《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第8讲 指数与指数函数优选学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第8讲 指数与指数函数优选学案（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 8 8 讲讲 指数与指数函数指数与指数函数考纲要求考情分析命题趋势2017山东卷，102017北京卷，102016浙江卷，72015天津卷，71.了解指数函数模型的实际背景2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2,3,10， 的指数函数的图象1 21 34体会指数函数是一类重要的函数模型.分值：5 分1.指数幂的化简与运算，经常与对数函数相结合考查2指数函数的图象与性质的应用是高考的热点，经常与对数函数一起考查3指数函数的综合应用是高考的热点，经常以指数型函数和复合函数的形式出现，考查它们的
2、单调性、奇偶性、最值等.1根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果_xna_，那么x叫做a的n次方根n1，且nN N*当n是奇数时，正数的n次方根是一个_正数_，负数的n次方根是一个_负数_na零的n次方根是零当n是偶数时，正数的n次方根有_两个_，这两个数互为_相反数_(ana0)负数没有偶次方根2(2)两个重要公式Error!nan()n_a_(注意：a必须使 有意义)nana2有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：a_(a0，m，nN N*，且n1)；m nnam负分数指数幂：a _(a0，m，nN N*，且n1)；m n1amn1nam0 的正分数指数幂等于_0_,0 的负
3、分数指数幂_无意义_.(2)有理数指数幂的性质aras_ars_(a0，r，sQ Q)；(ar)s_ars_(a0，r，sQ Q)；(ab)r_arbr_(a0，b0，rQ Q)3指数函数的图象与性质yaxa100 时，_y1_；当x0 时，_01_性质在 R R 上是_增函数_在 R R 上是_减函数_1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)与()n都等于a(nN N*)( )nanna(2)2a2b2ab.( )(3)函数y32x与y2x1都不是指数函数( )(4)若am0，且a1)，则m1 时，mn.(5)正确y2xx，根据指数函数的性质可知函数在 R R 上为减函数(1 2)2化简(2
4、)6 (1)0的结果为( B B )1 2A9 B7 C10 D9解析 原式(26) 17.1 23函数f(x)的定义域是( A A )12xA(，0 B0，)C(，0) D(，)解析 12x0，2x1，x0.4已知函数f(x)4ax1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( A A )A(1,5) B(1,4)C(0,4) D(4,0)解析 当x1 时，f(x)5.5若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_(，1)(1，)_.22解析 由题意知 00，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，和一条渐近线y0.(1，1 a)(2)与指数函数有关的函数图象的研究
5、，往往利用最基本的指数函数的图象，通过平移、对称变换，得到其图象(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解【例 2】 (1)函数yax (a0，且a1)的图象可能是( D D )1 a5(2)若曲线|y|2x1 与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_1,1_.解析 (1)因为函数yax (a0，且a1)的图象必过点(1,0)，所以 D 项正1 a确故选 D(2)曲线|y|2x1 与直线yb的图象如图所示由图象可得：如果|y|2x1 与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1,1三 指数函数的性质及应用有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大
6、小问题常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1)(2)简单的指数不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决【例 3】 已知函数f(x)exex(xR R，且 e 为自然对数的底数)(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t，使不等式f(xt)f(x2t2)0 对一切xR R 都成立？若存
