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1、生活中的数学生活中的数学校本课程校本课程目录目录第一讲：电冰箱温控器的调节如何使电冰箱使用时间更长 1第二讲：赌马中的数学问题 7第三讲： 对称自然美的基础 10第四讲：对数螺线与蜘蛛网 .11第五讲： e 和银行业.13第六讲：几何就在你的身边 .15第七讲：“压岁钱”与“赈灾小银行” .16第八讲：巧用数学看现实 .17第九讲：导航的双曲线 .19第一讲：电冰箱温控器的调节第一讲：电冰箱温控器的调节如何使电冰箱使用时间更长如何使电冰箱使用时间更长中国自从 1978 年改革开放之后，人民生活水平日益提高，许多家庭都购买了电冰箱等家用电器。但是有许多家庭并不了解电冰箱的工作原理，更不了解电冰箱
2、温控器的工作原理及其调节方法。人民生活水平固然提高了许多，但是现在也并不是都十分富裕。不正确的使用电冰箱势必会缩短其使用寿命，带来了不必要的麻烦，同时也浪费了自然资源和财力。有一次，我们家中的一台电冰箱工作了很长时间，却一直不停机。我们吓了一跳，以为电冰箱坏了。我们给维修单位打电话咨询，但是上上下下仔细查看了整个电冰箱后，才发现只是温控器调节的不正确。这使我们认识到了冰箱温控器对于电冰箱的重要性。因此，我们来研究一下电冰箱温控器的正确使用方法，即如何使电冰箱的使用寿命更长。问题：如何正确调节电冰箱温控器，使电冰箱使用寿命更长。电冰箱制冷是靠中温低压的液态制冷剂进入蒸发器吸收热量汽化为低温低压的
3、气态制冷剂，达到蒸发器周围降温使冰箱内部冷却的目的。压缩机、冷凝器、干燥过滤器、毛细管则是帮助并保证在蒸发器中已使用过的制冷剂回复到中温低压的液体，能再一次送回蒸发器吸热汽化，实现单向连续循环制冷。蒸发器是电冰箱中唯一制冷的器件。压缩机把蒸发器出来的低温低压的汽态制冷剂经回气管由压缩机吸入气缸，被压缩为高温高压的气态进入冷凝器，把蒸发器中吸收的热量和压缩机在压缩做功时转换的热量，利用制冷剂与周围介质之间有较大的温差，通过冷凝器全部散发到空气中。制冷剂在冷凝器中因放热而被液化。这高压中温液态制冷剂经干燥过滤器吸收其中的水分，滤除其中的杂质，进入毛细管节流降压，使高压液态制冷剂降为低压而能回到蒸发
4、器重复使用。电冰箱就是这样由各种制冷剂作工质，在封闭系统中作单向连续循环，把冰箱内热量不断的转移到箱外而达到制冷目的。电冰箱压缩机是开开停停间歇工作的。电冰箱达到箱内的设定温度是通过温度控制器控制压缩机的开、停机来完成的。压缩机运转时间长，即制冷时间长，则箱内温低；反之箱温就高。温度控制器二个触点串联在压缩机电路中，当箱内温度低到某一设定温度时则温控器触点跳开，压缩机停转，暂停制冷，随后箱内温度逐渐提高，在箱内温度高到另一设定温度时则温控器触点闭合，压缩机又运转制冷如此循环。使箱内温度保持在一定范围内。电冰箱温控器中的感温包感受蒸发器的温度，当温度升高或降低时，感温元件中感温剂膨胀或收缩，使非
5、刚性元件感温腔（波纹管或膜盒）推进或退缩，从而改变感温元件与弹簧片之间的作用力通过温控器中机械传力放大，使感温腔微小形变产生的微小位移放大，控制电触点，使其闭合或断开电路。温控器指向的数字，并不表示确切的温度，而是表示控制温度高低的程度趋向，数字小表示控制在较高温度，数字大则表示控制在较低温度。我们认为，压缩机的使用寿命在很大程度上决定了电冰箱的使用寿命。而影响压缩机工作时间的因素主要有：外界温度、温控器档位、冷冻室食品量、开关冰箱门习惯。当电冰箱工作稳定后，冷冻室食品量对其影响十分微小，但不可以忽略不计。无论是在寒冷的冬季，还是在炎热的夏季，冰箱中的食品都是在不断的吸热和放热。当冰箱内冷汽散
