高一年级数学暑假自主研修校本教材

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1、高一年级数学暑假自主研修校本教材高一年级数学暑假自主研修校本教材 一、数与式的运算一、数与式的运算 一）一） 、必会的乘法公式、必会的乘法公式 【公式公式 1】 cabcabcbacba222)(2222证明证明： 2222)(2)()()(ccbabacbacbacabcabcbacbcacbaba222222222222等式成立【例例 1】计算：22)312(xx解解：原式=2231)2(xx91 322 3822)2(312312)2(2)31()2()(234222222xxxxxxxxxx说明说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列【公式公式 2】(立方和公式立方和公式

2、)3322)(babababa证明证明: 3332222322)(bababbaabbaabababa说明说明:请同学用文字语言表述公式 2.【例例 2】计算： （2a+b） （4a2-2ab+b2）=8 a3+b3【公式公式 3】(立方差公式立方差公式)3322)(babababa1计算 （1） （3x+2y） （9x2-6xy+4y2）= （2） （2x-3） （4x2+6xy+9）=（3）=)91 61 41(31 212 mmm（4） （a+b） （a2-ab+b2） （a-b） （a2+ab+b2）=2利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1）27m3-n3=（2）27m3-n3=8

3、1（3）x3-125= （4） m6-n6=【公式公式 4】33322()33ababa bab【公式公式 5】33223()33abaa babb【例例 3】计算：（1）（2）)416)(4(2mmm)41 101 251)(21 51(22nmnmnm（3）（4）)164)(2)(2(24aaaa22222)(2(yxyxyxyx解解：（1）原式=333644mm（2）原式=3333 81 1251)21()51(nmnm（3）原式=644)()44)(4(63322242aaaaa（4）原式=2222222)()()(yxyxyxyxyxyx63362332)(yyxxyx说明说明：（1

4、）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公 式的结构（2）为了更好地使用乘法公式，记住 1、2、3、4、20 的平方数和 1、2、3、4、10 的立方数，是非常有好处的【例例 4】已知，求的值2310xx 331 xx 解解： 2310xx 0x31xx原式=18)33(33)1)(1()11)(1(22 22xxxxxxxx说明说明：本题若先从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较2310xx x 烦琐本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算请注意 整体代换法本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智 之举【例例

5、5】已知，求的值0cba111111()()()abcbccaab解解：bacacbcbacba, 0原式=abbacaccabbccba333()()()aabbccabc bcacababc abccabccabbababa3)3(3)(32233，把代入得原式=abccba333333abcabc说明说明：注意字母的整体代换技巧的应用 二）二） 、根式、根式式子叫做二次根式，其性质如下：(0)a a (1) (2) 2()(0)aa a2|aa(3) (4) (0,0)abab ab(0,0)bbabaa【例例 6】化简下列各式：(1) (2) 22( 32)( 31)22(1)(2)

6、(1)xxx解解：(1) 原式=|32|31| 2331 1 (2) 原式=(1)(2)23 (2)|1|2|(1)(2)1 (1x2) xxxxxxxx说明说明：请注意性质的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对2|aa字母的取值分类讨论【例例 7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1) 83(2) (3) (4) 32311 ab3282xxx解解：(1) = 83 46 2823 83(2) 原式=23(23)3(23)63 323(23)(23)(3) 原式=22aba bab abab(4) 原式=22222222 23 222xx xxxx xxxx x说明

7、说明： (1)二次根式的化简结果应满足： 被开方数的因数是整数，因式是整式； 被开方数不含能开得尽方的因数或因式(2)二次根式的化简常见类型有下列两种： 被开方数是整数或整式化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数 或因式开出来；分母中有根式(如)或被开方数有分母(如)这时可将其化为形式(如3232xab可化为) ，转化为 “分母中有根式”的情况化简时，要把分母中的根式化为有理2x2x式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简(如化为，其中3233(23)(23)(23)与叫做互为有理化因式)2323有理化因式和分母有理化有理化因式和分母有理化有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，

8、如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化因式。如与；与互为有理化因式。aaybxaybxa分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。【例例 8】计算：(1) (2) 2(1)(1)()abababaaaabaab 解解：(1) 原式=22(1)()(2)2221baaabbaabb (2) 原式=11()()aaaabaababab ()()2()()ababa ababab说明说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分 式二次根式的运算【例例 9】设，求的值2323, 2323xy 33xy解解：22(23)2374

9、 3,74 3 14,12323xyxyxy原式=2222()()()()314(143)2702xy xxyyxyxyxy说明说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量1二次根式成立的条件是()2aa ABCD是任意实0a 0a 0a a 数2若，则的值是()3x 296|6|xxxABCD 3计算：(1) (2) 2(34 )xyz2(21)()(2 )abab ab (3)(4) 322)()(babababa221(4 )(4)4ababab4化简(下列的取值范围均使根式有意义)：a

10、(1) (2) 38a1aa(3) (4) 4aba bb a11223231 5化简：(1) (2) 219102325mmmmmm222(0)2xyxyxyxx y6若，则的值为()：112xy33xxyy xxyy ABCD3 53 55 35 37设，求代数式的值11,3232xy22xxyy xy 8已知，求代数式11120,19,21202020axbxcx的值222abcabbcac9设，求的值51 2x4221xxx10化简或计算：(1) (2) 113( 184)232322122(25)352(3) 2x xxyxxyy xyyx xyy练练 习习答案：答案： 1 C 2

11、A3 (1) (2) 2229166824xyzxyxzyz22353421aabbab(3) (4) 2233a bab331164ab42()222 12abaaaab5 6 D 7 2m mxy13368 3 9 10354 33,3xy y三）三） 、分式、分式当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用A BA B 以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质【例例 10】化简1 1x xx xx 解法一解法一：原式=222(1)1 1(1) 1(1)(1)11x xxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx x解法一解法一：原式=22

12、(1)1 (1)(1) 111()x xxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx说明说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质进行化简一般根据题目特点综合使用两种方AAm BBm 法【例例 11】化简2223961 62279xxxx xxxx解解：原式=2223961161 2(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9)xxxxx xxxxxxxxxx22(3)12(1)(3)(3)3 2(3)(3)2(3)(3)2(3)xxxxx xxxxx说明说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式

13、 分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式四）四） 、多项式除以多项式、多项式除以多项式 做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母的降幂排列，缺项补零（除式的缺项也 可以不补零，但做其中的减法时，要同类项对齐） ，要特别注意，得到每个余式的运算都是 减法。结果表示为：被除式=除式商式+余式【例例 1】计算)3()3(24xxx解：393933330030032222442xxxxxxxxxxxxxxx39)3()3()3(224计算1)32()2713103(223xxxxx2) 1()22(232xxx3已知1453, 211221923234xxxBxxxxA求：22BA 答案：答案：132151443)32()2713103(2223 xxxxxxxxx212) 1()22(2232 xxxxxx3222)23(xBA二二、因式分解因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运 算