《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第15讲 导数与函数的极值优选学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第15讲 导数与函数的极值优选学案（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 1515 讲讲 导数与函数的极导数与函数的极值、最值值、最值考纲要求考情分析命题趋势2017北京卷，202017江苏卷，202016全国卷，212016天津卷，20了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).分值：58 分利用导数求函数的极值、最值是高考中的热点问题、高频考点，题型有求函数的极值、最值和已知函数的极值、最值求参数值或取值范围，难度较大.1函数的极值(1)函数的极小值若函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值_都小_，且f(a)0，而且在点xa附
2、近的左侧_f(x)0_，则点xa叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值(2)函数的极大值若函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，且f(b)0，而且在点xb附近的左侧_f(x)0_，右侧_f(x)0，f(0)1 e0，f(4)0，最小值为 0.故选 A4 e44若函数f(x)x3ax23x9 在x3 时取得极值，则a( D D )A2 B3 C4 D53解析 f(x)3x22ax3，f(3)0，a5.5设函数f(x)xex，则( D D )Ax1 为f(x)的极大值点Bx1 为f(x)的极小值点Cx1 为f(x)的极大值点Dx1 为f(x)的极小值点解
3、析 求导得f(x)exxexex(x1)，令f(x)ex(x1)0，解得x1，易知x1 是函数f(x)的极小值点一 利用导数研究函数的极值利用导数研究函数极值问题的步骤【例 1】 已知函数f(x)xaln x(aR R)(1)当a2 时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值解析 函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1 .a x(1)当a2 时，f(x)x2ln x，f(x)1 (x0)，因而f(1)1，f(1)2 x1，曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1 (x0)可知a xxa x当a0 时，
4、f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值当a0 时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上所述，当a0 时，函数f(x)无极值；当a0 时，函数f(x)在xa 处取得极小值aaln a，无极大值4【例 2】 设函数f(x)ln xax2bx，若x1 是f(x)的极大值点，求a的取值范1 2围解析 f(x)的定义域为(0，)，f(x) axb，由f(1)0，得1 xb1a.f(x) axa1.若a0，当1 xax21axx xax1x1x00，f(x)单调递增；当x1 时，f(x
5、)1，解得11.1 a故a的取值范围为(1，)二 利用导数研究函数的最值求可导函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的基本步骤(1)求出函数f(x)在区间(a，b)内的所有极值f(x1)，f(x2)，f(xn)(2)计算函数f(x)在区间a，b上的两个端点值f(a)，f(b)(3)对所有的极值和端点值作大小比较(4)对比较的结果作出结论：所有这些值中最大的即是该函数在a，b上的最大值，所有这些值中最小的即是该函数在a，b上的最小值【例 3】 设f(x)x3x22ax.1 31 2(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2 3，)(2)当 00，得a .所以，2 3，)(2 3)
6、2 92 91 9当a 时，f(x)在上存在单调递增区间1 9(2 3，)(2)令f(x)0，得两根x1，x2.1 18a21 18a2所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增当 00；当22 时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2 处取得极大值，在x2 处取得极小值故选 D2函数f(x)x(xm)2在x1 处取得极小值，则m_1_.解析 f(x)(xm)22x(xm)(xm)(3xm)f(x)x(xm)2在x1 处取得极小值，f(1)0，即(1m)(3m)0，解得m1 或m3.当m1 时，f(x)(x1)(3x1)当 1 时，f(x)0，f(x)在x
