《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第22讲 解三角形应用举例优选学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第22讲 解三角形应用举例优选学案（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 2222 讲讲 解三角形应用举解三角形应用举例例考纲要求考情分析命题趋势2015湖北卷，132014四川卷，13能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 分值：5 分解三角形是三角函数的知识在三角形中的应用，高考中可单独考查，也可以与三角函数、不等式、向量等综合考查.1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_上方_的角叫仰角，在水平线_下方_的角叫俯角(如图)2方位角从指北方向_顺时针_转到目标方向线的水平角叫方位角，如B点的方位角为(如图)3方向角相对于某一正方向的水平角(如图)2(1)北偏东，即由指北方向_顺时针_旋转到达目标方向(2
2、)北偏西，即由指北方向_逆时针_旋转到达目标方向(3)南偏西等其他方向角类似4坡角和坡度(比)坡角：坡面与水平面所成的_二面角_的度数(如图，角为坡角)坡度(比)：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度(比)1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)公式Sbcsin Aacsin Babsin C适用于任意三角形( )1 21 21 2(2)东北方向就是北偏东 45的方向( )(3)俯角是铅垂线与视线所成的角( )(4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是.( )0， 2)解析 (1)正确三角形的面积公式对任意三角形都成立(2)正确数学中的东北方向就是北偏东 45或东偏北 4
3、5的方向(3)错误俯角是视线与水平线所构成的角(4)正确方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为0,2)，而方向角大小的范围由定义可知为.0， 2)2若点A在点C的北偏东 30，点B在点C的南偏东 60，且ACBC，则点A在点B的( B B )A北偏东 15 B北偏西 15C北偏东 10 D北偏西 10解析 如图所示，ACB90.又ACBC，CBA45，而30，390453015.点A在点B的北偏西 15.3如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为 50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为( A A )A50 m B5
4、0 m23C25 m D m225 22解析 由正弦定理得AB50(m)ACsinACB sin B50 22 1 224在相距 2 千米的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离为_千米6解析 如图所示，由题意知C45，由正弦定理得，AC sin 602 sin 45AC.2223265一船向正北航行，看见正东方向有相距 8 海里的两个灯塔恰好在一条直线上继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东 60，另一灯塔在船的南偏东 75，则这艘船每小时航行_8_海里解析 如图，由题意知在ABC中，ACB756015，B15，ACAB8.在 RtAOC中，OCACsi
5、n 304.4这艘船每小时航行 8(海里)4 1 2一 距离问题求解距离问题的一般步骤(1)选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化为三角形问题(2)明确要求的距离所在的三角形有哪些已知元素(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形【例 1】 要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km 的C，D两点，并测得3ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，则A，B之间的距离为_km.5解析 如图，在ACD中，ACD120，CADADC30，ACCD km.3在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60.BC.3sin 75sin 606 22在ABC中，由余弦定理，得AB2()222cos
6、 75325，AB 3(6 22)36 22335km，即A，B之间的距离为 km.5二 高度问题高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合【例 2】 要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A 的仰角是 45，在D点测得塔顶A的仰角是 30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为_40_m.5解析 设电视塔AB高为x m，则在 RtABC中，由ACB45，得BCx.在 RtADB中，由ADB30，得BDx.3在BDC中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(x)32x24022x
7、40cos 120，解得x40，所以电视塔高为 40 m.三 角度问题解决角度问题的注意点(1)首先应明确方位角或方向角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用【例 3】 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东 45方向，相距12 海里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时 10 海里的速度沿南偏东 75方向前进，红方侦察艇以每小时 14 海里的速度沿北偏东 45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解析 如图，设红方
8、侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，6解得x2.故AC28，BC20.根据正弦定理得，BC sin AC sin 120解得 sin .20sin 120 285 314所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时，角的正弦值为.5 3141(2018河南南阳八校联考)2017 年国庆节期间，某数学教师进行了一次“说走就走”的登山活动，从山脚A处出发，沿一个坡角为 45的斜坡直行，走了 100 m 后，到2达山顶B处，C是与B在同一铅垂线上的山底，从B处测得另一山顶M点的仰角为 60，与山
9、顶M在同一铅垂线上的山底N点的俯角为 30，两山BC，MN的底部与A在同一水平面，则山高MN( D D )A200 m B250 mC300 m D400 m解析 如图由题可知，AB100，A45，M30，MBN90，2MNB60，所以BC100，BN200，MN400.故选 D2如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30，相距 20 海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援，则 cos ( B B )A B 2172114C D3 21142128解析 如题图所示，在ABC中，AB
10、40 海里，AC20 海里，BAC120，由余弦7定理，得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，故BC20 海里7由正弦定理，得 sinACBsinBAC，由BAC120，知ACB为锐角，AB BC217故 cosACB.2 77故 cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.21143如图，两座相距 60 m 的建筑物AB，CD的高度分别为 20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD( B B )A30 B45 C60 D75解析 依题意可得AD20 m，AC30 m，105又CD50 m，所以在ACD中
11、，由余弦定理得 cosCADAC2AD2CD2 2ACAD，30 5220 1025022 30 5 20 106 0006 000 222又 0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为 45.4如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从点C可以观察到点A，B；找到一个点D，从点D可以观察到点A，C；找到一个点E，从点E可以观察到点B，C；并测量得到：CD2，CE2，D45，ACD105，3ACB48.19，BCE75，E60，则A，B两点之间的距离为_10.(cos 48.19 2 3)解析 依题意知，在ACD中，A30，由正弦定理得AC2，在CD
12、sin 45 sin 3028BCE中，CBE45，由正弦定理得BC3，在ABC中，由余弦定理CEsin 60 sin 452得AB2AC2BC22ACBCcosACB10，AB，即A，B两点之间的距离为.1010易错点 在实际问题中对角的认识不充分错因分析：空间想象能力较弱，不会迁移空间角的应用【例 1】 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从点A测得点M的仰角MAN60，点C的仰角CAB45以及MAC75；从点C测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.解析 在 RtABC中，CAB45，BC100 m，所以AC100 m.2在AMC中，MAC75，MC
13、A60，从而AMC45，由正弦定理得，AC sin 45AM sin 60因此AM100 m.3在 RtMNA中，AM100 m，MAN60，3由sin 60，得MN100150(m)MN AM332答案 150【跟踪训练 1】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为 30，则此山的高度CD_100_m.6解析 依题意有AB600，CAB30，CBA18075105，DBC30，9DCCBACB45，在ABC中，由，得，AB sinACBCB sinCAB600 sin
14、 45CB sin 30所以CB300，在 RtBCD中，CDCBtan 30100，则此山的高度CD10026m.6课时达标课时达标 第第 2222 讲讲解密考纲本考点考查利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，三种形式均可能出现，一般排在选择题、填空题的中间或最后位置或解答题靠前的位置，题目难度中等一、选择题1一艘海轮从A处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40方向直线航行，30 分钟后到达B处在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么B，C两点间的距离是( A A )A10 海里 B10 海里23C20 海里 D20 海里32解析 如图所示，易知，在ABC中，AB20 海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10海里故选 ABC sin 30AB sin 4522要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为 45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为
