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1、第五节 直接证明与间接证明全盘巩固 1用反证法证明：若整系数一元二次方程 ax2bxc0(a0)有有理数根，那么 a、b、c 中至少有一个是偶数用反证法证明时，下列假设正确的是( ) A假设 a、b、c 都是偶数 B假设 a、b、c 都不是偶数 C假设 a、b、c 至多有一个偶数 D假设 a、b、c 至多有两个偶数 解析：选 B “至少有一个”的否定为“都不是” 2设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)单调递减，若 x1x20，则 f(x1) f(x2)的值( ) A恒为负值 B恒等于零 C恒为正值 D无法确定正负 解析：选 A 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且
2、当 x0 时，f(x)单调递减，可知 f(x)是 R 上的单调递减函数，由 x1x20，可知 x1x2，f(x1)Q BPQ CP1；ab2；ab2；a2b22；ab1. 其中能推出：“a、b 中至少有一个大于 1”的条件是_(填序号)解析：若 a ，b ，则 ab1.但 a2，故推不 出； 若 a2，b3，则 ab1，故推不出； 对于，即 ab2，则 a、b 中至少有一个大于 1. 反证法：假设 a1 且 b1，则 ab2 与 ab2 矛盾， 因此假设不成立，故 a、b 中至少有一个大于 1. 答案： 9若二次函数 f(x)4x22(p2)x2p2p1，在区间1,1内至少存在一点 c，使 f
3、(c)0，则实数 p 的取值范围是_解析：法一：(补集法)令Error!Error!解得 p3 或 p ，32故满足条件的 p 的范围为.(3，32) 法二：(直接法)依题意有 f(1)0 或 f(1)0，即 2p2p10， 1.求证： .1b1a1a11b证明： 1，a0，0，1b1a1a11b只需证1，只需证 1abab1，1a1b只需证 abab0，即1，即 1.这是已知条件，所以原不等式成立abab1b1a11设 Sn表示数列an的前 n 项和 (1)若an为等差数列，推导 Sn的计算公式；(2)若 a11，q0，且对所有正整数 n，有 Sn.判断an是否为等比数列，并证1qn1q 明
4、你的结论 解：(1)法一：设an的公差为 d，则 Sna1a2ana1(a1d)a1(n1)d， 又 Snan(and)an(n1)d，2Snn(a1an)，Sn.na1an2 法二：设an的公差为 d，则 Sna1a2ana1(a1d)a1(n1)d， 又 Snanan1a1a1(n1)da1(n2)da1， 2Sn2a1(n1)d2a1(n1)d2a1(n1)d2na1n(n1)d，Snna1d.nn12 (2)an是等比数列证明如下：Sn，an1Sn1Snqn.1qn1q1qn11q1qn1qqn1q1qa11，q0，当 n1 时，有q，an1anqnqn1 因此，an是首项为 1 且公
5、比为 q 的等比数列 12(2013北京高考)给定数列 a1，a2，an，对 i1,2，3，n1，该数列前 i 项的最大值记为 Ai，后 ni 项 ai1，ai2，an的最小值记为 Bi，diAiBi. (1)设数列an为 3,4,7,1，写出 d1，d2，d3的值； (2)设 a1，a2，an(n4)是公比大于 1 的等比数列，且 a10，证明： d1，d2，dn1是等比数列； (3)设 d1，d2，dn1是公差大于 0 的等差数列，且 d10，证明：a1，a2，an1 是等差数列 解：(1)d12，d23，d36.(2)证明：因为 a10，公比 q1， 所以 a1，a2，an是递增数列因此
6、，对 i1,2，n1，Aiai，Biai1. 于是对 i1,2，n1，diAiBiaiai1a1(1q)qi1.因此 di0 且q(i1,2，n2)，即 d1，d2，dn1是等比数列di1di (3)证明：设 d 为 d1，d2，dn1的公差对 1in2，因为 BiBi1，d0， 所以 Ai1Bi1di1BididBidiAi. 又因为 Ai1maxAi，ai1，所以 ai1Ai1Aiai. 从而 a1，a2，an1是递增数列因此 Aiai(i1,2，n1) 又因为 B1A1d1a1d1a1，所以 B1a1a2an1.因此 anB1. 所以 B1B2Bn1an.所以 aiAiBidiandi.
7、 因此对 i1,2，n2 都有 ai1aidi1did，即 a1，a2，an1是等差数 列 冲击名校 设集合 W 是满足下列两个条件的无穷数列an的集合：an1；anM，其中 nN*，M 是与 n 无关的常数anan22 (1)若an是等差数列，Sn是其前 n 项的和，a34，S318，试探究Sn与集合 W 之间 的关系； (2)设数列bn的通项为 bn5n2n，且bnW，M 的最小值为 m，求 m 的值；(3)在(2)的条件下，设 Cn bn(m5)n，求证：数列Cn中任意不同的三项都152 不能成为等比数列解：(1)a34，S318，a18，d2.Snn29n.Sn1满足条件SnSn22 ，Sn2，当 n4 或 5 时，Sn取最大值 20.Sn20 满足条件，SnW.(n92)814 (2)bn5n2n可知bn中最大项是 b37，M7，M 的最小值为 7. (3)证明：由(2)知 Cnn，假设Cn中存在三项 cp，cq，cr(p，q，r 互不相等)成等2比数列，则 c cpcr，(q)2(p)(r)，2 q222(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，Error!Error!消去 q 得(pr)20，pr，2与 pr 矛盾Cn中任意不同的三项都不能成为等比数列
