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1、 249第 3 章 分析力学基础 第 3 章 分析力学基础 3-1 如图 3-1a 所示，离心调速器以角速度绕铅直轴转动。每个球质量为 m1，套管 O 质量为 m2，杆重略去不计。OC = EC = AC = OD = ED = BD = a，求稳定旋转时，两臂 OA 和 OB 与铅直轴的夹角。 OxyIF Fg1mg2mg1mEB IFaaaaaa(a) (b) 图 3-1 解解 取整个系统为研究对象， 系统具有理想约束。 系统所受的主动力为 m1g、 m1g、 m2g， 假想加上 2 个小球的惯性力IF、FI，则 sin22 112 IIammEAFF= 取坐标系 Exy，则 sin2,
2、0ayxxABA=，cos2,sin2axayOB= 对相应坐标的变分 sin2cos2 ,cos2 , 0axayayxxOBABA =根据动力学普遍方程，有 0112II=+BAOBAxgmxgmxgmyFyF 把有关量代入上式，得 000)sin2()cos2(sin2)cos2(sin21122 12 1 =+gmgmagmaamaam因0 ，化简，得 gamm2 12 4cos= 3-2 应用拉格朗日方程推导单摆的运动微分方程。分别以下列参数为广义坐标： （1） 转角； （2）水平坐标 x； （3）铅直坐标 y。 解解 取轴 x 为零势能面 （1）转角为广义坐标 小球势能 cosmg
3、lV= 小球动能 2)(21lmT&= 拉氏函数 cos2122mglmlVTL+=& 图 3-2 250代入拉格朗日方程，得 0sin2=+mglml& & 0sin=+lg& & （2）水平坐标 x 为广义坐标，此时有 22xly=， 22xlxxy =& 小球势能 22xlmgV= 小球动能 2222 22 21)(2xllxmyxmT=+=& 22 222221xlmgxllxmVTL+=&222xlxml xL =& &222222222222222)()(2)(ddxlmgx xlxxml xLxlxxml xlxml xL t=+=& & &代入拉格朗日期方程，有 0)(2222
4、222222 = +xlxmgxlxlxmxll xm& &即 0)()(23 222222=+xlgxxxxxll& & （3）铅直坐标 y 为广义坐标，此时有 22ylx=， 22ylyyx =& 小球势能 V = - mgy 小球动能 2222 22 21)(2yllymyxmT=+=& mgyylylmVTL+=22222&22222222222)(2)(dd,ylyyml ylyml yL tylyml yL += =& & & &mgylyyml yL+=22222)(&代入拉格朗日方程，得 0)(22222222 =+mgylylym ylyml& &则 0)()(2222222
5、=+ylgyyyyll& & 3-3 质量为 m 的质点悬在 1 线上，线的另 1 端绕在 1 半径为 R 的固定圆柱体上，如图2513-3 所示。设在平衡位置时，线的下垂部分长度为 l，且不计线的 质量。求此摆的运动微分方程。 解解 取为广义坐标，设小球的静平衡位置为其零势能点。 系统势能 cos)()sin(RlRlmgV+= 系统动能 2)(21RlmT+=&拉氏函数 sin)()( cossin)(cos)()(2)()(dd)(cos)(sin )(21222222RlmgRlmRRRlRmgRlRmLRRlmRlmL tRlmLRlRlmgRlmVTL+=+=+=+=+=& &代入
6、拉氏方程，得 0sin)()()(2)(222=+RlmgRlmRRlmRRlm& &化简得 0sin)(2=+gRRl& &3-4 在图 3-4a 所示行星齿轮机构中，以 O1为轴的轮不动，其半径为 r。全机构在同 1 水平面内。设两动轮皆为均质圆盘，半径为 r，质量为 m。如作用在曲柄 O1O2上的力偶矩 为 M，不计曲柄的质量。求曲柄的角加速度。 1O2O3O2Ov3OvM2AvAB(a) (b) 图 3-4 解解 选取曲柄的转角为广义坐标，分别对轮 O2、O3进行速度分析如图 3-4a。对轮 O2，点 B 为轮 O2的速度瞬心。所以 &2202 2=rr rv又 &rrvA422= 对