6、失时，食品吸热；当电冰箱制冷吸热时，食品放热。这在夏季时最为明显：当电冰箱停机时，冰箱内食品越多其停机时间越长，因为如果假设食品的平均比热容不变，那么根据物理学关于热能的公式 Q=MCT 可知食品量与停机时间成反比。其中 Q 为食品热量变化，C 为食品平均比热，T 食品温度变化量。因此，冰箱内食品量的多少也是十分重要的。实际上，外界温度随季节变化而变化，温控器档位靠人工调节，冰箱内的食品量和如何开关门对于一个家庭来讲变化不会很大，因为已经形成了习惯。但是，使用时如果压缩机长时间连续工作，压缩机温度就会升高，就会造成热冲击。过多的热冲击会缩短压缩机的使用寿命。因此，我们只要调节温控器档位，使电冰
7、箱冷冻室温度不低于某一温度，而且压缩机在非长时间连续工作的条件下（不超过一个小时），工作时间与工作、停机的时间和的比值最小（如工作 10 分钟，停机 10 分钟，则比值为 0.5)，即压缩机的使用寿命更长，就可以使电冰箱的使用寿命更长。同时，电冰箱的耗电量也降低了。这样，一台电冰箱在使用过程中既省电，又可以延长使用寿命，当然十分经济。通过电冰箱生产厂家的电话咨询，专业技术人员肯定了我们的上述看法。于是我们就此进行了一些实验，并通过电话咨询得到了一些准确的数据。在北京等中国北方城市，冬季的供暖由市区县的各供暖单位负责保证。政府规定，冬季居民室内的温度不得低于 16 摄氏度。北京市的供暖单位现在一
8、般能够保证这个温度在 18 摄氏度左右，最高温可达 20 摄氏度，最低温绝不低于 16 摄氏度。因此，可以认为我国北方冬季家庭室内温度在 18 摄氏度左右。又因为，我国北方春秋季节家庭室内温度也在 18 摄氏度左右，偏冷的地区依然有暖汽等供暖，甚至常年不断。所以，可以认为，我国北方春秋冬三季的家庭室内温度均在 18 摄氏度左右。就一般家庭而言，熟食一般现吃现买，生食一般只放几个星期。电冰箱冷冻室的食品量一般占冷冻室容积的五分之三左右，且一般变化不是很大。就是说，一般家庭的食品量对冰箱的影响基本相同。综上所述，我们理想化的实验条件是我国北方春秋冬三季一般家庭的电冰箱。在研究这个问题时可以把食品量
9、和室内温度作为常数来考虑。由于每次开冰箱门时都会使冰箱内食品吸热升温，所以不同人的开门习惯和速度会影响到冰箱的制冷效果。比如说：老人可能手脚不是很利落，而且拿一件东西要想一下；年轻人可能一只手开门，另一只手就把东西拿出来了。为了简便计算，我们可以认为，在一个家庭中不考虑老人与青年人的分别，只考虑平均到每个家庭成员的使用效果，那么各个家庭的情况基本相同。结果是，我们在计算过程中可以忽略这一因素的影响。我们想利用家用电冰箱来进行一次实验。于是我们选用了长岭阿里斯顿 BCD 208 型电冰箱，在保持室温为 18 摄氏度且食品量始终占冷冻室有效容积五分之三不变的情况下，测定了一些数据。这种电冰箱属于中
10、等档次的家用电器，制冷效果属于一般水平。目前许多家庭使用的电冰箱的制冷效果和保温能力都与其相差无几。这些满足了本论文前面交代的实验条件，可以作为该条件下的一个例子，来解决这个问题。于是我们开始了实验。实验进行了一个多星期，每组数据（既一个档位）间间隔二个小时，让电冰箱进行调节，以保证数据的准确性。这台冰箱的温控器旋钮有六个档位，分别是从零到五。第零档为停机档，既电冰箱压缩机停止工作，不会启动；第五档为速冻档，即压缩机一直启动，不会停机。因此，我们不能选第零档，因为冰箱不会制冷；不能选第五档，因为冰箱持续工作，即浪费电能，又会造成热冲击，还有可能冻坏食品。我们设工作时间与工作、停机的时间和的比值
11、为 y ，设电冰箱温控器档位为 x 。则自变量 x 的取值范围为（0，5）。在平面直角坐标系中描点作图，为了便于计算，且不影响结果的正确，我们在计算时把原值扩大了 100 倍。这样可以方便计算，也能方便作图。观察散点的分布，我们认为这些点极有可能是在一条抛物线上，因此设 y 关于 x 的函数为。我们在后面附有实验数据列表和用绘图工具几何画板作出的函数图象。其中，表格包含五组数据，在测定时每组数据之间至少间隔两个小时，因为电冰箱需要约一个小时来调整。函数图象有一个大致的轮廓。图中的空心圆点表示描点，实心圆点表示当 x 为 4.5 时函数图象上的点。我们分别以三组数据为一组，把五组数据分成了十组。
