《实变函数论与泛函分析(曹广福)1到5章课后答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实变函数论与泛函分析(曹广福)1到5章课后答案（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章习题参考解答 1 第一章习题参考解答第一章习题参考解答 3等式)()(CBACBA成立的的充要条件是什么？ 解解： 若)()(CBACBA，则 ACBACBAC)()(. 即，AC . 反过来, 假设AC , 因为BCB. 所以, )(CBABA. 故, CBA)()(CBA. 最后证，CBACBA)()( 事实上，)(CBAx, 则Ax且CBx。若Cx，则CBAx)(； 若Cx，则Bx，故CBABAx)(. 从而, CBACBA)()(. AACBACBAC)()(. 即 AC . 反过来，若AC ，则 因为BCB所以)(CBABA 又因为AC ， 所以)(CBAC故 )()(CBAC
2、BA 另一方面，AxCBAx)(且CBx， 如果Cx则 CBAx)(； 如 果,Cx因 为CBx， 所 以Bx故BAx. 则 CBAx)(. 从 而 CBACBA)()( 于是，)()(CBACBA 4对于集合 A，定义 A 的特征函数为 Ax Ax x A , 0 , 1 )(， 假设 n AAA, 21 是 一集列 ，证明： （i）)(inflim)( inflim xx n n A n n A （ii）)(suplim)( suplim xx n n A n n A 证明证明： （i）)(inflim n nmNn n n AAx ，N N 0 n， 0 nm 时， m Ax. 所以1)
3、(x m A ，所以1)(inf 0 x m A nm 故1)(infsup)(inflim xx mn A nm Nb A n 第一章习题参考解答 2 NnAx n n inflim，有nkAx nn nm 有0)(inf0 xAx m n km A nm Ak ， 故0)(i n fs u p x m A nm Nb ， 即)(i n flimx n A n =0 ， 从而)(inflim)( inflim xx n n A n n A 5设 n A为集列， 11 AB ，) 1( 1 1 iAAB j i j ii 证明 （i） n B互相正交 （ii） i n i i n i BANn
4、 11 , 证明证明： （i）mnNmn,；不妨设 nm，因为 mni n i nn AAAAB 1 1 ，又因 为 mm AB ，所以 mnmnn BAAAB，故 mn BB ，从而 1 n n B相互正交. （ii）因为)1 (nii，有 ii AB ，所以 i n i i n i AB 11 ，现在来证： i n i i n i BA 11 当 n=1 时， 11 BA ； 当1n时，有： i n i i n i BA 11 则)()()()()( 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 i n i ni n i i n i ni n i ni n i i n i BBBAAAAAA
5、事实上， i n i Ax 1 ，则)1 (nii使得 i Ax，令niAxii i 1|min 0 且 则 i n i ii i i i BBAAx 1 1 1 0 0 0 ，其中，当1 0 i时， i i i A 1 1 0 ，从而， i n i i n i BA 11 6设)(xf是定义于 E 上的实函数，a 为常数，证明： （i）)(|axfxE= 1 )( 1n axf n (ii)(|axfxE= 1 )( 1n axf n 证明：证明： （i）)(|axfxExEx且axf)( 1 )(| 1 )(, n axfxExExa n axfNn且使得 x )(| 1 )(| 1 ax
6、fxE n axfxE n 1 )(| 1n axfxE n 反过来，Nn n axfxxEx n , 1 )(| 1 ，使 1 )(| n axfxEx 第一章习题参考解答 3 即Exa n axf且 1 )( 故)(|axfxEx 所以 )(| 1 )(| 1 axfxE n axfxE n 故 1 )(|)(| 1n axfxEaxfxE n 7设)(xfn是 E 上的实函数列，具有极限)(xf，证明对任意常数 a 都有： 1 )(|inflim 1 )(|inflim)(| 11k axfxE k axfxEaxfxE n n k n n k 证明：证明：N NkaxfxEx,)(|，
