《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第十二章 不等式选讲 第60讲 不等式的证明优选学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第十二章 不等式选讲 第60讲 不等式的证明优选学案（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 第第 6060 讲讲 不等式的证明不等式的证明 考纲要求考情分析命题趋势 2017全国卷 ，23 2015全国卷 ，24 2015湖南卷， 16(3) 1.了解柯西不等式的几种不同形式， 理解它们的几何意义，并会证明 2会用参数配方法讨论柯西不等式的 一般情形： 2，会 n i1 a 2i n i1 b 2i ( n i1 aibi) 用向量递归方法讨论排序不等式 3了解数学归纳法的原理及其使用范 围，会用数学归纳法证明一些简单问题 4了解证明不等式的基本方法：比较 法、综合法、分析法、反证法、放缩法 分值：510 分 不等式的证明是对 必修 5 中“不等式”的 补充和深化，其中以考 查综
2、合法、分析法、放 缩法等为主另外应用 基本不等式、柯西不等 式求函数的最值也是高 考考查的一个方向 1比较法 作差比较法与作商比较法的基本原理： (1)作差法：ab0_ab_. (2)作商法： _1_ab(a0，b0) a b 2综合法与分析法 (1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过 2 _推理论证_而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法 (2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的_充分条件_，直 至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而 得出要证的命题成立这是一种_执果索因_的思考和
3、证明方法 3反证法 先假设要证的命题_不成立_，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、 性质等，进行正确的_推理_，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事 实等)_矛盾_的结论，以说明假设_不正确_，从而证明原命题成立，我们把它称为反证 法 4放缩法 证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地_放大_或_缩小_以利于化简，并使 它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法 5数学归纳法 数学归纳法证明不等式的一般步骤： (1)证明当_nn0_时命题成立； (2)假设当_nk_(kN N*，且kn0)时命题成立，证明_nk1_时命题也成
4、立 综合(1)(2)可知，结论对于任意nn0，且n0，nN N*都成立 6柯西不等式 (1)代数形式：设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当 adbc时等号成立 (2)向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量， 或存在实数k，使k时，等号成立 (3)三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3R R，则 x1x22y1y22x2x32y2y32 . x1x32y1y32 (4)一般形式：设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa 2 12 2 )(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存
5、在一 2n2 12 22n 个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立 7排序不等式 设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任 一排列，那么a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn.当且仅 当a1a2an或b1b2bn时，反序和等于顺序和 1思维辨析(在括号内打“”或“”) 3 (1)用反证法证明命题“a，b，c全为 0”时假设为“a，b，c全不为 0”. ( ) (2)若实数x，y适合不等式xy1，xy2，则x0，y0.( ) (3)不等式|xa|xb|c恒成立的充要条件是|ab|c.( ) (4)不等式|xa|
6、xb|c恒成立的充要条件是|ab|c.( ) 2若a0，b0，a，b的等差中项是 ，且a ，b ，则的最小值 1 2 1 a 1 b 为( D D ) A2 B3 C4 D5 解析 为a，b的等差中项，ab 21. 1 2 1 2 a b 1 11， 1 a 1 b 1 a 1 b ab ab 1 ab ，ab . ab ab 2 ab 2 4 1 4 114.的最小值为 5.故选 D. 1 ab 3设a0，b0，若是 3a与 3b的等比中项，则 的最小值为( B B ) 3 1 a 1 b A8 B4 C1 D 1 4 解析 因为 3a3b3，所以ab1. (ab)2 224，当且仅当 ，即
7、ab 时“”成 1 a 1 b ( 1 a 1 b) b a a b b a a b b a a b 1 2 立故选 B. 4若直线 3x4y2，则x2y2的最小值为_ _，最小值点为_ _. 4 25 ( 6 25， 8 25) 解析 画出直线 3x4y2 的图象，再画以原点为圆心的圆，要使圆和直线有交点，则 最小半径为直线与圆相切时，r ，切点为直线 3x4y2 与 4x3y0 的交点 |2| 5 2 5 因此，当x，y时，x2y2取得最小值，最小值为，最小值点为. 6 25 8 25 4 25 ( 6 25， 8 25) 5定义在 R R 上的函数f(x)对任意两个不等的实数x1，x2都
