《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 第40讲 直线、平面垂直的判定及其性质优选学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 第40讲 直线、平面垂直的判定及其性质优选学案（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 4040 讲讲 直线、平面垂直直线、平面垂直的判定及其性质的判定及其性质考纲要求考情分析命题趋势2017全国卷，182017全国卷，192017江苏卷，152017浙江卷，191.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题.分值：56 分与直线、平面垂直有关的命题判断；线线、线面、面面垂直的证明；直线与平面所成的角的计算；由线面垂直或面面垂直探求动点的位置.1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面内的！_任意一条_#直线都垂直，就说直线l与平面互相垂
2、直(2)判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言2判定定理如果一条直线与一个平面内的！_两条相交直线_#都垂直，则该直线与此平面垂直Error!l性质定理垂直于同一个平面的两条直线！_平行_#Error!ab2平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是！_直二面角_#，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条！_垂线_#，则这两个平面互相垂直Error!性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于！_交线_#的直线与另一个平面垂直Error!l1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)直线l与平面
3、内无数条直线都垂直，则l.( )(2)过一点作已知直线的垂面有且只有一个( )(3)若两条直线垂直，则这两条直线相交( )(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一平面( )(5)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.( )解析 (1)错误直线l与内两条相交直线都垂直才有l.(2)正确过一点可以作两条相交直线都垂直于已知直线，而这两条相交直线可确定一个平面，此平面与直线垂直(3)错误两条直线垂直，这两条直线可能相交，也可能异面(4)错误两个平面垂直，有一条交线，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，而不是任意一条直线3(5)错误内的一条直线如果与内的两条相交直
4、线都垂直才能线面垂直，从而面面垂直2设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的( A A )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析 由面面垂直的性质定理可知，当时，b.又因为a，则ab，如果am，ab，不能得到，故“”是“ab”的充分不必要条件故选 A3已知m和n是两条不同的直线， 和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是( C C )A，且m B，且mCmn，且n Dmn，n，且解析 ，且mm或m或m与相交，故 A 项不成立，且mm或m或m与相交，故 B 项不成立mn，且nm，故 C 项成立mn，n，且
5、m，故 D 项不成立故选 C /4PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有！_7_#对解析 平面PAD、平面PBD、平面PCD都垂直于平面ABCD，平面PAD平面PCD，平面PCD平面PBC，平面PAD平面PAB，平面PAC平面PBD，共有 7 对5在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PAPBPC，则点O是ABC的！_外_#心；(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的！_垂_#心解析 (1)若PAPBPC，由勾股定理易得OAOBOC，故O是ABC的外心(2)由PAPB，PCPA，得PA平面PBC，则PAB
6、C.又由PO平面ABC知POBC，所以BC平面PAO，则AOBC，同理得BOAC，COAB，故O是ABC的垂心4一 直线与平面垂直的判定与性质(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想(3)线面垂直的性质常用来证明线线垂直【例 1】 (2017天津卷)如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
7、(2)求证：PD平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值解析 (1)如图，由已知ADBC，可知DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角因为AD平面PDC，所以ADPD.在 RtPDA中，由已知，得AP，AD2PD25故 cosDAP.AD AP55所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为.55(2)证明：因为AD平面PDC，直线PD平面PDC，所以ADPD.又因为BCAD，所以PDBC，又PDPB，BC，PB平面PBC，所以PD平面PBC.(3)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角因为PD平面PBC，故PF为DF在平
8、面PBC上的射影，所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角由于ADBC，DFAB，故BFAD1，由已知，得5CFBCBF2.又ADDC，故BCDC，在 RtDCF中，可得DF2，在CD2CF25RtDPF中，可得 sinDFP.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.PD DF5555二 平面与平面垂直的判定与性质(1)判定面面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直【例 2】 (2017全国卷)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明
9、：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为 ，求该四棱锥的8 3侧面积解析 (1)证明：由BAPCDP90，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，从而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)如图所示，在平面PAD内作PEAD，垂足为E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，可得PE平面ABCD.设ABx，则由已知可得ADx，PEx.222故四棱锥PABCD的体积VPABCDABADPEx3.1 31 36由题设得x3 ，故x2.1 38 3从而PAPD2，ADBC2，PBPC2.22可得四棱锥PABCD的侧面积
10、为PAPDPAABPDDCBC2sin 6062.1 21 21 21 23三 垂直关系中的探索性问题解决垂直关系中的探索性问题的方法同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个等分点，然后给出符合要求的证明【例 3】 如图，在三棱台ABCDEF中，CF平面DEF，ABBC.(1)设平面ACE平面DEFa，求证：DFa；(2)若EFCF2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG平面CDE？若存在，请确定点G的位置；若不存在，请说明理由解析 (1)证明：在三棱台ABCDEF中，ACDF，AC平面ACE，DF平面ACE，DF平面ACE.又DF平面
11、DEF，平面ACE平面DEFa，DFa.(2)线段BE上存在点G，且BGBE，使得平面DFG平面CDE.1 3证明如下：取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD.CFEF，GFCE.在三棱台ABCDEF中，ABBC，DEEF.由CF平面DEF，得CFDE.又CFEFF，DE平面CBEF，DEGF.由GFCE，GFDE，CEDEE，可得GF平面CDE.又GF平面DFG，平面DFG平面CDE.此时，如平面图所示，O为CE的中点，7EFCF2BC，由平面几何知识易证HOCFOE，HBBCEF.1 2由HGBFGE，可知 ，即BGBE.BG GE1 21 31设m，n是两条不同的直线，是两
12、个不同的平面( C C )A若mn，n，则mB若m，则mC若m，n，n，则mD若mn，n，则m解析 对于 A，B，D 项，均能举出m的反例；对于 C 项，若m，n，则mn，又n，m.故选 C2如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：BDAC；BAC是等边三角形；三棱锥DABC是正三棱锥；平面ADC平面ABC.其中正确的是( B B )A BC D解析 由题意知，BD平面ADC，故BDAC，正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等边三角形，正确；易知DADBDC，
13、又由知正确；由知错误故选 B3如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD, ACCD，ABC60， PAABBC，E是PC的中点证明：(1) CDAE；(2)PD平面ABE.8证明 (1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC，而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB.又ABAD且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD
14、平面ABE.4如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点(1)求证：CD平面SAD；(2)求证：PQ平面SCD；(3)若SASD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN平面ABCD？并证明你的结论解析 (1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以CDAD.又平面SAD平面ABCD，且平面SAD平面ABCDAD，所以CD平面SAD.(2)证明：取SC的中点R，连接QR，DR.由题意知，PDBC且PDBC.1 2在SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，9所以QRBC且QRBC.1 2所以QRPD且QRPD，则四边形PDRQ为平行四边形，所以PQDR.又PQ平面SCD，DR平面SCD，所以PQ平面SCD.(3)存在点N为SC的中点，使得平面DMN平面ABCD.连接PC，DM交于点O，连接PM，SP，NM，ND，NO.因为PDCM，
