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1、第三十五课时函数模型及其应用第三十五课时函数模型及其应用(3)(3) 【学习导航学习导航】 知识网络知识网络 学习要求学习要求 1根据条件题意写出满足题意的函数； 2 能够根据一次函数、二次函数的单调性来求出所写函数的最大 值和最小值. 自学评价自学评价 1一次函数求最值主要是利用它的 单调性 ； 2. 二次函数求最值也是要利用它的单调性，一般我们都先 配方 . 3.无论什么函数求最值都要注意 能够取到最值的条件 .例如 定义域 等. 【精典范例精典范例】 例例 1 1：在经济学中,函数的边际函数( )f x定义为=( )Mf x( )Mf x.某公司每月最多生产台(1)( )f xf x10
2、0报警系统装置,生产台(x )的收入函数(单xN2( )300020R xxx位:元),其成本函数为 (单位:元),利润是收入 ( )5004000C xx与成本之差. （1）求利润函数及边际利润函数( )P x;( )MP x（2）利润函数与边际利润函数( )P x是否具有相同的最大( )MP x 值?【解解】由题意知,且.1,100xxN(1)= ( )P x R xC x2300020(5004000)xxx22025004000xx ( )MP x 1P xP x2220(1)2500(1)40002025004000xxxx 248040x(2) ( )P x22025004000x
3、x 212520()741252x 当或时, 的最大值为62x 63x ( )P x(元).74120 因为是减函数,所以当( )248040MP xx时, 的最大值为1x ( )MP x(元).2440 因此,利润函数与边际利润函数( )P x不具有相同的最大值.( )MP x例例 2 2：某租赁公司拥有汽车辆当每辆车100的月租金为元时，可全3000 部租出当每辆车的月租金每增加元时，50未出租的车将会增加一 辆租出的车每辆每月需要维护费元，150未租出的车每辆每月需要维 护费元50 （1）当每辆车的月租金定为时，能租3600出多少辆车？实际问题函数建摸判断函数类型据单调性求最值解决听课随
4、笔（2）当每辆车的月租金定为多少元时？租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 【解解】 （1）当每辆车的月租金定为时，3600未租出的车辆数为，360030001250租出了辆车88 （2）设每辆车的月租金为元，则租赁公司月收益为x(3000)x 整理后得30003000(100)(150)505050xxyx2 1622100050xyx 2140503075050x 当时，的最大值为，即当每辆车的月租金定为元时，租赁公司的4050x y307504050月收益最大为元30750 点评：点评：月收益每辆车的租金租出车辆数车辆维护费最值问题一定要考察取最值的条 件， 因此，求定义域是必不可少
5、的环节例例 3 3：南京的某报刊零售点，从报社买进某报纸的价格是每份元，卖出的价格是每份0.20 元，卖不掉的报纸可以以每份元的价格退回报社在一个月（以天计算）里，0.300.0530有天每天可卖出份，其余每天只能卖出份，但每天从报社买进的份数必须相同，20400250 这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获利润最大？并计算他一个月最多可赚得多 少元？分析：此问题是关于利润和份数的关系, 根据经验我们知道:利润每份报纸赚的钱 y x份数卖不掉的报纸份数每份报纸亏的钱,的取值范围是.x250400x 【解解】设每天从报社买进份报纸，每月获得总利润元，则由题意，xy，0.10(2010 25
6、0)0.15 10(250)yxx0.5625x250,400x函数在上是单调递增函数，250,400时，元，400x max825y所以，该摊主每天从报社买进份时，每月所获利润最大，最大利润为元 400825 点评: 建立目标函数后一定要注意实际应用问题中变量的取值范围追踪训练一追踪训练一 1.冬季来临，某商场进了一批单价为元的电暖保，如果按元一个销售，能卖个；若304040 销售单价每上涨 元，销售量就减少 个，要获得最大利润时，电暖保的销售单价应该为多少？11提示：设单价为元，利润为元，则xy 230404055625yxxx 所以当时，的最大值为.55x y6252某商品在近天内每件的