7、在，求出t；若不存在，请说明理由解析 (1)f(x)exx，(1 e)6f(x)exx，f(x)0 对任意xR R 都成立，(1 e)f(x)在 R R 上是增函数f(x)的定义域为 R R，且f(x)exexf(x)，f(x)是奇函数(2)存在，由(1)知f(x)在 R R 上是增函数和奇函数，则f(xt)f(x2t2)0 对一切xR R 都成立f(x2t2)f(tx)对一切xR R 都成立x2t2tx对一切xR R 都成立t2tx2x2 对一切xR R 都成立t2t(x2x)min t2t (x1 2)1 41 41 420.(t1 2)又20，20，t ，存在t ，使不等式f(xt)(t
8、1 2)(t1 2)1 21 2f(x2t2)0 对一切xR R 都成立1已知a，b，c，则( D D )(3 5)2 5(2 5)3 5(2 5)2 5Aac，b0，且a1，如果以P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)f(x2)( A A )A1 Ba C2 Da2解析 以P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)为端点的线段的中点在y轴上，x1x20，又f(x)ax，f(x1)f(x2)ax1ax2ax1x2a01.故选 A3函数y4x2x11 的值域为( B B )A(0，) B(1，)C1，) D(，)解析 令 2xt(t0)，则函数y4x
9、2x11 可化为yt22t1(t1)2(t0)函数y(t1)2在(0，)上递增，y1.所求值域为(1，)故选 B74函数f(x)axloga(x1)(a0，且a1)在0,1上的最大值和最小值之和为a，则a的值为( B B )A B 1 41 2C2 D4解析 在0,1上yax与yloga(x1)具有相同的单调性，f(x)axloga(x1)在0,1上单调f(0)f(1)a，即a0loga1a1loga2a，化简得 1loga20，解得a .1 2易错点 不注意ax 0a 0，且a 1错因分析：令tax时，忽略了t0 这一条件【例 1】 要使关于x的不等式 9x(4a)3x40 恒成立，求实数a
10、的取值范围解析 方法一 令 3xt，则t0，且t2(4a)t40 在t(0，)时恒成立令f(t)t2(4a)t4(t0)，则恒成立(3x4 3x)令 3xt，其中t0，t 4(当且仅当t2 时取等号)，4 t4，(t4 t)4a恒成立，4a4，a8.(t4 t)实数a的取值范围为(8，)【跟踪训练 1】 如果函数ya2x2ax1(a0，且a1)在1,1上有最大值 14，试求a的值解析 设tax0，则原函数可化为y(t1)22，其对称轴为t1.若a1，tax在1,1上递增，t.1 a，a1cb BcabCabc Dbac解析 b2.501，c2.522.5，(1 2)则 22.5f(c)f(b)
11、，结合图象知 00，0f(c)，12a2c1，2a2cf(3)，则a的取值范围是_(0,1)_.解析 因为f(x)axx，且f(2)f(3)，(1 a)所以函数f(x)在定义域上单调递增，所以 1，解得 00，且a1)在1,2上的最大值为 4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_ _.x1 4解析 因为g(x)在0，)上为增函数，则 14m0，即m1，则函数f(x)在1,2上单调递增，最小值为 m，最大值为a24，解得1 aa2，m ，与m0，且a1)，若对任意x1，x2R R，0，fx1fx2x1x2则a的取值范围是_(0,1)(2，)_.解析 当 02 时，a20
12、，yax单调递增，所以f(x)单调递增又由题意知f(x)单调递增，故a的取值范围是(0,1)(2，)三、解答题10化简：(1)(a0，b0)；a3b23ab2a14b1 24a13b1 3(2) (0.002) 10(2)1()0.(27 8)2 31 252311解析 (1)原式a3b2a13b2 31 2ab2a13b1 3a 1b1 2ab1.3 21 61 31 31 3(2)原式 1(27 8)2 3(1 500)1 21052500 10(2)1(8 27)2 31 25 1010201.4 955167 911已知函数f(x)ax24x3.(1 3)(1)若a1，求f(x)的单调
13、区间；(2)若f(x)有最大值 3，求a的值解析 (1)当a1 时，f(x)x24x3，令g(x)x24x3，由于g(x)在(1 3)(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yt在 R R 上单调递减，所以(1 3)f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令g(x)ax24x3，当a0 时，g(x)4x3 在 R R 上不存在最小值，即f(x)不存在最大值，不合题意当a0 时，g(x)ax24x3a23 ，g(x)(x2 a)4 amin3 (a0)，f(x)max3 3，3 1，a1.4 a(1 3)4 a4 a12已知定义域为 R R 的函数f(x)是奇函数2xb 2x1a(1)求a，b的值；(2)解关于t的不等式f(t22t)f(2t21)2t21，即3t22t10，解不等式可得t.|t 1或t 13