12、设五组数据对应函数图象上的点从左至右依次为 A、B、C、D、E，则将五组数据分组为：ABC、ABD、ABE、ACDBDE、CDE。每组可分别解出一个函数，但都有一定误差。其中，凡是包含数据组 E 的组误差都十分大，且不太正常。我们认为是由于压缩机升温且冷凝器温度升高散热变慢，导致电冰箱工作异常。这种可能性十分大，属于正常现象。通过电话咨询，冰箱厂家的技术人员肯定了我们的想法，并告诉我们：目前一些高级的冷凝管可以大大提高散热效率，但造价颇高，且调节温控器就可解决问题，没必要多花钱去生产。于是把数据组E 舍去，只计算前四组，又可以分为四组：ABC、ABD、ACD、BCD。以这四组数据分别解出一个函
13、数，这四组函数中也存在误差，但是应该保留数据组 A 存在误差的那一分组。因为，温控器调得过低后也会造成冰箱本身的问题。由于档位越低，要求达到的温度越高（不一定始终在设定温度以下），所以要工作的时间就比较短，但停机时间缩短得更多。就是说，冰箱内的食品在较长时间内放出了热量，在较短的时间内又吸入了大致相同的热量。冰箱在这时需要适度调低要求达到的温度。这就是为什么要注意温控器的调节。就是说，由 BCD 解得的函数对于点 A、D 的误差属于合理误差。最后，只有 BCD 这一组的不合理误差最小(此时 A 点误差为-0.36),最后解得的函数即为所求的函数 y=f(x)。由数据组 BCD 解函数：当 x
14、= 2.574 时,函数有最小值 y = 35.846；所以,温控器旋钮应指在 2.574 的位置。可是由于实验中不可能消除误差，所以应指在 2、3 之间的一个位置，室温稍低时就调低一点儿，反之就高一点儿，一般家庭不用经常调，温度差 2 到 3 度不会有大影响。但是不同的电冰箱性能不同，具体的食品量在变化，外界温度也会上下浮动，每个人每一次开门造成的影响都不相同，不同品牌电冰箱温控器控制面板也不相同。所以忽略绝大多数家庭相同的因素，只须再考虑不同的电冰箱性能不同、电冰箱温控器控制面板也不相同。尽管不同的电冰箱性能不同，但是它们的工作原理相同，都是在不断的吸热、放热。就是说，它们在那个档位基本上
15、都是最佳的。虽然电冰箱温控器控制面板不相同，但是内部旋转多少角度能调节多少温度，却是同样基本相同的。目前市场上比较多的样式主要有：“0”到“5”，“1”到“7”和“弱”、“中”、“强”。由于我们实验用的电冰箱配备的是第一种样式的温控器，所以对应到其它两种样式分别是“3”、“4”档之间和“中”略偏“弱”。问题解决了，是在中国北方春秋冬三季，一般家庭家用电冰箱温控器的调节。目的是如何更经济的使用好电冰箱。答案就是上一段最后的几句话。问题虽然很小，而且用的就是解方程的方法，但却能培养我们从生活中寻找数学问题、运用数学知识的好习惯。这对于推行素质教育是一个极佳的方法，它使学生因为自己的兴趣而学习，知识
16、也就更加牢固。另外，这个问题可以扩展到其它方面。如下水道的清理问题，你必须知道什么时候清理最合理：时间早了浪费物资，晚了又极难工作。当然牵扯的量也是相当多的。我们相信，通过我们不断的学习，我们将解决更多的生活中的问题。第二讲：赌马中的数学问题第二讲：赌马中的数学问题随着中国的改革开放，境外许多事物渐渐被生活在大陆的人知晓诸如赌马、六合彩等常在媒体中提及。对我们来说，了解一些原来不熟悉的东西也是必要的。其实，一些博彩游戏和古老的赌博有许多相似之处，我们可以用初等概率知识对其中的现象作一定的分析。我们以赌马问题为例。为简便起见，假设只有两匹马参加比赛。通过对决定马匹胜负的各因素的研究以及对以往赛事胜负情况的统计分析，我们可得出两匹马各自胜出的实际概率。不失一般性，设其中一匹马胜出的实际概率为，则另一匹马胜出的实际概率为。那么，参赌者该如何下注以最大的限度确保他们能赢得钱呢？要解决这个问题必须先弄明白庄家的赔率是如何设定的。所谓赔率，是指押注一元钱于胜方所获得的总金额。举例来说，若赔率为 1.65 元，则如押注一元的一方恰好胜出，可得收益 0