7、轮 O3： &rv403= 由于 v03 = vA 故轮 O3作平移，03=。 系统动能 22222211)4(21)2)(21(21)2(21&mrrmmrrmT=+= 广义力 图 3-3 252MWF=Q代入拉格朗日方程，得 Mmr=& &222 222mrM=& & 3-5 斜块 A 质量为 mA，在常力 F 作用下水平向右并推动活塞杆 BC 向上运动；活塞与 杆 BC 的质量为 m，上端由弹簧压住，弹簧的刚度系数为 k。运动开始时，系统静止，弹簧 未变形。不计摩擦，求顶杆 BC 的运动微分方程。 ABCFksrvAvsC&=v(a) (b) 图 3-5 解解 （1）取广义坐标 s，则杆
8、 BC 的速度为s &，块 A 速度（如图 3-5b 所示） cotsvA&= 动能 222cot21 21smsmTA& += 势能 2 2skmgsV+= L = T - V smmsLksmgsLA&)cot(2+=（2）求广义力 FQS（非有势力） 给广义坐标 s 以虚位移)( s，则块 A 虚位移为 s cot（水平） ，虚功为 sFWcot= 广义力为 cotQFsWFS= 将以上各式代入拉氏方程 SFsL sL tQ)(dd= &得 cot)cot(2FmgkssmmA=+& & 即 mgFkssmmA=+tan)tan(2& & 3-6 已知图 3-6 所示曲线为旋轮线， 其方
9、程为：)sin(= Rx， )cos1 (= Ry； 小环 M 在重力作用下沿该光滑曲线运动，求小环的运动微分方程。 解解 取为广义坐标，设 x 轴为零势能位置。系统动能 cos1)(21 2122222=+=&mRyxmmvT 253系统势能 )cos1 (=mgRmgyV sin2)cos1 (2)(dd)cos1 (2sinsin)cos1 ()cos1 (22222222& &mRmRL tmRLmgRmRLmgRmRVTL+=+=+=代入拉氏方程，得 0sin2sin21)cos1 (0sinsinsin2)cos1 (2222222=+=+RgmgRmRmRmR& & &3-7 如
10、图 3-7a 所示，均质杆 AB 长为 l，质量为 m，借助其 A 端销子沿斜面滑下，斜面 升角为， 不计销子质量和摩擦， 求杆的运动微分方程。 又设杆当0=时由静止开始运动， 求开始运动时斜面受到的压力。 Ax &2lyBCxACB& &2lyx& &gmNFx& &(a) (b) (c) 图 3-7 解解 2 自由度，给广义坐标 x，则广义速度为x &、&（见图 3-7b） )sin(2)cos(2=&lvlxvCyCx系统动能 2222 22222 24)cos(4(21221)(2&lmx llxmlmvvmTCyCx+=+= )cos(262222+=&x lmlmxm势能 cos2
11、sinlmgmgxV= （设初始 A 处势能为零） L = T - V & & &)sin(2)cos(2)(dd)cos(2=lmlmxmxL tlmxmxL图 3-6 254sinmgxL=& & &)sin(2)cos(23)(dd)cos(23)sin(2sin222=x lmx lmlmL tx lmlmLxmllmgL代入0)(dd=iiqL qL t&，得 =+=0)sin(2sin2)sin(2)cos(230sin)sin(2)cos(222& & & & &xmllmgxmlxmlmlmmgmlmlxm即 =+=0sin23)cos(20sin)sin(2)cos(222l
12、mgmllxmlmgmlmlxm& & & & & =+=)b( 0sin21 3)cos(21)a ( sin)sin(2)cos(2122glxgllx& & & & &当 t = 0 时，0=，0=&，则 =+=)2( 03cos21) 1 ( sincos22 & & & & &lxglx由式（2） ，得 cos23xl& & & =（3） 式（3）代入式（1） ，得 sincos23 212gxx=& & & sin)cos431 (2gx=& & 2sin31sin4 +=gx & &（4） 式（4）代入式（3） ，得 2sin31cossin6 +=gl & &)sin31 (2sin32+=lg& & （5） 由质心运动定理： 255sin2cosN& &lmFmg= 22Nsin31cos )sin31 (2sin3sin2cossin2cos+=+=mglgmlmglmmgF& & 3-8 如图 3-8a 所示，飞轮在水平面内绕铅直轴 O 转动，轮幅上套 1 滑块 A，并以弹簧 与轴心相
