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1、第四章 向量组的线性相关性,1 向量组及其线性组合,定义：n 个有次序的数 a1, a2, , an 所组成的数组称为n 维向 量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量 分量全为实数的向量称为实向量 分量全为复数的向量称为复向量 备注： 本书一般只讨论实向量（特别说明的除外） 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量 本书中，列向量用黑色小写字母 a, b, a, b 等表示，行向量则用 aT, bT, aT, bT 表示,定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为 向量组 当R(A) n
2、 时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成的向量组含有无穷多个向量,结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应,有限向量组,定义：给定向量组 A：a1, a2, , am ， 对于任何一组实数k1, k2, , km ，表达式 k1a1 + k2a2 + + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合 k1, k2, , km 称为这个线性组合的系数定义：给定向量组 A：a1, a2, , am 和向量 b，如果存在一组 实数 l1, l2, , lm ，使得 b = l1a1 + l2a2 + + lmam 则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组A 的线性表示
3、,例：设,那么,线性组合的系数,e1, e2, e3的 线性组合,一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有,n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量,回顾：线性方程组的表达式,一般形式向量方程的形式,增广矩阵的形式向量组线性组合的形式,方程组有解？,向量 是否能用 线性表示？,结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应,向量b 能由 向量组 A 线性表示,线性方程组 Ax = b 有解,P.83 定理1 的结论：,定义：设有向量组 A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2, , bl ， 若 向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向 量组 B 能由向
4、量组 A 线性表示 若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量 组等价,设有向量组 A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2, , bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即,线性表示的 系数矩阵,设有向量组 A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2, , bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即 对于 b1 ，存在一组实数 k11, k21, , km1 ，使得 b1 = k11a1 + k21 a2 + + km1 am ； 对于 b2 ，存在一组实数 k12, k22, , km2 ，使得 b2 = k12a1 + k22 a2
5、+ + km2 am ； 对于 bl ，存在一组实数 k1l , k2l , , kml ，使得 bl = k1l a1 + k2l a2 + + kml am,若 Cmn = Aml Bln ，即,则,结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B 为这一线性表示的系数矩阵,若 Cmn = Aml Bln ，即,则,结论：矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，A 为这一线性表示的系数矩阵,口诀：左行右列,定理：设A是一个 mn 矩阵， 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； 对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边
6、乘以相应的 n 阶初等矩阵. 结论：若 C = AB ，那么 矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵（A 在左边） 矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵（B 在右边）,A 经过有限次初等列变换变成 B存在有限个初等矩阵P1, P2, , Pl ，使 AP1 P2 , Pl = B存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP = B矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价,矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价,同理可得,口诀：左行右列.,把 P 看成是 线性表示的 系数矩阵,向量组 B：b1, b2,
7、, bl 能由向量组 A：a1, a2, , am 线性表示存在矩阵 K，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理2）R(B) R(A) （P.85 定理3）,推论：向量组 A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2, , bl 等价的充分 必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B) 证明：向量组 A 和 B 等价向量组 B 能由向量组 A 线性表示向量组 A 能由向量组 B 线性表示 从而有R(A) = R(B) = R(A, B) ,因为 R(B) R(A, B),R(A) = R(A, B),R(B) = R(A
8、, B),例：设证明向量 b 能由向量组 a1, a2, a3 线性表示，并求出表示式,解：向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示当且仅当R(A) = R(A, b) ,因为R(A) = R(A, b) = 2， 所以向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示,行最简形矩阵对应的方程组为通解为所以 b = (3c + 2) a1 + (2c1) a2 + c a3 ,n 阶单位矩阵的列向量叫做 n 维单位坐标向量 设有nm 矩阵 A = (a1, a2, , am) ，试证：n 维单位坐标向 量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的充分必要条件是 R(A) = n ,分析： n 维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示R(A) = R(A, E) R(A) = n ,（注意到：R(A, E) = n 一定成立）,小结,向量 b 能由 向量组 A 线性表示,线性方程组 Ax = b 有解,向量组 B 能 由向量组 A 线性表示,矩阵方程组AX = B 有解,向量组 A 与 向量组 B 等价,知识结构图,n维向量,向量组,向量组与矩阵的对应,向量组的线性组合,向量组的线性表示,向量组的等价,判定定理及必要条件,判定定理,
