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1、第二章 轴向拉伸和压缩,受力变形特点: 外力或其合力的作用线沿杆件的轴线(轴载), 主要变形为轴向伸缩。这样的杆件称拉压杆。,2.1 拉压杆的内力 轴力及轴力图,横截面是杆件内最有代表性的截面，其上的内力可用截面法求出。,由隔离体的平衡条件截面上只有截面法向的内力分量 FN(x),称为轴力。,约定使杆件产生纵向伸长变形的轴力为正，即轴力方向与截面外法向一致时为正，反之为负。,以截面位置和内力值为坐标可绘出内力在杆件上的分布图形，称为内力图,而拉压杆的内力图即为轴力图。通常要求内力图画在与受力图对应的位置。,例：一变截面直杆受力如图，试画该杆的内力图。,解：杆件受轴载作用, A 处反力 FA也为
2、轴向外力,故内力为轴力,内力图即轴力图,求支反力,求内力,画内力图（轴力图）,例：图示重量为P 的变截面圆杆的质量密度为，顶端受轴向外载 F，考虑自重的影响，试画该杆的内力图。,解：自重是均匀分布的体积力，在本问题中其合力作用线与轴线重合是轴载。,杆件受力计算中分布外力用沿轴线的分布集度描述,叠加原理适用,拉压杆各横截面上的内力只有轴力，可用截面法求得，约定使杆件受拉的轴力为正。 轴力是截面位置的函数，其表达式称为轴力方程。函数的图形直观反映了轴力沿杆轴线的分布，称为轴力图。 轴力图要画在与受力图对应的位置。 集中力作用处两侧截面的轴力值发生突变，改变量的大小与集中力的大小相等。 轴力对截面位
3、置坐标的一阶导数的大小等于外载分布集度的大小。 小变形下，叠加原理适用于内力计算。即多个力同时作用引起的内力等于各个力单独作用引起的内力叠加结果。,拉压杆的内力,2.2 拉压杆的应力,一、平面假设 横截面上的应力,几何分析：根据实验观测，假设变形后横截面仍保持为平面且与轴线垂直，即拉压的平面假设。这样，横截面上各处法向线应变相同，切应变为零。即变形是均匀的。,物性分析：内力与变形有确定的关系，对于连续均匀材料，从几何分析可推论横截面上的内力为均匀分布的法向内力。即为常量为零。,静力学分析：,变截面杆或分布轴载作用下横截面正应力计算,公式适用于轴载作用的杆件。,2.2 拉压杆的应力,二、斜截面上
4、的应力,讨论任一方位截面上的应力及与横截面上应力的关系，斜截面上各处法向线应变和切应变相同，即变形是均匀的。因此内力均匀分布。,斜截面上的全应力可分解为正应力和切应力,A 横截面面积 A 斜截面面积,公式反映了任一点处所有方位截面上的应力。一点处不同方位截面上应力的集合(应力全貌)称为一点处的应力状态。,单向(单轴)应力状态,例：图示由斜焊缝焊接而成的钢板受拉力F作用。已知：F=20kN，b=200mm，t=10mm，=30o。试求焊缝内的应力。,F,F,b,t,解：本问题实际上是要求轴载直杆斜截面上的应力,先计算横截面上的应力,再用斜截面应力公式计算要求的应力,即焊缝处的正应力为7.5MPa
5、，切应力为4.33MPa。,拉压杆横截面上只有均匀分布的法向内力，即同一横截面上正应力为常量，切应力为零。对正应力规定拉应力为正，压应力为负。 两端加载等直拉压杆斜截面上内力也是均匀分布的。同一斜截面上既有正应力也有切应力且均为常量，并可用横截面上的应力表示。规定使隔离体产生顺时针转动趋势的切应力为正。 过一点不同方位截面上应力的集合反映了该点处应力的全貌，称一点处的应力状态。应力状态可用单元体表示。拉压杆内各点为单向应力状态。,拉压杆的应力,2.3 拉压杆的变形,一、拉压杆的轴向变形,实验表明，当 F 在一定的范围时，有：,胡克定律, E 称弹性模量或杨氏模量, 与应力有相同的量刚,EA 称
