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1、大庆铁人中学大庆铁人中学 20122012 年上学期期末高一（理科）年上学期期末高一（理科） 数学试题数学试题一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. .1已知1，a，b，4 成等差数列，1，c，d, e，4 成等比数列，则( )badA. B C. D. 或14121212122如图所示，棱长皆相等的四面体 SABC 中，D 为 SC 的中点，则 BD 与 SA 所成角的余弦值是( )A. B. C. D.33233
2、6263已知 x1，y1，且 lg xlg y4，则 lg xlg y 的最大值是_15.在ABC 中，三个内角 A，B，C 对应三边长分别为 a，b，c.若 C3B， 的取值范围cb_16. 如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N 分别为 DE、BE、EF、EC 的中点，在这个正四面体中，GH 与 EF 平行；BD 与 MN 为异面直线；GH 与 MN 成 60角；DE 与 MN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_三、解答题：三、解答题： 6 6 个大题，共个大题，共 7070 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. .17(10 分)
3、在ABC 中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 3acos Accos Bbcos C.(1)求 cos A 的值；(2)若 a1，cos Bcos C，求边 c 的值2 3318(12 分)已知直线 l 在两坐标轴上的截距相等，且点 A(1,3)到直线 l 的距离为，求直线 l2的方程19(12 分)已知等差数列an满足：a46，a610.(1)求数列an的通项公式；(2)设等比数列bn的各项均为正数，Tn为其前 n 项和，若 b3a3，T23，求 Tn.20(12 分)解关于 x 的不等式：ax222xax(a1，y1，且 lg xlg y4，则 lg xlg y 的最大值是_
4、【答案】 415.在ABC 中，三个内角 A，B，C 对应三边长分别为 a，b，c.若 C3B， 的取值范cb围_(1,3)16. 如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N 分别为 DE、BE、EF、EC 的中点，在这个正四面体中，GH 与 EF 平行；BD 与 MN 为异面直线；GH 与 MN 成 60角；DE 与 MN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_ 【答案】 17在ABC 中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 3acos Accos Bbcos C.(1)求 cos A 的值；(2)若 a1，cos Bcos C，求边 c 的值2 33解析 (1)由 3acos Ac
5、cos Bbcos C 和正弦定理得3sin Acos Asin Ccos Bsin Bcos Csin(BC)，即 3sin Acos Asin A，所以 cos A .(5 分)13(2)由 cos Bcos C，得 cos(AC)cos C，展开易得 cos Csin 2 332 332Csin C，由正弦定理：c. (10 分)363asin Acsin C3218已知直线 l 在两坐标轴上的截距相等，且点 A(1,3)到直线 l 的距离为，求直线 l 的2方程解析 当直线过原点时，设直线方程为 ykx，则由点 A(1,3)到直线 l 的距离为，2，解得 k7 或 k1.直线 l 的方
6、程为 y7x 或 yx. (6 分)|k3|1k22当直线不过原点时，设直线方程为 1，则由点 A(1,3)到直线 l 的距离为，得xaya2，解得 a2 或 a6.直线 l 的方程为 xy20 或 xy60.|1a3a1|1a21a22综上所述，直线 l 的方程为 y7x，yx，xy20，xy60. (12 分)19已知等差数列an满足：a46，a610.(1)求数列an的通项公式；(2)设等比数列bn的各项均为正数，Tn为其前 n 项和，若 b3a3，T23，求 Tn.解析 (1)设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，a46，a610，Error!Error!解得Error!Error
7、!数列an的通项公式 ana1(n1)d2n2. (6 分)(2)设各项均为正数的等比数列bn的公比为 q(q0)an2n2，a34，即Error!Error!解得Error!Error!或Error!Error!(舍去)，Tn2n1. (12 分)b11qn1q12n1220解关于 x 的不等式：ax222xax(a0)解析 原不等式化为 ax2(a2)x20(x1)(ax2)0.若2a0， 1，则 x1；2a2a若 a2，则 x1；若 a2，则1x .2a综上所述，当2a0 时，不等式的解集为Error!Error!；当 a2 时，不等式的解集为x|x1；当 a2 时，不等式的解集为Err
8、or!Error!. (12 分)21如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面ABCD，PDDCBC1，AB2，ABDC，BCD90.(1)求证：PCBC；(2)求点 A 到平面 PBC 的距离解析 (1)PD平面 ABCD，BC平面 ABCD，PDBC.由BCD90，得BCDC.又 PDDCD，BC平面 PCD.PC平面 PCD，PCBC. (5分)(2)如图，连接 AC.设点 A 到平面 PBC 的距离为 h.ABDC，BCD90，ABC90.从而由 AB2，BC1，得ABC 的面积 SABC1.由 PD平面 ABCD 及 PD1，得三棱锥 PABC 的体积 V SABCPD .1313P
9、D平面 ABCD，DC平面 ABCD，PDDC.又PDDC1，PC.由 PCBC，BC1，得PBC 的面积 SPBC.由PD2DC2222V SPBCh h ，得 h.因此点 A 到平面 PBC 的距离为. (12 分)131322132222如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，H 是正方形 AA1B1B 的中心，AA12，C1H平2面 AA1B1B，且 C1H.5(1)求异面直线 AC 与 A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角 AA1C1B1的正弦值；(3)设 N 为棱 B1C1的中点，点 M 在平面 AA1B1B 内，且 MN平面 A1B1C1，求线段 BM 的长解析 如图所示，建立空
10、间直角坐标系，点 B 为坐标原点依题意得 A(2，0,0)，2B(0,0,0)，C(，)，A1(2，2，0)，B1(0,2，0)，225222C1(， ，)225(1)易得(，)，(2，0,0)，于是 cos，AC225A1B12ACA1B1.所以异面直线 AC 与 A1B1所成角的余弦值为.（理科 4 分；文科ACA1B1|AC|A1B1|43 2 22323普通法 6 分）(2)易知(0,2，0)，(，)AA12A1C1225设平面 AA1C1的法向量为 m(x，y，z)，则Error!Error!即Error!Error!不妨令 x，可得 m(，0，)同样地，设平面 A1B1C1的法向量
11、为552n(x1，y1，z1)，则有Error!Error!即Error!Error!不妨令 y1，可得 n(0， ，)于是552cosm，n ，从而 sinm，n.mn|m|n|27 7273 57所以二面角 AA1C1B1的正弦值为.（理科 8 分；文科普通法 12 分）3 57(3)由 N 为棱 B1C1的中点，得 N，设 M(a，b,0)，则(22，3 22，52)MN，由 MN平面 A1B1C1，得Error!Error!(22a，3 22b，52)Error!Error!解得Error!Error!故 M.因此，所以线段 BM 的长(22，24，0)BM(22，24，0)|.（理科 12 分）BM104版权所有：高考资源网()
