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1、1,第二章 逻辑代数基础,逻辑代数是描述/分析/设计数字逻辑电路的数学工具。运用逻辑运算可以设计最简逻辑电路。,2,2.1 逻辑代数的基本概念,逻辑代数：是由逻辑变量集、常量“0”、“1”及“与”、“或”、“非”等运算符号、函数、表达式等构成的代数系统。利用逻辑代数可以描述任何复杂的电路中条件与输出结果间的逻辑关系。逻辑代数中也用字母表示变量,这种变量称为逻辑变量。变量的取值只能是1或0，代表逻辑电路中两种不同的逻辑状态，如开关的闭合与打开，电路的导通与截止，电压与电流的有或无等。,3,1、基本逻辑运算 1）逻辑“与”运算,对于逻辑问题，如果决定某一事件发生的多个条件必须同时具备，事件才能发生
2、，则这种因果关系称之为“与”逻辑。逻辑代数中，“与”逻辑关系用“与”运算描述。“与”运算又称为逻辑乘，其符号为“”、“”、“AND”。逻辑表达式：F=AB=AB=,4,5,2）逻辑“或”运算,对于逻辑问题，如果决定某一事件发生的多个条件中，只要有一个或一个以上条件成立，事件便可发生，则这种因果关系称之为“或”逻辑。逻辑代数中，“或”逻辑关系用“或”运算描述。“或”运算又称为逻辑加，其符号为“+”、“”、“OR”。逻辑表达式：F=A+B=AB=,6,举例,7,3）逻辑“非”运算,对逻辑问题，如果某一事件的发生取决于条件的否定，即事件与事件发生的条件之间构成矛盾，则这种因果关系称为“非”逻辑。 逻
3、辑“非”又称为逻辑反运算.运算符号：“ ”（上面加横线）逻辑表达式为： F= =,8,4）复合逻辑运算,与非逻辑 或非逻辑 与或非逻辑 异或逻辑 同或逻辑,9,3、逻辑函数,在数字电路中，如某一输出变量与一组输入变量存在着一定对应关系，即输入变量取任意一组确定的值，输出变量的值也就唯一地被确定，则称这种关系为逻辑函数关系。设输入变量为A1,A2,An,输出变量为F，则：F=f(A1,A2, An)。 注意：1.无论自变量或函数均只能取0或1两值。函数和自变量的关系只能由“与”、“或”、“非”三种基本运算来定义。 2.设F1=f(A1,A2, An)，F2=f(A1,A2, An)，若对应于A1
4、,A2, An的任何一组取值，F1和F2的值都相同，则称函数F1和F2相等，记成F1=F2。,10,2.2 逻辑代数的公理、定理及规则,1.公理系统： (满足一致性、独立性和完备性)交换律：A+B=B+A，AB=BA；结合律：(A+B)+C=A+(B+C); (AB)C=A(BC)分配律：A+(BC)=(A+B)(A+C)A(B+C)=AB+AC0-1律：A+0=A，A1=A；A+1=1，A0=0互补律：A+A=1，AA=0,11,2、基本定理(由上述公理推出下述基本定理),定理1：0+0=0，1+0=1，0+1=1，1+1=100=0，10=0，01=0，11=1 证明：由公理4(0-1律)
5、，分别以0和1代替A，可得上述各式。 推论：1=0，0=1 证明：由公理5(互补律)，分别以0和1代替A，可得上述两式。,12,定理2：A+A=A，AA=A （重叠律）,证明：A+A=(A+A)1 公理4（0-1律）=(A+A)(A+A) 公理5（互补律）=A+(AA) 公理3（分配律）=A+0 公理5=A 公理4 证明：AA=AA+0 公理4=AA+AA 公理5=A(A+A) 公理3=A 公理4,13,定理3： A+AB=A （吸收律） 证明：A+AB=A1+AB 公理4（0-1律） =A(1+B) 公理3 （分配律）=A1 公理4=A 公理4A(A+B)=A 证明：A(A+B)=AA+AB
6、 公理3 =A+AB=A,14,定理4：,A+AB=A+B （消因律）证明：A+AB=(A+A)(A+B) (分配律)=1(A+B) (互补律)=A+B (0-1律)A(A+B)=AB 证明 : A(A+B)=AA+AB (分配律)=0+AB (互补律)=AB (0-1律),15,定理5：,A=A （还原律）证明 : 由公理5可以得出A=A,16,定理6：(摩根定理)(是最重要和有用的定理),A+B=AB AB=A+B 证明 :定义两组逻辑式为A+B和AB，则 (AB)+(A+B)=(AB+A)+B 结合律=(A+AB)+B 交换律=(A+A)(A+B)+B 分配律=1(A+B)+B=(A+B
7、)+B=A+1=1 (AB)(A+B)= ABA+ABB 分配律=B0+A0 互补律=0+0=0,17,因此，根据公理5（互补律）,可得到：A+B=AB，或是 A+B=AB 即得证 同理，可证明： AB=A+B,18,定理7（合并律）,AB+AB=A (A+B)(A+B)=A 证明： AB+AB=A(B+B) 公理3=A1 公理5=A 公理4(A+B)(A+B)=A+(BB) 公理3=A+0 公理5=A 公理4,19,定理8（包含律、多余项定理）：,AB+AC+BC=AB+AC (A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C),20,3、逻辑代数三条重要规则,规则1：代入规则任何一个含有变