7、即 k aaxf 1 )(，且Ex 因为Nnxfxfn n ，)()(lim，使nm，有 k axfn 1 )(，故 ，)( 1 )(|nm k axfxEx m 所以x 1 )(| k axfxE m nm 1 )(| k axfxEx m nmNn = 1 )(|inflim k axfxE m n ，由 k 的任意性： 1 )(|inflim 1k axfxEx n n k ，反过来，对于 1 )(|inflim 1k axfxEx n n k ， Nk， 有 1 )(|inflim k axfxEx m n = 1 )(| k axfxE m nmNn ， 即 nmNn，时，有： k
8、axfm 1 )(且Ex，所以， k axfxfm m 1 )()(lim且 Ex.k又令，故 Exaxf 且)( 从而)(|axfxEx 故 )(|axfxE= 1 )(|inflim 1k axfxE n n k 8 设)(xfn是区间（a，b）上的单调递增的序列，即 )()()( 21 xfxfxf n 若)(xfn有极限函数)(xf，证明：Ra，)()( 1 axfEaxfE n n 证明：证明： )(axfEx，即：Ex且axf)(，因为)()(limxfxfn n 所以 00 ,nnNn，恒有：E)(xaxfn且，从而，)( 0 axfEx n )( 1 axfE n n 第一章习
9、题参考解答 4 反过来，NnaxfEx n n 0 1 ,)(，使)( 0 axfEx n ，故 0 nn ，因此， axfxfxf nn n )()()(lim 0 且Ex,即，)(axfEx， 从而，)()( 1 axfEaxfE n n 10证明： 3 R中坐标为有理数的点是不可数的。 证明：证明： 设 Q 为有理数集，由定理 6：Q 是不可数的。 现 在 证 ：zyxzyxQQQ,| ),(都是有理数可 数Qx， 因 为QQ )( Qx Qx 是可数个有理数集的并，故可数， 又 因 为)(QQQ Qx QQx 并 且QQQQxQx ， 所 以 QQx可数 故QQQ可数 14证明：可数集
10、的有限子集的全体仍是可数 证明：证明： 设 Q 为可数集，不妨记为：, 321 n rrrrQ Nn,令,| 321nn rrrraaA则 n 为有限集（ n 2 n ） ，则 n Nn A为正交可数集，即 0n C 又因为AQxxQ|，所以AQC 0 ，故 0 CA A 是 Q 上一切有限子集的全体。 15设是两两不相交的集所组成的集列，证明： n n n n EElimlim 证明：证明： 因为, 21 EE两两不相交，所以， m nm ENn,，故 11 )(lim n m nmn n n EE 另一方面，若 )(lim 1 m nmn n n EE，我们取 n n Ex lim 0 则
11、knNk k ,，使得 k n Ex.特别的，当 Nk1时， n Exn有, 1 1 ，当 1 1 nk时： 21122 1,ExnnknNn，有（) 21 nn 从而， 21 nn EEx 第一章习题参考解答 5 这与 21 nn EE矛盾，故 n n Elim 从而 n n n n EElimlim 16若集 A 中每个元素由相互独立的可列个指标所决定，即 A= 21 xx a，而每个指标 i x 在一个势为 C 的集中变化，则集 A 的势为 C。 证明：证明：设 i x在势为 C 的集合中变化，即 A= 1 21 ),( | 21 i ixx Bxxa 因RBRB iii i :, 是既
12、单又满的映射， 定义 1 21 1 ),(;: i i i i BxxxRB,),(),(),()( 2121 xxxxx 故 RB i i到 是 1 得既单又满的映射,从而， RBA i i 1 从而 CRA 17设 n n A 1 的势是 C，证明至少有一个 n A的势也是 C。 证明：证明：因为 n n n AANn 1 ,，所以CAA n n n 1 如果CANn n ,，则CANn n ,，即， n A正交可数，从而， n n A 1 正交可数. 这与CAn n 1 矛盾. 故，n,使CAn. 18证明：0,1上的实函数全体具有势 C 2 证明证明：设1 , 0|AA，则 C 2 记0，1上全体是函数所构成的集合为 对于x，定义函数 Ax Ax x A . 0 , 1 )( ,即 A 是集合 A 的特征函数。 1 , 0| AA C 2 第一章习题参考解答 6 另一方面，f，定义 1 , 0|)(,(xxfxBf 则 2 RRRBf，| 2 RRBBR，则 C R2 2 |fBf 2 R，所以 C R2 2 ，从而， C 2 20证明： n R中孤立点集市有限或可数集 证明证明：Ex中，E是 n R的一些孤立点所构成
