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1、2018/10/22,高等数学课件,*三、二重积分的换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算法,第十章,2018/10/22,高等数学课件,一、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .这说明无论被积函数正负皆可以按上述方法定限.,由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数
2、学课件,说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域 ,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X型区域, 则,解法2. 将D看作Y型区域, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,例2. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解1: 为简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线,则,机动 目录 上页 下
3、页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,例2. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解2: 先对 y 后对 x 积分,及直线,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,例3. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :,先对 x 积分不行,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,例4. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高
4、等数学课件,补充题,计算积分,其中D 由,所围成 .,提示:如图所示,连续,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,小贴士：关于二重积分的对称性：,D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,当区域关于 y 轴对称时仍有类似结果.,在 D 上,域D 关于x 轴对称,则,则,轮换对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,例5. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,例6.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求,（08研）,将,分为
5、,曲线,2018/10/22,高等数学课件,练习册. 证明,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,技巧题,设,且,求,提示:,交换积分顺序后, 利用轮换对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,练习1.,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算,可表示为：,其中D是由,围成。,2018/10/22,高等数学课件,练习2.,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,交换积分次序,练习3.,计算,D如图所示。,提示:,2018/10/22,高等数学课件,练习4.,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算
6、,2018/10/22,高等数学课件,二、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下, 用同心圆 r =常数,则,及射线 =常数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为在极坐标下计算,先讨论积分区域D：,分划区域D 为,即,2018/10/22,高等数学课件,设,则,特别, 对,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,特例：若 f 1 则可求得D 的面积,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y,答:,轴相切于原点,问 应取多少？,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,例6. 计算,D 为由圆,所围成的,及直线,解
7、：,平面闭区域.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,例7. 计算,解: 由于对称性，只计算第一象限部分，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分为两个步骤：,2018/10/22,高等数学课件,求交点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,例8. 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,注:,利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上, 当D 为 R2 时,
8、利用例 6 的结果, 得,故式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,例9. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解: 设,由对称性可知:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,定积分换元法,*三、二重积分换元法,满足,一阶导数连续;,雅可比行列式,(3) 变换,则,定理:,变换:,是一一对应的 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形, 其顶点为,通过变换T, 在 xoy
9、面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,同理得,当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四,边形,故其面积近似为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此面积元素的关系为,2018/10/22,高等数学课件,从而得二重积分的换元公式:,例如, 直角坐标转化为极坐标时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,例9. 计算,其中D 是 x 轴 y 轴和直线,所围成的闭域.,解: 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,例10. 计算由
10、,所围成的闭区域 D 的面积 S .,解: 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,例11. 试计算椭球体,解:,由对称性,令,则D 的原象为,的体积V.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,广义极坐标代换,2018/10/22,高等数学课件,内容小结,(1) 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,则,(2) 一般换元公式,且,则,极坐标系情形: 若积分区域为,在变换,下,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,(3) 计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),充分利用对称性,应用换元公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,解：,原式,参考题,1. 给定,改变积分的次序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/22,高等数学课件,2. 交换积分顺序,提示: 积分域如图,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
