《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第五章 数列 第28讲 等差数列及其前n项和优选学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第五章 数列 第28讲 等差数列及其前n项和优选学案（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 2828 讲讲 等差数列及其前等差数列及其前n n项和项和考纲要求考情分析命题趋势2017全国卷，172017全国卷，172017江苏卷，192016浙江卷，81.理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数、二次函数的关系. 分值：57 分1.利用公式求等差数列指定项、前n项和；利用定义、通项公式证明数列是等差数列2利用等差数列性质求等差数列指定项(或其项数)、公差；利用等差数列的单调性求前n项和的最值.1等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第_
2、2_项起，每一项与它的前一项的差等于_同一个常数_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_d_表示，定义表达式为_anan1d(常数)(nN N*，n2)_或_an1and(常数)(nN N*)_.(2)等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A_.ab 222等差数列的有关公式(1)等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是_ana1(n1)d_.(2)等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn_na1d_或Sn_.nn12na1an23等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an
3、am_(nm)d_(n，mN N*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN N*)，则_akalaman_.(3)若an是等差数列，公差为d，则也是等差数列，公差为_2d_.a2n(4)若an，bn是等差数列，公差为d，则也是等差数列panqbn(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN N*)是公差为_md_的等差数列(6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(7)S2n1(2n1)an.(8)若n为偶数，则S偶S奇；nd 2若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前
4、一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN N*，都有 2an1anan2.( )(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的( )(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数( )(5)等差数列的前n项和公式是常数项为 0 的二次函数( )解析 (1)错误若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，这个数列就不是等差数列(2)正确如果数列an为等差数列，根据定义an2an1an1an，即2an1anan2；反之，若对任意nN N*，都有 2an1anan2，则an2an1an1ananan1a2a1，根据定义知数列
5、an为等差数列(3)正确当d0 时为递增数列；d0 时为常数列；d0，d0 时，满足Error!的项数m使得Sn取得最小值为Sm.【例 4】 等差数列an中，a10，S5S12，当n为何值时，Sn有最大值？解析 设等差数列an的公差为d，由S5S12，得 5a110d12a166d，da10，得nk)总成立，则称数列an是“P(k)数列” (1)证明：等差数列an是“P(3)数列” ；(2)若数列an既是“P(2)数列” ，又是“P(3)数列” ，证明：an是等差数列证明 (1)因为an是等差数列，设其公差为d，则ana1(n1)d，从而，当n47时，ankanka1(nk1)da1(nk1)
6、d2a12(n1)d2an，k1,2,3，所以an3an2an1an1an2an36an，因此等差数列an是“P(3)数列” (2)数列an既是“P(2)数列” ，又是“P(3)数列” ，因此，当n3 时，an2an1an1an24an，当n4 时，an3an2an1an1an2an36an，由知an3an24an1(anan1)，an2an34an1(an1an)将代入，得an1an12an，其中n4，所以a3，a4，a5，是等差数列，设其公差为d.在中，取n4，则a2a3a5a64a4，所以a2a3d，在中，取n3，则a1a2a4a54a3，所以a1a32d，所以数列an是等差数列易错点
