《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第九章 概率 第52讲 几何概型优选学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第九章 概率 第52讲 几何概型优选学案（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 5252 讲讲 几何概型几何概型考纲要求考情分析命题趋势2017全国卷，42017江苏卷，72016全国卷，81.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率2了解几何概型的意义分值：5 分几何概型主要考查事件发生的概率与构成事件区域的长度、角度、面积、体积有关的实际问题，注重考查数形结合思想和逻辑思维能力1几何概型如果事件发生的概率只与构成该事件区域的_长度(面积或体积)_成比例，而与A的形状和位置无关，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的两个特点一是_无限性_，即在一次试验中，基本事件的个数是无限的；二是_等可能性_，即每一个基本事件发生的可能性是均等的因此，用几
2、何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法” ，即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的_图形面积(体积、长度)_”与“试验的基本事件所占的_总面积(总体积、总长度)_”之比来表示3在几何概型中，事件A的概率的计算公式2P(A)_ _.构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积4随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法这个方法的基本步骤是：用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；统计
3、代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；计算频率fn(A) 作为所求概率的近似M N值1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率( )(2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的( )(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等( )(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形( )解析 (1)正确由随机模拟方法及几何概型可知，该说法正确(2)错误虽然环境相同，但是因为随机模拟得到的是某一次的频率，所以结果不一定相等(3)正确由几何概型的定义知，该说法正确(4)正确由几
4、何概型的定义知，该说法正确2在区间(15,25内的所有实数中随机抽取一个实数a，则这个实数满足 17a20的概率是( C C )A B 1 31 2C D3 107 10解析 a(15,25，P(17a20).2017 25153 103有一杯 2 L 的水，其中含有 1 个细菌，用一个小杯从水中取 0.1 L 水，则小杯水中含有这个细菌的概率为( C C )A0.01 B0.02 C0.05 D0.13解析 因为取水是随机的，而细菌在 2 L 水中的任何位置是等可能的，则小杯水中含有这个细菌的概率为P0.05.0.1 24已知x是4,4上的一个随机数，则使x满足x2x20 的概率为( B B
5、 )A B 1 23 8C D05 8解析 x2x202x1，则P .12443 85某路公共汽车每 5 min 发车一次，某乘客到乘车点时刻是随机的，则他候车时间不超过 3 min 的概率是( A A )A B 3 54 5C D2 51 5解析 此题可以看成向区间0,5内均匀投点，求点落入2,5内的概率设A某乘客候车时间不超过 3 min，则P(A) .构成事件A的区域长度 试验的全部结果构成的区域长度3 5一 与长度、角度有关的几何概型(1)设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点，点落在线段l的概率为P.l的长度 L的长度(2)当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时，应以角的
6、大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的度量手段【例 1】 (1)设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径倍的概率是( B B )2A B 3 41 2C D1 33 5(2)(2017江苏卷)记函数f(x)的定义域为D.在区间4,5上随机取一6xx2个数x，则xD的概率是_ _.5 94(3)甲、乙两个人玩一转盘游戏(转盘如图，C为弧AB的中点)，任意转动转盘一次，指针指向圆弧AC时甲胜，指向圆弧BC时乙胜后来转盘损坏如图，甲提议连接AD，取AD中点E，若任意转动转盘一次，指针指向线段AE时甲胜，指向线段ED时乙胜然后继续游戏，你觉得此时游戏_不