7、销售价格（元）与时间 （天）的函数关系是30Pt，20,(025,)100,(2530,)tttNPtttN 该商品的日销售量（件）与时间 （天）Qt 的函数关系是，40 030,QtttN 求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是天中的第几天30 解：第天，日销售金额最大为元251125 【选修延伸选修延伸】 一、函数与图表一、函数与图表 高考热点高考热点1 （2001 上海，12）根据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严 重的国家之一图 26 中（1）表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年 代、九十年代的变化情况由图中的相关信息，可将上述有关年代中，
8、我国年平均土地沙化 面积在图 1 中（2）中图示为：【解解】如图 2 所示.解：由图中的沙化面积可以利用年代总面积平均面积因为题中是分 了五六十年代、六七十年代、九十年代三段 所以可分别求出三段的平均面积 2(253.3250.1) 101620，2(257.5253.3) 1021202(260257.5) 1025102.如图，河流航线长，工厂位AC40kmB于码头正北处，C30km 原来工厂所需原料需由码头装船沿水路BA到码头后，再改陆运到C 工厂，由于水运太长，运费颇高，工厂B与航运局协商在段BAC 上建一码头，并由码头到工厂修一条DDB新公路，原料改为按由到再到的路线运输，设ADBA
9、Dxkm，每吨的040x10货物总运费为元，已知每吨货物每千米y10运费水路为 元，陆路为1 元.2 （1）试写出元关于的函数关系式；yx （2）要使运费最省，码头应建在何处？D分析：分析：.总运费元水路运费陆路运费y.水路运费元,陆路长度1 x DB可以勾股定理求得:,30)40(22 x陆路运费(元).222(40)30x.建立此问题的函数模型: 222 (40)30yxx.040x对于问题(2)我们可以利用求函数值域的方法求得运费最省时, 点的位置.D 以上建立实际问题的函数模型均是在弄清题意的基础上,根据几 何、物理等相关的知识建立的函数模型 思维点拔：思维点拔： 一次函数求最值主要是
10、利用它的单调性；函数在yaxb上的最值：当时，,m nmn0a 时有最小值，xmamb 时有最大值；当时， xnanb0a 时有最大值，xmamb 时有最小值xnanb 二次函数求最值也是利用它的单调性，一般都先配方.而求最值 都要考虑取最值的条件.听课随笔追踪训练二追踪训练二1某电脑公司在甲乙两地各有一个分公司，甲分公司现有电脑台，乙分公司现有同一型号 6 的电脑台.现地某单位向该公司购买该型号的电脑台，地某单位向该公司购买该型12A10B 号的电脑台.已知甲地运往、两地每台电脑的运费分别是元和元，乙地运往、8AB4030A 两地每台电脑的运费分别是元和元.B8050 （1）设甲地调运台至地
11、，该公司运往和两地的总运费为元，求关于的函数xBAByyx 关系式.（2）若总运费不超过元，问能有几种调运方案？1000 （3）求总运费最低的调运方案及最低运费. 分析：本题的关键在于表示出、两地的电脑台数，再用函数单调性求最低运费.AB【解解】 （1）设甲地调运台至地，则剩下台电脑调运到地；乙地应调运xB6xA台电脑至地，运往地8xBA台电脑 1284xx.则总运费06,xxN，3040 650 8804yxxxx20960x.20960,06yxxNx（2）若使，即，得 1000y 209601000x2x 又，06,xxN02,xxN .，即能有种调运方案.0,1,2x3（3）是上的增函数，又，时，有最小值为20960yxR06,xxN0xy.960所以，从甲地运台到地，从乙地运台到地、运台到地，运费最低为元.6A8B4A960 点评:本例题属于经费预算问题，其数学模型表现为一次函数模型求最值的问题. 3【师生互动师生互动】学生质疑学生质疑教师释疑教师释疑听课随笔