7、1 处取得极小值，即m1 符合题意当m3 时，f(x)(x3)(3x3)3(x1)(x3)当x0；当 10，得Error!或Error!解得xln 2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示.x(，2)2(2，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由上表可知，函数f(x)的单调增区间为(，2)和(ln 2，)，单调减区间为(2，ln 2)，极大值为f(2)4(1e2)，极小值为f(ln 2)22ln 2(ln 2)2.4已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1 处的切线为l：3xy10，若x 时，yf(x)有极值2 3
8、(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值解析 (1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.当x1 时，切线l的斜率为 3，可得 2ab0，当x 时，yf(x)有极值，则f0，2 3(2 3)可得 4a3b40，由，解得a2，b4.由于切点的横坐标为 1，所以f(1)4，所以 1abc4，得c5.7(2)由(1)可得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，解得x12，x2 .2 3当x变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情况如表所示.x3(3，2)2(2，2 3)2 3(2 3，1)f(x)00f(x)8单调递增13单调递减95
9、 27单调递增4所以yf(x)在3,1上的最大值为 13，最小值为.95 27易错点 分类不完全错因分析：对参数的分类讨论不完全【例 1】 已知函数f(x)(4x24axa2)，其中a0.25x2x2x由f(x)0，得 02.2 5故函数f(x)的单调递增区间为和(2，)(0，2 5)(2)f(x)，a4，即a0 时，由f(x)0，得x ，1 af(x)在上递减，在上递增，即f(x)在x 处有极小值(0，1 a)(1 a，)1 a当a0 时，f(x)在(0，)上没有极值点；当a0 时，f(x)在(0，)上有一个极值点(2)函数f(x)在x1 处取得极值，a1，f(x)bx21 b，1 xln
10、x x令g(x)1 ，则g(x)，令g(x)0，得xe2，则g(x)在1 xln x xln x2 x2(0，e2)上递减，在(e2，)上递增，g(x)ming(e2)1，即b1，即实数b1 e21 e2的取值范围为.(，11 e2课时达标课时达标 第第 1515 讲讲解密考纲本考点主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值或者已知最值求9参数等问题高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合，作为中档题或压轴题出现三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大一、选择题1若函数f(x)x32cx2x有极值点，则实数c的取值范围为( D D )AB32，)(32，)CD(，32 3
11、2，)(，32) (32，)解析 若函数f(x)x32cx2x有极值点，则f(x)3x24cx10 有两个不同的根，故(4c)2120，从而c或c0，令f(x)0，得x1；令f(x)0，在(1,0上，f(x)0，则当x2,0时函数有最大值，为f(1)2.当a0 时，若x0，显然 eax1，此时函数在2,2上的最大值为 2，符合题意；当a0时，若函数在2,2上的最大值为 2，则 e2a2，得 0f(2)f(2)，m3，最小值为f(2)37.故选 A6若函数f(x)x3x22bx在区间3,1上不是单调函数，则函数f(x)在1 3(1b 2)R R 上的极小值为( A A )A2b Bb4 33 2
12、2 3C0 Db2b31 6解析 f(x)x2(2b)x2b(xb)(x2)函数f(x)在区间3,1上不是单调函数，30，得x2.由f(x)0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值当a0 时，令f(x)0，得 exa，即xln a.x(，ln a)时，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故f(x)在xln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a0 时，函数f(x)无极值；12当a0 时，f(x)在xln a处取得极小值 ln a，无极大值11(2018福建南安诗山中学月考)已知函数f(x)ax22ax2a(
13、a0)，若f(x)在区间2,3上有最大值 1.(1)求a的值；(2)若g(x)f(x)mx在2,4上单调，求实数m的取值范围解析 方法一 (1)因为函数的图象是抛物线，a1 时，f(x)0)上的最小值解析 (1)当a5 时，g(x)(x25x3)ex，g(1)e.又g(x)(x23x2)ex，故切线的斜率为g(1)4e.所以切线方程为ye4e(x1)，即y4ex3e.(2)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表.13x(0，1 e)1 e(1 e，)f(x)0f(x)单调递减极小值单调递增当t 时，在区间t，t2上f(x)为增函数，1 e所以f(x)minf(t)tln t.当 0t 时，在区间上f(x)为减函数，在区间上f(x)为增函数，所1 et，1 e)(1 e，t2以f(x)minf .(1 e)1 e综上，f(x)minError!