7、公平_(填公平或不公平)，因为P甲_P乙(填“”或“”)解析 (1)作等腰直角AOC和AMO，B为圆上任一点，则当点B在上运动时，MmC弦长|AB|R，2P .1 2(2)由 6xx20，解得2x3，则D2,3，则所求概率为 .32545 9(3)连接OE，在 RtAOD中，AOE，DOE，若任意转动转盘一次，指针指 6 3向线段AE的概率是P甲 ，指针指向线段ED的概率是P乙 ，所以P 6 21 3 3 22 3甲 ，又，所以 ，故所求的概率为 (即为长度之比)VSAPC VSABCSAPC SABCPM BN1 3PM BNAP ABAP AB1 32 31把半径为 2 的圆分成相等的四段
8、弧，再将四段弧围成星形放在半径为 2 的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为( A A )A1 B4 2 C D4 1 21 2解析 这是一道几何概型概率计算问题星形弧半径为 2，所以点落在星形内的概率为P1.故选 A22(22412 2 2) 2 4224 2在区间1,1上随机取一个数x，使 cos的值介于 0 到 之间的概率为( A A )x 21 2A B 1 32 C D1 22 3解析 在区间1,1上随机取一个数x，试验的全部结果构成的区域长度为 2.1x1，x. 2 2 2由 0cos x ，得x或x， 21 2 3 2 2 2 2 3 x1 或1x .2 32 3设
9、事件A为“cos x的值介于 0 到 之间” ，则事件A发生对应的区域长度为 .P(A) 21 22 3 .2 3 21 33在区间2,2上随机取一个数x，使1 成立的概率为_ _.|x1|x1|5 87解析 在区间2,2上随机取一个数x，则2x2，而满足不等式|x1|x1|1 的x的取值为x .又因为2x2，故2x ，所以使不等式成1 21 2立的概率为P .1 22225 84如图，在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_0.18_.解析 由题意知，这是个几何概型问题，0.18，S阴 S正180 1 000S正1，S阴0.1
10、8.易错点 几何概型概念不清错因分析：对事件中的几何元素认识不清晰，导致解题错误【例 1】 (1)在等腰 RtABC中，在斜边AB上任取一点M，则AMAC的概率为_.(2)在等腰 RtABC中，过直角顶点C在ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AMAC的概率为_. 解析 (1)这是一个与长度有关的几何概型问题，在AB上截取ACAC，于是P(AMAC)P(AMAC).AC ABAC AB22(2)这是一个与角度有关的几何概型问题，在AB上截取ACAC，则ACC67.5，而ACB90，于是P(AMAC)P(AMAC) .18045 267.5 903 4答案 (1) (2)223 4【
11、跟踪训练 1】 在区间0,1上随机取两个数x，y，记p1为事件“xy ”的概率，1 28p2为事件“xy ”的概率，则( D D )1 2Ap1p2 Bp2 p11 21 2C p2p1 Dp1 p21 21 2解析 (x，y)构成的区域是边长为 1 的正方形及其内部，其中满足xy 的区域如1 2图(1)中阴影部分所示，所以p1 ，满足xy 的区域如图(2)中阴影部分1 21 21 2 1 11 81 2所示，所以p2 ，所以p1 p2.故选 D.S1S2 1 11 2S2 11 21 2课时达标课时达标 第第 5252 讲讲解密考纲几何概型在高考中常以选择题或填空题的形式出现一、选择题1在区
12、间2,3上随机选取一个数X，则X1 的概率为( B B )A B4 53 5C D2 51 5解析 区间2,3的长度为 3(2)5，2,1的长度为 1(2)3，故满足条件的概率P .3 52设p在0,5上随机地取值，则关于x的方程x2px10 有实数根的概率为( C C )A B1 52 5C D3 54 5解析 方程有实根，则p240，解得p2 或p2(舍去)所以所求概率为 .52 503 53在区间0,2上任取一个数x，则使得 2sin x1 的概率为( C C )9A B 1 61 4C D1 32 3解析 2sin x1，x0,2，x，( 6，56)P .故选 C5 66 21 34(
13、2017全国卷)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B B )A B1 4 8C D1 2 4解析 设正方形的边长为 2，则正方形的面积为 4，正方形内切圆的面积为 ，根据对称性可知，黑色部分的面积是正方形内切圆的面积的一半，所以黑色部分的面积为.根 2据几何概型的概率公式，得所求概率P.故选 B. 2 4 85设不等式组Error!表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到直线y20 的距离大于 2 的概率是( D D )A B4 135 13C D8 259
14、 25解析 作出平面区域可知平面区域D是以A(4,3)，B(4，2)，C(6，2)为顶点的三角形区域，当点在AED区域内时，点到直线y20 的距离大于 2.P.故选 D.SAED SABC1 2 6 31 2 10 59 25106已知函数f(x)x2bxc，其中 0b4,0c4.记函数f(x)满足条件Error!为事件A，则事件A发生的概率为( C C )A B1 43 8C D1 25 8解析 由题意，得Error!即Error!表示的区域如图中阴影部分所示，可知阴影部分的面积为 8，所以所求概率为 .故选 C1 2二、填空题7正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，在正方体内随机取一点M，则使四棱锥MABCD的体积小于 的概率为_ _.1 61 2解析 当VMABCD 时，即 11h ，解得h ，1 61 31 61 2则点M到底面ABCD的距离小于 ，1 2所以所求概率P .1 1 1 2 1 1 11 28记集合A(x