8、有x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2) x2f(x1)，则称函数f(x)为“函数” ，以下函数中为“函数”的序号为_. yx31；y3x2sin x2cos x； yError!yError! 4 解析 由排序不等式原理可知x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)Error!或Error!f(x) 是 R R 上的增函数易知是 R R 上的减函数；是 R R 上的偶函数；对于，y32sin 2 0；对于，根据其图象可以判定为增函数 (x 4) 一 比较法证明不等式 比较法证明不等式的步骤 (1)作差(商)；(2)变形；(3)判断差的符号(商与 1 的大小关系)；(4)下结
9、论其中 “变形”是关键，作差比较法中通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合 不等式的性质判断出差的正负 【例 1】 已知a，b，x，y(0，)，且 ，xy.求证：. 1 a 1 b x xa y yb 证明证明 方法一 ， 且a，b(0，)，ba0. x xa y yb bxay xayb 1 a 1 b 又xy0，bxay. 0，即. bxay xayb x xa y yb 方法二 x，y，a，b(0，)， 要证，只需证明x(yb)y(xa)，即证xbya. x xa y yb 而由 0，得ba0. 1 a 1 b 又xy0，xbya显然成立故原不等式成立 二 分析法和综合法证
10、明不等式 分析法和综合法证明不等式的技巧 证明不等式，主要从目标式的结构特征，综合已知条件，借助相关定理公式探索思路， 如果这种特征不足以明确解题方法时，就应从目标式开始通过“倒推”分析法，寻找目 标式成立的充分条件直至与已知条件吻合，然后从已知条件出发综合写出证明过程 【例 2】 (2017全国卷)已知a0，b0，a3b32.证明： (1)(ab)(a5b5)4； (2)ab2. 证明证明 (1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4) 5 4ab(a2b2)24. (2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2 3 ab 2
11、 4 ， 3 ab 3 4 所以(ab)38，因此ab2. 三 柯西不等式的应用 柯西不等式应用的常见类型及解题策略 (1)求表达式的最值依据已知条件，利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件 (2)证明不等式注意所证不等式的结构特征，寻找柯西不等式的条件，然后证明 【例 3】 (1)已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，求证： 1a2. (2)若x2y3z6，求x2y2z2的最小值 证明证明 (1)由柯西不等式得(2b23c26d2) ( 1 2 1 3 1 6) (bcd)2，即 2b23c26d2(bcd)2，由已知可得 2b23c26d25a2，bcd3a，
12、5a2(3a)2，即 1a2， 当且仅当，即 2b3c6d时，等号成立 2b 1 2 3c 1 3 6d 1 6 (2)因为 6x2y3z，所以x2y2z2，当且仅当x x2y2z2149 18 7 ，即x ，y ，z 时，x2y2z2有最小值. y 2 z 3 3 7 6 7 9 7 18 7 1设abc0，则 2a210ac25c2的最小值是( D D ) 1 ab 1 aab A1 B2 C3 D4 解析 2a210ac25c2 1 ab 1 aab (a5c)2a2abab 1 ab 1 aab (a5c)2aba(ab)0224， 1 ab 1 aab 6 当且仅当a5c0，ab1，
13、a(ab)1 时等号成立，如取a，b，c满足 2 2 2 2 5 条件故选 D. 2若P(x0，y0，z0)，则P与 3 的大小关系为_P0,1y0,1z0， 0 时，解集为，则 6， 2，无解；当aa2bab2. 证明证明 (a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2. 因为a，b都是正数，所以ab0. 又因为ab，所以(ab)20.于是(ab)(ab)20， 即(a3b3)(a2bab2)0，所以a3b3a2bab2. 2已知a，b，c都是正数，求证：abc. a2b2b2c2c2a2 abc 证明证明 因为b2c22bc，a20，所以a2(b2c2)2a2bc， 同理，b2(a2c2)
14、2ab2c， c2(a2b2)2abc2， 相加得 2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2， 从而a2b2b2c2c2a2abc(abc) 由a，b，c都是正数，得abc0， 因此abc. a2b2b2c2c2a2 abc 3已知a，b，c(0，)，求证：23. ( ab 2 ab) ( abc 3 3abc) 8 证明证明 欲证 23， ( ab 2 ab) ( abc 3 3abc) 只需证ab2abc3， ab 3 abc 即证c23，a，b，c(0，)， ab 3 abc c2c33， ababab 3 cabab 3 abc c23成立，故原不等式成立 ab 3 abc 4设a，b为正实数，且 2. 1 a 1 b2 (1)求a2b2的最小值； (2)若(a