8、量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。用途：利用代入规则，可以将逻辑代数公理、定理中的变量用任意函数代替，从而推导出更多的等式。,21,规则2：反演规则：,如果将逻辑函数式F中所有的“”变成“+”，“+”变成“”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，原变量变成反变量，反变量变成原变量，则所得到的新函数表达式为原函数F的反函数F。 例：F=AB+BCD，则F=(A+B)(B+C+D) 用途：利用反演规则，可以方便地求出一个函数的反函数。,22,规则3：对偶规则：,如果将逻辑函数式F中所有的“”变成“+”，“+”变成“”，“0”变成“1”，“1”变成“0”
9、，而逻辑变量保持不变，则所得到的新函数表达式称为原函数F的对偶式，记作F。 对偶规则:若F和G相等,则F和G也相等。即若两函数相等，则其对偶式也相等。 用途：根据对偶规则,若某两个逻辑函数表达式相等,则它们的对偶式也必定相等。可使定理和公式的证明减少一半。（如定理7、8等）,23,2.3 逻辑函数的表达形式与转换,2.3.1 逻辑函数的表示方法： 1、逻辑表达式：即由逻辑变量、逻辑常量和运算符所构成的式子。前面已经通过逻辑表达式讨论了公理、定理和规则。注意：非运算可以不加括号、与运算符通常省略、运算优先级由高到低为非、与、或。,24,逻辑函数表达式的基本形式,1、 “积之和” 是指一个函数表达
10、式中包含着若干个“积”项，每个“积”项中可有一个或多个以原变量或反变量形式出现的字母，所有这些“积”项的“和”就表示了一个函数。例如：B、AB、ABC均为“积”项，而它们的“积”之“和”就构成了一个函数：F=B+AB+ABC“积之和”又被称为“与-或表达式”。,25,最小项表达式,26,问题：由n个变量组成的最小项总共可有多少个？因为最小项中每个变量可以用原变量和反变量两种形式出现，所以n个变量共可以组成2n个最小项，即3个变量可以组成8个最小项。通常用mi表示最小项，下标i是怎样确定的呢？当ABC确定后，如果将原变量看成1，反变量看成0，则1和0就排列成一个二进制数，与这个二进制数相对应的十
11、进制数，就是最小项的下标i的值。例如：ABC(011)2=(3)10 m3,3个变量的最小项有如下8个：m0、m1、m2、m3、m4、m5、m6、m7。,27,所以函数F(A、B、C)=ABC+ABC+ABC+ABC=m(2、3、6、7),注意：等式左边括号内变量的顺序非常重要，与最小项的编号有关，切记！任何一个逻辑函数都可以表示成若干个最小项的“和”。,28,最小项性质：、对于任意一个最小项，只有一组变量的取值使其为。、对于任一组变量的取值，任意两个最小项之积为。、变量的全部最小项之和为。、个变量的任一最小项，都有个相邻的最小项。,29,2 、“和之积”,指一个函数表达式中包含着若干个“和”
12、项，每个“和”项中可有一个或多个以原变量或反变量形式出现的字母，所有这些“和”项的“积”就表示了一个函数。例如：(A+B)、(B+C)、(A+B+D)均为“和”项，而它们的“和”之“积”就构成了一个函数：F=(A+B)(B+C)(A+B+D)“和之积”又被称为“或-与表达式”。,30,最大项表达式：,一个具有n个变量的函数的“和”项如果包含全部n个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现，且仅出现一次，则这个“和”项被称为最大项。例如：A+B+C、A+B+C、A+B+C等等。 如果一个函数完全由最大项组成，则称该函数为标准“和之积”表达式，即最大项表达式。,31,问题：由n个变量组成的最大项总
13、共可有多少个？,因为最大项中每个变量可以用原变量和反变量两种形式出现，所以n个变量共可以组成2n个最大项，即3个变量可以组成8个最大项，例如：由A、B、C三个变量组成的最大项可以有如下8个： A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C。 通常用Mi 表示最大项，i是怎样确定的呢？当ABC确定后，如果将原变量看成0，反变量看成1，则0和1就排列成一个二进制数，与这个二进制数相对应的十进制数，就是最大项的下标i的值。例如：A+B+C (010)2=(2)10 M2,32,所以函数 F(A、B、C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+
14、B+C)=M(2、3、6、7) 注意：等式左边括号内变量的顺序非常重要，与最大项的编号有关，切记！ 任何一个逻辑函数都可以表示成若干个最大项的“积”的形式。,33,推论：n个变量的2n个最大项不是包含在F的标准“和之积”之中，便是被包含在F的标准“和之积”之中。 推论： n个变量的2n个最大项之积恒等于0。,34,问题：最小项和最大项有什么关系？,下标相同的最小项和最大项之间存在互补关系。即：Mi=mi mi=Mi例如：m3=ABC，则 M3 =A+B+C因为 M3=A+B+C，所以 M3=A+B+C=ABC=m3,35,3、其它形式,例如F=(AB+D)(AB+CD)上式既不是“与或”表达式，也不是“或与”表达式，但通过一定的运算，可以转换成“与或”表达式或“或与”表达式。F=(A+D)(B+D)(AB+C)(AB+D)= (A+D)(B+D)(A+C)(B+C)(A+D)(B+D)= (A+D)(B+D)(A+C)(B+C)即得“或与”表达式，同理可得“与或”表达式,
