单闭曲线,C有 24 ( )2 0 2 C y dxxydy xy A . (2)求函数)(y的表达式. (20)(本题满分 9 分) 已知二次型 21 2 3 2 2 2 1321 )1 (22)1 ()1 (
9、),(xxaxxaxaxxxf的秩为 2. (1)求a的值； (2)求正交变换xy Q,把),( 321 xxxf化成标准形. (3)求方程),( 321 xxxf=0 的解. (21)(本题满分 9 分) 已知 3 阶矩阵A的第一行是cbacba,),(不全为零,矩阵 123 246 36k B(k为常数), 且ABO,求线性方程组0x A的通解. (22)(本题满分 9 分) 设二维随机变量(, )X Y的概率密度为 ( , )f x y 1 0 01,02xyx 其其 求:(1)(, )X Y的边缘概率密度)(),(yfxf YX . (2)YXZ 2的概率密度).(zfZ (23)(本
10、题满分 9 分) 设)2(, 21 nXXX n 为来自总体(0,1)N的简单随机样本,X为样本均值,记 ., 2 , 1,niXXY ii 求:(1) i Y的方差niDYi, 2 , 1,. (2) 1 Y与 n Y的协方差 1 Cov( ,). n Y Y 20052005 年考研数学一真题解析年考研数学一真题解析 一、填空题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）曲线 的斜渐近线方程为 12 2 x x y. 4 1 2 1 xy 【分析分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解详解】 因为 a=， 2 1
11、 2 lim )( lim 2 2 xx x x xf xx ， 4 1 ) 12(2 lim)(lim x x axxfb xx 于是所求斜渐近线方程为. 4 1 2 1 xy （2）微分方程满足的解为.xxyyxln2 9 1 ) 1 (y. 9 1 ln 3 1 xxxy 【分析分析】直接套用一阶线性微分方程的通解公式：)()(xQyxPy ， )( )()( CdxexQey dxxPdxxP 再由初始条件确定任意常数即可. 【详解详解】 原方程等价为 ，xy x yln 2 于是通解为 ln 1 ln 2 2 22 Cxdxx x Cdxexey dx x dx x =， 2 1 9
12、 1 ln 3 1 x Cxxx 由得 C=0，故所求解为 9 1 ) 1 (y. 9 1 ln 3 1 xxxy （3）设函数，单位向量，则= 18126 1),( 222 zyx zyxu1 , 1 , 1 3 1 n )3 , 2, 1( n u . 3 3 【分析分析】 函数 u(x,y,z)沿单位向量的方向导数为：cos,cos,cosn coscoscos z u y u x u n u 因此，本题直接用上述公式即可. 【详解详解】 因为 ，于是所求方向导数为 3 x x u 6 y y u 9 z z u = )3 , 2, 1( n u . 3 3 3 1 3 1 3 1 3
13、1 3 1 3 1 （4）设是由锥面与半球面围成的空间区域， 22 yxz 222 yxRz 是的整个边界的外侧，则. zdxdyydzdxxdydz 3 ) 2 2 1 (2R 【分析分析】本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球 面（或柱面）坐标进行计算即可. 【详解详解】 zdxdyydzdxxdydz dxdydz3 =.) 2 2 1 (2sin3 3 2 00 4 0 2 Rddd R （5）设均为 3 维列向量，记矩阵 321 , ，),( 321 A)93,42,( 321321321 B 如果，那么 2 .1AB 【分析分析】 将 B 写成用 A 右乘
14、另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算 即可. 【详解详解】 由题设，有 )93,42,( 321321321 B =， 941 321 111 ),( 321 于是有 . 2 21 941 321 111 AB （6）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从中任取一个数，记为 Y, 则X, 2 , 1 = .2YP 48 13 【分析分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互 不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分. 【详解详解】 =+2YP121XYPXP222XYPXP +323XYPXP424XYPXP =. 48 13 ) 4 1 3 1 2