6、杆的拉压刚度。,2.3 拉压杆的变形,二、拉压杆的横向变形,实验表明，在胡克定律适用的范围时，有：,即 横向线应变与轴向线应变恒异号，两者之比的绝对值为一常数，称为泊松比。,弹性模量 E 和泊松比都是材料的弹性常数，由实验测得。,例：图示等截面直杆，横截面面积为A，弹性模量E，自重为W。杆的自由端受轴向力F作用，考虑杆的自重影响，求自由端 B 及杆中截面C 的轴向位移。,解：沿杆轴线建立坐标，可得轴力方程,杆的上端A是固定端，直杆变形时此截面的轴向位移为零,而杆内任一截面的轴向位移就是该截面到上端之间杆段的伸长量。,将 x=l 和 x=l/2 代入，得：,B、C 两截面的相对轴向位移为：,位移
7、是力的线性函数叠加原理适用,例： 图示桁架，在节点 A 承受铅直力 F 作用。已知：杆1 用钢管制成，弹性模量 E1=200GPa，横截面面积 A1=100mm2，杆长 l1=1m；杆2 用硬铝管制成，弹性模量E2=70GPa，横截面面积 A2=250mm2；载荷 F=10kN。试求节点的水平和铅直位移。,解：取节点A为研究对象，计算各杆的轴力,(拉伸),(压缩),节点 A 变形后的新位置 A,小变形,在小变形下，可用切线代替弧线，则A 可视为A的新位置,由几何关系，可求得：,拉压杆的变形主要是轴向变形,用线应变来度量变形程度。 除轴向变形外还会有横向变形，且与轴向变形保持一定的关系，即泊松效
8、应。 杆中任意点的位移与杆的变形可建立确定的关系，在小变形下，分析一点位移路径时可用切线代替弧线，使问题得到简化。 小变形线弹性下，叠加原理适用于变形计算。即多个力同时作用引起的变形等于各个力单独作用引起的变形的叠加结果。,拉压杆的变形,单向应力状态单元体微面上的力在变形过程中做的功为,弹性体因变形而储存的能量称为应变能(变形能)，线弹性范围内，可通过功能原理求得。,不考虑能量损耗，则力做的功全部转化为单元体的应变能,单位体积内储存的应变能，称为应变能密度，单向应力状态有,叠加原理不再适用,2.4 拉压杆的应变能,利用外力功计算应变能并不方便，在更多情况下主要是通过内力功来计算。,2.4 拉压
9、杆的应变能,一、拉压杆的应变能,2.4 拉压杆的应变能,应变能一定是正的量，应变能的计算一般是不能叠加的。但如果一种载荷在另一种载荷引起的位移上不做功，则二者同时作用时的应变能等于两种载荷单独作用时的应变能之和。,一、拉压杆的应变能,2.4 拉压杆的应变能,二、利用能量原理求位移（能量法）,利用实功原理求单力系统外力的相应位移,卡氏定理,卡氏第一定理：,在线弹性范围内，有,当第 i 个广义位移有一微小增量 时，应变能的增量为：,卡氏第二定理：,当第 i 个广义力有一微小增量 时，余能的增量为：,卡氏第二定理仅适用于线弹性范围,单位力法,与外力保持平衡的内力，称为可能内力。满足位移边界条件和变形
10、连续条件的位移称为可能位移。与作用力系无因果关系的可能位移，相对该力系称为虚位移。力在虚位移上做的功，称为虚功。平衡力系在刚体位移上做的虚功为零。,变形体的虚功原理(虚位移原理)为：在外力作用下处于平衡的弹性体，任给一种虚位移。则外力在虚位移上做的虚功等于内力在虚变形上做的虚功。也可理解为外力虚功全部转化为虚应变能。,虚功原理,单位力法：,更广泛的意义下是否成立？,相应虚广义位移和虚变形为：,在一组广义力作用下平衡的结构，在某种因素作用下产生微小的可能位移 。,以整体为对象计算，虚功为：,将杆件视为无数微段的组合，虚功为：,在小变形情况下虚功原理适用于一般可变形体。,以弹性杆系说明：,受各因素
11、作用的实际结构，相应广义位移和变形：,单位力法：计算结构指定位移的一般方法,假设结构受与欲求位移相应的单位广义力，将在结构引起支反力和内力：(平衡的力状态),实际位移一定是可能位移。在小变形下，可作为虚位移。(变形协调的位移状态),则：,单位力法,单位力法适用于小变形下一般可变形体(线弹性、非线性弹性)的位移计算。结果为正时，表示位移方向与假设单位力方向一致，为负表示两者方向相反。,其中实际变形是由载荷引起的,载荷作用产生的位移计算,对线弹性直杆结构，有：,该式称为莫尔定理，式中积分称为莫尔积分。适用于线弹性杆件结构。,由卡氏定理也可得到和莫尔定理相同形式的位移计算公式。,例：图示桁架两杆横截
