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1、,第一节 预备知识：向量的内积第二节 方阵的特征值与特征向量第三节 相似矩阵第四节 实对称阵的相似矩阵第五节 二次型及其标准型第六节 用配方法化二次型成标准型第七节 正定二次型,第五章 相似矩阵及二次型,本章目的与要求,1.理解规范正交基、正交变换及正交阵的概念，掌握施密特正交化方法；,2.理解矩阵的特征值和特征向量的概念，并掌握其求法；,3.掌握矩阵可对角化的充分必要条件及矩阵对角化的方法，熟练掌握通过正交矩阵P将实对称矩阵A对角化的方法及用正交变换、可逆的线性变换将实二次型化为标准形的方法；,4.掌握二次型的正定性的判别法。,1向量内积的概念与性质,定义1 设有n维向量,第一节 预备知识：
2、向量的内积,令,x,y 称为向量 x 与 y 的内积.,可记为x,y=xTy.,() x,y=y,x;,内积的性质:（其中x,y,z为n 维向量,为实数）,() x,x0,且当 x0 时有x,x0.,() x+y, z=x, z+y, z;,() x,y=x,y;,注 解析几何中的数量积是这里内积的特例.,2. 向量的范数（长度）及两向量的夹角,称为n维向量x的范数(或长度).,定义2 令,向量范数的性质:,1.非负性：当x0 时, ;当x=0时， ；,2.齐次性： ;,3.三角不等式：,单位向量:,的向量.,施瓦茨不等式:,当 时,称为n维向量x与y的夹角。,当x, y=0 时，称向量 x
3、与 y 正交.,两向量的夹角:,两向量正交:,3. 正交向量组,显然,若x =0,则x与任何向量正交.,正交向量组:,两两正交的非零向量组.,正交向量组作为向量空间的基.,正交基:,注 长度,夹角,以及正交的概念亦是几何中向量相 应概念的推广.,定理1 若n维向量a1, a2, ,ar 是一正交向量组， 则a1, a2, ,ar线性无关。,证明,设有1,2,.,r 使,1a1+2a2+ +rar=0,以a1T左乘上式两端,得,1 a1Ta1=0,因 a1 0, 故a1Ta1= ,从而必有1 =0.,类似可证2=0,.,r=0.,于是向量组a1, a2, ,ar线性无关.,例1 已知3维向量空间
4、R3中两个向量,正交,试求一个非零向量a3, 使a1, a2, a3两两正交.,解 记, a3应满足Ax=0, 即,从而有基础解系,a3=,4.规范正交基的定义,设n 维向量e1, e2, ,er是向量空间V(VRn) 的一个基，如果e1, e2, ,er两两正交，且都是单位向量，则称e1, e2, ,er是V的一个规范正交.,定义3,求V的一个规范正交基e1, e2, ,er,使e1, e2, ,er 与a1, a2, ,ar等价.,把基a1, a2, ,ar规范正交化:,5. 施密特正交化的方法,正交化：,设a1, a2, ,ar 是向量空间V的一个基,易知,b1, b2, ,br两两正交
5、,且与a1, a2, ,ar 等价.,单位化：,即得到V的一个正交规范基e1, e2, ,er .,试用Schmidt正交化过程把该组向量正交化。,例2 设,解 取 b1=a1;,11,在把它们单位化,取,e1,e2,e3即为所求.,例3 已知 ,求一组非零向量a2, a3,使 a1, a2, , a3 两两正交.,解：a2, a3 应满足a1x=0 ，即 x1+x2+x3 =0,解出基础解系为:,把基础解系正交化,即合所求为.即取:,6. 正交矩阵、正交变换的定义,定义4 若n阶实方阵 A 满足A TA=E（或 AT=A-1）, 则称 A 为正交矩阵.,n 阶实方阵A为正交矩阵 A的行（列）
6、向量组是Rn的一个规范正交基 .,定义5 若P是正交阵, 则线性变换 y=Px 称为正交变换.,注 这一充要条件揭示了正交矩阵名称中“正交”的含义.,若P是正交阵, 则设 y=Px为正交变换,则,这说明经正交变换线段长度不变.,例4 验证矩阵,是正交阵。,定义6 设A是n阶方阵, 若对于数,存在非零向量x，使得,第二节 方阵的特征值与特征向量,成立, 则称是A的特征值，非零向量 x 称为 A的对应于特征值的特征向量.,Ax = x (1),(A-E)x=0,在矩阵与向量的乘法运算中,数起到了矩阵的作用, 这是起名“特征值”的缘由.,Ax =x,|AE|=0,(2)有非零解,(2),(3),即,
7、(3),A的特征方程: |AE|=0,特征方程是特征值所满足的n次代数多项式.n 阶方阵A有n个特征值(包含重根).,A的特征多项式: f()=|AE|,A 的特征矩阵: A E,例题,证明 因为 Ax=x , 所以,Am x=Am-1(Ax)= Am-1 (x)= (Am-1 x)=2 (Am-2 x)=.=m x,故m是Am的特征值,x是Am的属于m的特征向量.,例5,证明 因为 Ax=x ,由例1知 Ak x =k x ,f(A)x=(amAm+ am-1Am-1+a1A+ a0E) x,故 f()是 f(A)的特征值,x是f(A)的属于f()的特征向量.,例6,=(amm+ am-1m
