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1、第四章 向量组的线性相关性,1 向量组及其线性组合,定义:n 个有次序的数 a1, a2, , an 所组成的数组称为n 维向 量,这 n 个数称为该向量的 n 个分量,第 i 个数 ai 称为第 i 个分量 分量全为实数的向量称为实向量 分量全为复数的向量称为复向量 备注: 本书一般只讨论实向量(特别说明的除外) 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时,都当作列向量 本书中,列向量用黑色小写字母 a, b, a, b 等表示,行向量则用 aT, bT, aT, bT 表示,定义:若干个同维数的列向量(行向量)所组成的集合称为 向量组 当R(A) n
2、 时,齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成的向量组含有无穷多个向量,结论:含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应,有限向量组,定义:给定向量组 A:a1, a2, , am , 对于任何一组实数k1, k2, , km ,表达式 k1a1 + k2a2 + + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合 k1, k2, , km 称为这个线性组合的系数定义:给定向量组 A:a1, a2, , am 和向量 b,如果存在一组 实数 l1, l2, , lm ,使得 b = l1a1 + l2a2 + + lmam 则向量 b 是向量组 A 的线性组合,这时称向量 b 能由向量组A 的线性表示
3、,例:设,那么,线性组合的系数,e1, e2, e3的 线性组合,一般地,对于任意的 n 维向量b ,必有,n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量,回顾:线性方程组的表达式,一般形式向量方程的形式,增广矩阵的形式向量组线性组合的形式,方程组有解?,向量 是否能用 线性表示?,结论:含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应,向量b 能由 向量组 A 线性表示,线性方程组 Ax = b 有解,P.83 定理1 的结论:,定义:设有向量组 A:a1, a2, , am 及 B:b1, b2, , bl , 若 向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示,则称向 量组 B 能由向
4、量组 A 线性表示 若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示,则称这两个向量 组等价,设有向量组 A:a1, a2, , am 及 B:b1, b2, , bl , 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示,即,线性表示的 系数矩阵,设有向量组 A:a1, a2, , am 及 B:b1, b2, , bl , 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示,即 对于 b1 ,存在一组实数 k11, k21, , km1 ,使得 b1 = k11a1 + k21 a2 + + km1 am ; 对于 b2 ,存在一组实数 k12, k22, , km2 ,使得 b2 = k12a1 + k22 a2
5、+ + km2 am ; 对于 bl ,存在一组实数 k1l , k2l , , kml ,使得 bl = k1l a1 + k2l a2 + + kml am,若 Cmn = Aml Bln ,即,则,结论:矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示,B 为这一线性表示的系数矩阵,若 Cmn = Aml Bln ,即,则,结论:矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示,A 为这一线性表示的系数矩阵,口诀:左行右列,定理:设A是一个 mn 矩阵, 对 A 施行一次初等行变换,相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵; 对 A 施行一次初等列变换,相当于在 A 的右边
6、乘以相应的 n 阶初等矩阵. 结论:若 C = AB ,那么 矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示,A为这一线性表示的系数矩阵(A 在左边) 矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示,B为这一线性表示的系数矩阵(B 在右边),A 经过有限次初等列变换变成 B存在有限个初等矩阵P1, P2, , Pl ,使 AP1 P2 , Pl = B存在 m 阶可逆矩阵 P,使得 AP = B矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价,矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价,同理可得,口诀:左行右列.,把 P 看成是 线性表示的 系数矩阵,向量组 B:b1, b2,
7、, bl 能由向量组 A:a1, a2, , am 线性表示存在矩阵 K,使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) (P.84 定理2)R(B) R(A) (P.85 定理3),推论:向量组 A:a1, a2, , am 及 B:b1, b2, , bl 等价的充分 必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B) 证明:向量组 A 和 B 等价向量组 B 能由向量组 A 线性表示向量组 A 能由向量组 B 线性表示 从而有R(A) = R(B) = R(A, B) ,因为 R(B) R(A, B),R(A) = R(A, B),R(B) = R(A
8、, B),例:设证明向量 b 能由向量组 a1, a2, a3 线性表示,并求出表示式,解:向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示当且仅当R(A) = R(A, b) ,因为R(A) = R(A, b) = 2, 所以向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示,行最简形矩阵对应的方程组为通解为所以 b = (3c + 2) a1 + (2c1) a2 + c a3 ,n 阶单位矩阵的列向量叫做 n 维单位坐标向量 设有nm 矩阵 A = (a1, a2, , am) ,试证:n 维单位坐标向 量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的充分必要条件是 R(A) = n ,分析: n 维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示R(A) = R(A, E) R(A) = n ,(注意到:R(A, E) = n 一定成立),小结,向量 b 能由 向量组 A 线性表示,线性方程组 Ax = b 有解,向量组 B 能 由向量组 A 线性表示,矩阵方程组AX = B 有解,向量组 A 与 向量组 B 等价,知识结构图,n维向量,向量组,向量组与矩阵的对应,向量组的线性组合,向量组的线性表示,向量组的等价,判定定理及必要条件,判定定理,