《【高中同步测控 优化设计】2015-2016学年高中数学选修2-3训练：1.3.2离散型随机变量的方差 word版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【高中同步测控 优化设计】2015-2016学年高中数学选修2-3训练：1.3.2离散型随机变量的方差 word版含答案（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.2 离散型随机变量的方差A 组1.已知 X 的分布列为X1234P则 D(X)的值为( )A.B.C.D. 解析:E(X)=1+2+3+4,D(X)=. 答案:C 2.已知随机变量 X+Y=8,若 XB(10,0.6),则 E(Y),D(Y)分别是( ) A.6,2.4B.2,2.4 C.2,5.6D. 6,5.6 解析:XB(10,0.6),E(X)=100.6=6,D(X)=100.6(1-0.6)=2.4. 又 X+Y=8,Y=8-X.E(Y)=E(8-X)=8-E(X)=8-6=2, D(Y)=D(-X+8)=D(X)=2.4. 答案:B 3.由以往的统计资料表明,甲、乙两名运
2、动员在比赛中的得分情况为:X1(甲得分)012P0.20.50.3X2(乙得分)012P0.30.30.4现有一场比赛,应派哪位运动员参加较好( ) A.甲B.乙 C.甲、乙均可D.无法确定 解析:E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.120.2+0.120.5+0.920.3=0.49,D(X2) =1.120.3+0.120.3+0.920.4=0.69,D(X1)D(X2), 即甲比乙得分稳定,甲运动员参加较好. 答案:A 4.设一随机试验的结果只有 A 和,且 P(A)=m,令随机变量 X=则 X 的方差 D(X)等于( )A.mB.2m(1-m)C.m(m-1)D.m(1-
3、m) 解析:随机变量 X 的分布列为X01P1-mmE(X)=0(1-m)+1m=m. D(X)=(0-m)2(1-m)+(1-m)2m=m(1-m). 答案:D 5.设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)=,k=0,1,2,n,且 E(X)=24,则 D(X)的值为( ) A.8B.12 C.D.16 解析:由题意可知 XB,E(X)=n=24.n=36. D(X)=36=8. 答案:A 6.已知某离散型随机变量 X 服从的分布列如下,则随机变量 X 的方差 D(X)= . X0 1Pm2m解析:由分布列知 m+2m=1,m=.E(X)=1. D(X)=. 答案: 7.袋中有大小相同的三个
4、球,编号分别为 1,2,3,从袋中每次取出一个球,若取到球的编号为奇 数,则取球停止,用 X 表示所有被取到的球的编号之和,则 X 的方差为 . 解析:X 的分布列为X135P则 E(X)=1+3+5,D(X)=. 答案: 8.有 10 张卡片,其中 8 张标有数字 2,2 张标有数字 5,从中随机地抽取 3 张卡片,设 3 张卡片上 的数字之和为 X,求 D(X). 解:由题知 X=6,9,12. P(X=6)=,P(X=9)=,P(X=12)=.X 的分布列为X6 9 12PE(X)=6+9+12=7.8. D(X)=(6-7.8)2+(9-7.8)2+(12-7.8)2=3.36. 9.
5、根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的影响如下表:降水量XX300300X700700X900X900工期延误天数Y02610历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3,0.7,0.9,求: (1)工期延误天数 Y 的均值与方差; (2)在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率. 解:(1)由已知条件和概率的加法公式有P(X300)=0.3,P(300X700)=P(X700)-P(X300)= 0.7-0.3=0.4, P(700X900)=P(X900)-P(X700)=0.9-0.7
6、=0.2. P(X900)=1-P(X900)=1-0.9=0.1. 所以 Y 的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是,E(Y)=00.3+20.4+60.2+100.1=3, D(Y)=(0-3)20.3+(2-3)20.4+(6-3)20.2+(10-3)20.1=9.8. 故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8. (2)由概率的加法公式,P(X300)=1-P(X300)=0.7, 又 P(300X900)=P(X900)-P(X300)=0.9-0.3=0.6. 由条件概率,得 P(Y6|X300)=P(X900|X300)=. 故在降水量 X 至少是 300
7、的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是.B 组1.已知随机变量 X 的分布列为x mnPa若 E(X)=2,则 D(X)的最小值等于( ) A.0B.2C.4D.6解析:依题意得 a=1-,E(X)=m+n=2,即 m+2n=6. 又 D(X)=(m-2)2+(n-2)2=2n2-8n+8=2(n-2)2,当 n=2 时,D(X)取得最小值 0. 答案:A 2.已知随机变量 X 的分布列如下:X123Pabc其中 a,b,c 成等差数列,若 E(X)=,则 D(X)= . 解析:由题意得 2b=a+c,a+b+c=1,a+2b+3c=,以上三式联立解得 a=,b=,c=,故 D(X)=. 答
8、案: 3.若 p 为非负实数,随机变量 X 的分布列为X0 12P-p p则 E(X)的最大值是 ,D(X)的最大值是 . 解析:由分布列的性质可知 p, 则 E(X)=p+1,故 E(X)的最大值为.D(X)=(p+1)2+p(p+1-1)2+(p+1-2)2=-p2-p+1=-, 又 p,当 p=0 时,D(X)取得最大值 1. 答案: 1 4.某旅游公司为三个旅游团提供了 a,b,c,d 四条旅游线路,每个旅游团队可任选其中一条线路, 则选择 a 线路的旅游团数 X 的方差 D(X)= . 解析:由题意知 X 的可能取值有 0,1,2,3,并且 P(X=0)=, P(X=1)=, P(X
9、=2)=, P(X=3)=.E(X)=0+1+2+3. D(X)= =. 答案: 5.数字 1,2,3,4,5 任意排成一列,如果数字 k 恰好在第 k 个位置上,则称有一个巧合. (1)求巧合数 X 的分布列; (2)求巧合数 X 的均值与方差. 解:(1)X 的可能取值为 0,1,2,3,5, P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=5)=,所以巧合数 X 的分布列为X01235P(2)E(X)=0+1+2+3+5=1,D(X)=1+0+1+4+16=1. 6.A,B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1和 X2.根据市场分析,X1和 X2的分布列分别为
10、X15%10%P 0.80.2X22%8%12%P 0.20.50.3(1)在 A,B 两个项目上各投资 100 万元,Y1(万元)和 Y2(万元)分别表示投资项目 A 和 B 所 获得的利润,求方差 D(Y1),D(Y2); (2)将 x(0x100)万元投资 A 项目,(100-x)万元投资 B 项目,f(x)表示投资 A 项目所得利润的 方差与投资 B 项目所得利润的方差的和.求 f(x)的最小值,并指出 x 为何值时,f(x)取到最小值. 解:(1)由题设可知 Y1和 Y2的分布列分别为Y1510P 0.80.2Y22812P 0.20.50.3E(Y1)=50.8+100.2=6, D(Y1)=(5-6)20.8+(10-6)20.2=4; E(Y2)=20.2+80. 5+120.3=8, D(Y2)=(2-8)20.2+(8-8)20.5+(12-8)20.3=12. (2)f(x)=D+D =D(Y1)+D(Y2) =x2+3(100-x)2 =(4x2-600x+31002). 所以当 x=75 时,f(x)=3 为最小值.
