《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 课时达标22 解三角形应用举例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 课时达标22 解三角形应用举例（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1课时达标课时达标 第第 2222 讲讲 解三角形应用举例解三角形应用举例解密考纲本考点考查利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，三种形式均可能出现，一般排在选择题、填空题的中间或最后位置或解答题靠前的位置，题目难度中等一、选择题1一艘海轮从A处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40方向直线航行，30 分钟后到达B处在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么B，C两点间的距离是( A A )A10 海里 B10 海里23C20 海里 D20 海里32解析 如图所示，易知，在ABC中，AB20
2、 海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10海里故选 ABC sin 30AB sin 4522要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为 45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为 120，甲、乙两地相距 500 m，则电视塔的高度是( D D )A100 m B400 m2C200 m D500 m3解析 由题意画出示意图，设塔高ABh m，在 RtABC中，由已知得BCh m，在RtABD中，由已知得BDh m，在BCD中，由余弦定理3BD2BC2CD22BCCDcosBCD，得
3、 3h2h25002h500，解得h500 m.3长为 3.5 m 的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处 1.4 m 的地面上，另一端B在离堤足C处的 2.8 m 的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值 tan ( A A )2A B 23155 16C D2311611 5解析 由题意，可得在ABC中，AB3.5 m，AC1.4 m，BC2.8 m，且ACB.由余弦定理，可得AB2AC2BC22ACBCcosACB，即3.521.422.8221.42.8cos()，解得 cos ，所以 sin ，5 1623116所以 tan .sin cos 23154如图所示，为测量一建筑物的
4、高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为 30，45，且A，B两点间的距离为 60 m，设该建筑物的高度为h m，则h( A A )A3030 B301533C1530 D151533解析 在PAB中，PAB30，APB15，AB60，sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30 .2232221 26 24由正弦定理，得，PB sin 30AB sin 15所以PB30()，1 2 606 2462故建筑物的高度hPBsin 4530()3030 .622235(2018河南天一大联考)2017 年 9 月 16 日 05 时，第
5、 19 号台风“杜苏芮”的中心3位于甲地，它以每小时 30 千米的速度向西偏北的方向移动，距台风中心t千米以内的地区都将受到影响，若 16 日 08 时到 17 日 08 时，距甲地正西方向 900 千米的乙地恰好受台风影响，则t和的值分别为(附：8.585)( A A )73.71A858.5,60 B858.5,30C717,60 D717,30解析 如图，根据题意，3 小时后台风中心距甲地 90 千米，27 小时后台风中心距甲地810 千米，乙地有 24 小时在台风范围内，根据余弦定理得t29002902290900cos ，t2900281022810900cos ，解得 cos ，所
6、以60，1 2t29002902290900cos 60737 100，t858.5.故选 A6如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为 75，30，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度BC( C C )A240(1) m B180(1) m32C120(1) m D30(1) m33解析 tan 15tan(6045)2，tan 60tan 45 1tan 60tan 453BC60tan 6060tan 15120(1)(m)故选 C3二、填空题7一艘船上午 9：30 在A处测得灯塔S在它的北偏东 30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10：00 到达B处，此时又测
7、得灯塔S在它的北偏东 75处，且与它相距 8 n mile，此船的航速是_32_n mile/h.24解析 设航速为v n mile/h，在ABS中，ABv，1 2BS8 n mile，BSA45.2由正弦定理，得，v32 n mile/h.8 2sin 301 2v sin 458江岸边有一炮台OA高 30 m，江中有两条船M，N，船与炮台底部O在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距_10_m.3解析 OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010(m)，333在MON中，由余弦定理，得MN10(m)900300
8、2 30 10 3 3230039某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东 30方向上，15 min 后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75方向上，则点B与电视塔的距离是_3_km.2解析 由题意知AB246，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18015 6075105，ASB45，由正弦定理知，BSBS sin 30AB sin 453.ABsin 30 sin 452三、解答题10如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 000 m，速度为 50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为 15，
9、经过 420 s 后又看山顶的俯角为 45，则山顶的海拔高度为多少米？(取1.4，1.7)235解析 如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知A15，DBC45，ACB30，AB5042021 000(m)又在ABC中，BC sin AAB sinACBBCsin 1510 500()(m)21 000 1 262CDAD，CDBCsinDBC10 500()10 500(1)7 62223350(m)故山顶的海拔高度h10 0007 3502 650(m)11(2018河南郑州一中期中)如图，一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时 100 km 的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在
10、A市南偏东方向距A市 500 km 且与海岸距离为 300 km 的海上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件交给汽车的司机(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？(2)在(1)的条件下，求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角解析 (1)如图，设快艇以v km/h 的速度从B处出发，沿BC方向，t h 后与汽车在C处相遇，在ABC中，AB500，AC100t，BCvt，BD为AC边上的高，BD300.设BAC，则 sin ，cos .3 54 5由余弦定理，得BC2AC2AB22ABACcos ，所以v2t2(100t)250022500100t .4 5整理，得v21
11、0 000250 000 t280 000 t6250 00010 0001 t28 251 t(4 25)210 000 16 25250 00023 600.(1 t4 25)当 ，即t时，v3 600，vmin60 km/h，1 t4 2525 42min即快艇至少以 60 km/h 的速度行驶才能把稿件送到司机手中(2)当v60 km/h 时，在ABC中，AB500，AC100625，BC60375，25 425 4由余弦定理，得 cosABC0，所以ABC90，故快艇应向垂直AB2BC2AC2 2ABAC于AB的方向向北偏东方向行驶12如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A
12、，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从点C可以观察到点A，B；找到一个点D，从点D可以观察到点A，C；找到一个点E，从点E可以观察到点B，C；并测量得到数据：ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1 百米(1)求CDE的面积；(2)求A，B之间的距离解析 (1)连接DE，在CDE中，DCE3609015105150，SECDDCCEsin 150 sin 30 (平方百米)1 21 21 21 21 4(2)依题意知，在 RtACD中，ACDCtanADC1tan 60.3在BCE中，CBE180BCECEB1801054530.由正弦定理得，BC sinCEBCE sinCBE得BCsinCEBsin 45.CE sinCBE1 sin 302因为 cos 15cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45.1 22232226 247连接AB，在ABC中，由余弦定理AB2AC2BC22ACBCcosACB，可得AB2()2()222，32326 243所以AB(百米)2 36 22