8、-1+a1+ a0) x,= f()x,4. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.,特征值与特征向量的性质：,1. 若是A的特征值，则n是An的特征值；()是 (A)的特征值（() 是关于 的m次多项式）;,2. 同一特征值0的特征向量x1,x2, ,xm的任意非零线性组合k1 x1+k2 x2+ + km xm仍是属于0的特征向量；,3. 设n阶方阵A=(aij)的特征值为1, 2, ,m ,则,证,20,证明 设为1,2, ,m是方阵A特征值,且各不 相同, p1, p2,pm依次是与之对应的特征向量. 设有 x 1, x2 ,xm使,x 1 p1+ x2 p2+,+xmpm=0,则 A
9、(x 1 p1+ x2 p2+,+xmpm) =0, 即,1x 1 p1+ 2x2 p2+,+ mxmpm =0,类推有 1kx 1 p1+ 2kx2 p2+,+ mkxmpm =0(k=1,2,m-1),所以p1, p2,pm线性无关.,证毕,特征值和特征向量的求法, 先求特征方程 |A E| =0 的全部根，即得到A的全部特征值。, 对于每个特征值i ，求它所对应的齐次线性方程组(A iE) x=0的基础解系1,2,s，则k1 1+k2 2+ + kss即是A的对应于i的全部特征值（其中k1 ，k2， ，k s 不全为零）.,例7 求矩阵 的特征值与特征向量,解 A的特征多项式为,所以A的
10、特征值为 1=2， 2= 3=1.,当1=2时, 解方程(A-2E)x=0.由,得基础解系,所以 kp1 (k0) 是对应于1=2的全部特征向量.,23,当2=3=1 时, 解方程 (A-E)x=0. 由,得基础解系,所以 kp2 (k0) 是对应于2=3=1 的全部特征向量.,例8 求矩阵 的特征值与特征向量。,解 A的特征多项式为,所以A的特征值为 1=-1， 2= 3=2 .,当1=-1时, 解方程(A+E)x=0.由,得基础解系,所以 kp1 (k0) 是对应于1=-1的全部特征向量.,25,当2=3=2 时, 解方程 (A-2E)x=0. 由,得基础解系,所以 k2 p2 +k3 p
11、3 (k0)是对应于2=3=2 的全部特征向量.,第三节 相似矩阵,定义7 设A、B都是n阶方阵，若有可逆方阵P，使 P -1AP=B, 称 矩阵A与B相似.,相似变换: 对A进行运算P -1AP， 相似变换矩阵: 可逆矩阵P.,定理3 若n阶方阵A与B相似，则A与B的特征多项 式相同，从而A与B的特征值也相同。,证明 因A与B相似,即有可逆矩阵P,使P-1AP=B.故,推论: 若n 阶方阵A与对角阵,则 即是A的n个特征值。,相似，,若A与B相似,则Ak与Bk相似; (A)与(B)相似;,特别,若A与对角阵相似,则Ak与k相似; (A) 与()相似;而对于对角阵=diag(1, n), 有,
12、要讨论的主要问题,对n阶方阵A,寻求相似变换矩阵P，使P-1AP为对角矩阵,即把方阵A对角化问题.,-把方阵A对角化问题,可见i是A的特征值，而P的列向量 pi就是A的对应于特征值i 的特征向量.,假设已经找到可逆矩阵P，使 P-1AP=,现讨论P应满足什么关系:,记,由 P-1AP=，得 AP=P ，即,于是有,29,反之，由上节知A恰好有n个特征值，并可对应地求得n个特征向量，这n个特征向量即可构成矩阵 P，使 AP=P.(因为特征向量不是唯一的，所以矩阵P也不是唯一的，并且P可能是复矩阵),余下的问题是：P是否可逆？即p1,p2 ,pn是否线性无关？如果P可逆，那么便有 P-1AP= ，
13、即A与对角阵相似.,于是,有下面的结论:,30,定理4 n阶方阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) A有n个线性无关的特征向量.,推论 n阶方阵A的n个特征值互不相等,则A与对角矩阵相似.,? 一个n阶方阵具备什么条件才能对角化?,-仅讨论当为实对称矩阵的情形.,当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向时，从而不一定能对角化.,4 实对称阵的相似矩阵,注 实特征值对应的特征向量取其实特征向量。,定理6：实对称阵的不相等的特征值所对应的特征向量是两两正交的。,定理7：设A是 n 阶实对称阵，是A的特征方程的r 重根，则R(AE)= nr, 从而对应应特征值恰有 r 个线性无关的特征向
14、量。,证,证,定理5：实对称阵的特征值为实数,32,定理5的证明:,对应的特征向量,即 Ax=x, x 0.,设复数为对称矩阵A的特征值,复向量x为,两式相减,得,而x 0,所以,故,所以,即说明是实数.,证毕,33,定理6的证明:,对应的特征向量分别为 p1, p2, 则,设1, 2,为对称矩阵A的特征值,且1 2,即 p1与 p2 正交.,证毕,1 p1 =A p1 , 2,p2=A p2 ,但1 2, 故,定理8：设A为 n 阶实对称阵，则必有正交矩阵P，使P -1AP=P TAP=，其中是以A的 n 个特征值为对角元素的 对角阵。,证明,设A的互不相同的特征值为 ，,它们的重数分别为,对于i，有 ri 个线性无关的实特征向量，将它们正 交单位化，可得到 ri 个单位正交的特征向量，共 n 个。,而不同的特征值对应的特征向量是正交的，故这 n 个 单位特征向量都是两两正交的。,以它们为列向量作出矩阵P为一个正交矩阵，则有 P -1AP=,例9 设,使P -1AP=P TAP=为对角阵。,解,特征值为: 1=2, 2=3=4,当 时,由, 求一个正交阵P，,36,当2=3=4 时, 由,基础解系中两个向量恰好正交,单位化即得两单位正交的特征向量:,