7、性质应用不灵活错因分析：对于等差数列an中，若mnpq2k，则amanapaq2ak；若 1n2k，则Snnak；anam(nm)d等的性质应用不够灵活na1an2【例 1】 等差数列an中，a10，公差d0，a53a7，前n项和为Sn，若Sn取得最大值，则n_.解析 方法一 由已知得a14d3(a16d)，a17d，Sn (n215n)d 2d 2，n7 或 8 时，Sn最大(n15 2)2225 4方法二 a5(a52d)2a7，a7d0，即a80.d0，a1a2a7a80a9，n7 或 8 时，Sn最大方法三 a5a72a7a7a5a9，a7a90，于是a80，d0，a1a2a7a80a
8、9，n7 或 8 时，Sn最大答案 7 或 8【跟踪训练 1】 (1)设Sn是等差数列an的前n项和，若 ，则( A A )a5 a35 9S9 S5A1 B1 8C2 D1 2(2)在等差数列an中，a12 017，其前n项和为Sn，若2，则S2 019( S12 12S10 10C C )A2 018 B2 018 C2 019 D2 019解析 (1)设等差数列an的首项为a1，由等差数列的性质可得a1a92a5，a1a52a3， 1.故选 AS9 S5a1a9 2 9a1a5 2 59a5 5a39 55 9(2)设等差数列前n项和为SnAn2Bn，则AnB，Sn n成等差数列Sn n
9、2 017，S1 1a1 1是以2 017 为首项，以 1 为公差的等差数列Sn n2 0172 01811，S2 019 2 019S2 0192 019.故选 C课时达标课时达标 第第 2828 讲讲解密考纲主要考查等差数列的通项公式、等差中项及其性质以及前n项和公式的应用，三种题型均有涉及一、选择题1已知等差数列an的前 13 项和为 39，则a6a7a8( B B )A6 B9C12 D18解析 由等差数列的性质，得S1313a739，a73.由等差中项，得a6a7a83a79.故选 B2等差数列an的前n项和为Sn，已知a58，S36，则a9( C C )A8 B12C16 D249
10、解析 由已知得a14d8,3a1d6，解得a10，d2.故a9a18d16.3 2 2故选 C3(2018山东济南一中期中)等差数列an中，若S1010，则a5a6( C C )A0 B1 C2 D3 解析 等差数列an中，S1010，a1a102，由等差数列的性质可10a1a102知a5a6a1a102.故选 C4设Sn是公差不为零的等差数列an的前n项和，且a10，若S5S9，则当Sn最大时，n( B B )A6 B7 C10 D9解析 由题意可得S9S5a6a7a8a90，2(a7a8)0，即a7a80.又a10，该等差数列的前 7 项为正数，从第 8 项开始为负数当Sn最大时，n7.5
11、在等差数列an中，a9a123，则数列an的前 11 项和S11( C C )1 2A24 B48C66 D132解析 设公差为d，a9a123，即a18d (a111d)3，整理，得a15d6，1 21 2即a66.S1166.故选 C11a1a11211 2a6 26设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是( C C )A若d0D若对任意的nN N* *，均有Sn0，则数列Sn是递增数列解析 C 项显然是错的，举出反例：1，0,1,2,3，满足数列Sn是递增数列，但是对任意的nN N*，Sn0 不成立二、填空题7设等差数列an的前n项和为Sn，若a13，ak
12、1 ，Sk12，则正整数3 210k_13_.解析 由Sk1Skak112 ，3 221 2又Sk1，k1a1ak12k1(332) 221 2解得k13.8设等差数列an的前n项和为Sn，若10，知数列an是递增数列，所以p1为真命题；因为nann(2n8)，对称轴为n2，则数列nan先减后增，所以p2为假命题；因为2 ，故数列是递增数列，所以p3为真命题；an n8 nan n因为a(2n8)2，对称轴为n4，则数列a先减后增，所以p4为假命题2n2n三、解答题10在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值解析 (1)设等差数
13、列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33，可得 12d3，解得d2，从而an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n.所以Sn2nn2.n132n2由Sk35，可得 2kk235，即k22k350，解得k7 或k5.又kN N*，故k7.11已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk110.11(1)求a及k的值；(2)设数列bn的通项bn，证明数列bn是等差数列，并求其前n项和Tn.Sn n解析 (1)设该等差数列为an，则a1a，a24，a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422，所以Skka1d2k2k2k.kk12kk12由Sk110，得k2k1100，解得k10 或k11(舍去)，故a2，k10.(2)由(1)得Snn(n1)，则bnn1，n22n2Sn n故bn1bn(n2)(n1)1，即数列bn是首项为 2，公差为 1 的等差数列，所以Tn.n2n12nn3212设等差数列an的前n项和为Sn，若a10，S2 0170.(1)求Sn的最小值及此时n的值；(2)求n的取值集合，使其满足anSn.解析 (1)设公差为d，则由S2 01702 017a1d0a11 2 017 2 016 2008d0，d