12、面积均为 A，材料的物理关系为 |= c|1/2 ， c 是与材料有关的常数，在 D 节点作用一横力 F ，求节点 D 的铅直位移和水平位移。,解：桁架各杆内只有轴力，由位移计算公式：,式中：,外力作用下各杆内力和应力为：,则：,求铅直位移Dy，在 D 点加向下的单位力，有,例：图示桁架两杆横截面积均为 A，材料的物理关系为 |= c|1/2 ， c 是与材料有关的常数，在 D 节点作用一横力 F ，求节点 D 的铅直位移和水平位移。,求水平位移Dx，在 D 点加向右的单位力，有,例：图示结构各杆长 l ，当支座 B 发生沉陷，试求节点 D 的水平位移和铅直位移。,其他因素引起的位移计算,解：
13、静定结构支座位移不会引起附加内力，也不会产生变形。结构只有刚体位移。,求铅直位移，在节点 D 加向下的单位力,求水平位移，在节点 D 加向右的单位力,例：图示结构由刚性杆AB及弹性杆件1 组成，杆长 l =1m ，弹性杆材料的线膨胀系数l =1.210-5 oC -1。试求当杆1的温度升高T=50 oC 时B点的铅直位移。,解：随着温度的改变，物体会发生膨胀或收缩，即温度变形，引起结构各点位移。,由单位力法：,B点的铅直位移为1.8 mm。,应力-应变图 -曲线,F/A,2.5 材料在拉伸和压缩时的力学性能,一、低碳钢在拉伸时的力学性能,弹性阶段 撤除外力后变形可完全消失,线弹性阶段 OA,非
14、线性弹性阶段 AD,屈服阶段 产生残余变形，应力基本不变而变形继续增加。,强化阶段 要使变形增加，需要加大应力。,颈缩阶段,F,比例极限,弹性极限,屈服极限,强度极限,冷作硬化,拉伸图,2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能,二、其他材料在拉伸时的力学性能,塑性材料,名义屈服极限或屈服强度,F/A,脆性材料,直到拉断也没有明显的残余变形，断口为横截面。,2.5 材料在拉伸和压缩时的力学性能,三、材料在压缩时的力学性能,塑性材料,屈服之前与拉伸基本相同，测不到强度极限,脆性材料,压缩时的强度极限远高于拉伸时的强度极限,压缩试件,2.6 拉压杆的强度计算,一、许用应力,许用应力：给定的材料制成的构件
15、中工作应力的最大容许值，称为该材料的 许用应力,n为大于1的系数，称安全系数,二、强度条件,2.6 拉压杆的强度计算,三、强度计算,1.强度校核：给定构件形式、材料、尺寸和载荷工况，校核构件是否满足强度条件。,3.确定许用载荷：已知构件形式、材料及尺寸，确定在给定作用方式下载荷的最大许用值。,2.确定截面尺寸：给定构件形式、材料和载荷工况，确定构件所需的最小截面尺寸。,如果最大工作应力超过了许用应力，但超过量在5%以内，在工程设计中仍然是允许的。,2.6 拉压杆的强度计算,四、应力集中对强度计算的影响,应力集中现象：截面发生突变而引起局部应力骤增的现象，称为应力集中。,K 称为应力集中因子(系
16、数) 1,对于塑性材料制成的构件，静载作用下强度计算可以不考虑应力集中的影响。,对于脆性材料制成的构件，强度计算则必须考虑应力集中的影响。但铸铁材料例外。,例：某压力机的曲柄滑块机构如图所示，且 l =2r。工作压力 F=3274kN，连杆 AB 横截面为矩形，高与宽之比 h/b =1.4，材料为45号钢，许用应力=90MPa。试设计截面尺寸h和b。,F,解：连杆 AB 为二力杆，工作中受轴载作用,计算 AB 杆的轴力：,当曲柄为铅直位置时轴力(值)最大,(受压),确定连杆截面尺寸：,例：图示三角托架。在节点A受铅垂载荷F作用，其中钢拉杆AC由两根6.3（边厚为6mm）等边角钢组成，AB杆由两根10工字钢组成。材料为Q235钢，许用拉应力t=160MPa，许用压应力c=90MPa ，试确定许用载荷 F 。,
