《高中数学（人教新课标b版）教学设计 必修一：3.3 幂函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学（人教新课标b版）教学设计 必修一：3.3 幂函数（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、示范教案示范教案 整整体体设设计计 教学分析 幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究 的又一类基本的初等函数学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历， 幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成因此，学习过程中，引入幂函数的概 念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习本节通过实例，让学生认识到幂函数同样 也是一种重要的函数模型，通过研究 yx，yx2，yx3，yx1，y等函数的性质和 2 1 x 图象，让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下，幂函数的共性：当幂指数 0 时， 幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1)，且在第一象限
2、内函数单调递增；当幂指数 0 时，幂函 数的图象都经过点(1,1)，且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线在方法上， 我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学 习 将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质其中，学生在初中 已经学习了 yx，yx2，yx1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定 的感性认识现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构学生已经了解 了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数 已经有了基本思路和方法因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究
3、函数的一 般思想方法是另一目的，另外，应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重 要途径 学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学 生对两类不同函数的表达式进行辨析 三维目标 1通过生活实例引出幂函数的概念，会画幂函数的图象 2通过观察图象，了解幂函数图象的变化情况和性质，加深学生对研究函数性质的基 本方法和流程的经验，培养学生概括抽象和识图能力，使学生体会到生活中处处有数学，激 发学生的学习兴趣 3了解几个常见的幂函数的性质，通过这几个幂函数的性质，总结幂函数的性质 4通过画图比较，使学生进一步体会数形结合的思想，利用计算机等工具，了解幂函 数和
4、指数函数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从 而激发学生的学习欲望 5应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，培养学生观察分析归纳能力 6了解类比法在研究问题中的作用，渗透辩证唯物主义观点和方法论，培养学生运用 具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力 重点难点 教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质 教学难点：根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小 课时安排 1 课时 教教学学过过程程 导入新课 思路 1.(1)如果张红购买了每千克 1 元的水果 w 千克，那么她需要付的钱数 p(元)和购买 的水果量 w(千克)之间有何关系？根据函数
5、的定义可知，这里 p 是 w 的函数 (2)如果正方形的边长为 a，那么正方形的面积 Sa2，这里 S 是 a 的函数 (3)如果正方体的边长为 a，那么正方体的体积 Va3，这里 V 是 a 的函数 (4)如果正方形场地面积为 S，那么正方形的边长 a，这里 a 是 S 的函数 2 1 S (5)如果某人 t s 内骑车行进了 1 km，那么他骑车的速度 vt1 km/s，这里 v 是 t 的函 数 以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同 点吗？(右边指数式，且底数都是变量) (适当引导：从自变量所处的位置这个角度)(引入新课，书写课题：幂函数) 思路
6、2.我们前面学习了三类具体的初等函数：二次函数、指数函数和对数函数，这一节 课我们再学习一种新的函数幂函数，教师板书课题：幂函数 推进新课 Error! Error! 问题：给出下列函数：yx，yx ，yx2，yx1，yx3，考察这些解析式的特点， 1 2 总结出来，是否为指数函数？ 问题：根据，如果让我们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？请给出 一个一般性的结论 问题：我们前面学习指对数函数的性质时，用了什么样的思路？研究幂函数的性质呢？ 问题：画出 yx，yx ，yx2，yx1，yx3五个函数图象，完成下列表格 1 2 问题：通过对以上五个函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图
7、象？哪个象限一 定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象，这时可以通过什么途径来判断？ 问题：通过对以上五个函数图象的观察和填表，你能类比出一般的幂函数的性质吗？ 活动：活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数的学习、研究有了一定的经 验和基本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数的基本内 容和方法为暗线，教学过程中同时展开，学生相互讨论，必要时，教师将解析式写成指数幂 形式，以启发学生归纳，学生作图，教师巡视，学生小组讨论，得到结论，必要时，教师利 用几何画板演示 讨论结果： 通过观察发现这些函数的变量在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们的变量都
8、在 底数位置上，不符合指数函数的定义，所以都不是指数函数 由于函数的指数是一个常数，底数是变量，类似于我们学过的幂的形式，因此我们称 这种类型的函数为幂函数，如果我们用字母 来表示函数的指数，就能得到一般的式子，即 幂函数的定义：一般地，形如 yx(xR)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为常数 如 yx2，y，yx3等都是幂函数，幂函数与指数函数、对数函数一样，都是基本 2 1 x 初等函数 我们研究指对数函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般；一般要考虑函数 的定义域、值域、单调性、奇偶性；有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的 定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，研
9、究幂函数的性质也应如此 学生用描点法，也可应用函数的性质，如奇偶性、定义域等，画出函数图象利用描 点法，在同一坐标系中画出函数 yx，y，yx2，yx3，yx1的图象 2 1 x 列表： x3210123 yx3210123 y 2 1 x 011.411.73 yx29410149 yx3278101827 yx1 1 3 1 2 11 1 2 1 3 描点、连线画出以上五个函数的图象，如下图 让学生通过观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，教师注意引导 学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质 通过观察图象，完成表格 第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没
10、有幂函数的图象；而第二、三象限可 能有，也可能没有图象，这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断 幂函数 yx的性质 (1)所有的幂函数在(0，)都有定义，并且图象都过点(1,1)(原因：1x1) (2)当 0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在 (x2) ， 3 1 3 1 3 2 x 所以函数 yx 是偶函数 2 3 因此函数的图象关于 y 轴对称 列出函数在0，)上的对应值表： x01234 y011.592.082.52 作这个函数在上的图象，如下图所示 由它的图象可以看出，这个函数在区间(，0上是减函数，在区间0，)上是增函 数 变式训练 证明幂函数 f(x)在 x ， x1x2 x
11、1 x2 因为 x1x20，0，所以0. x1x2 x1x2 x1 x2 所以 f(x1)f(x2)，即 f(x)在0，)上是增函数 x 点评：点评：证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写，利用作商的方法比较大小，f(x1) 与 f(x2)的符号要一致. 思路思路 2 例例 1 1 判断下列函数哪些是幂函数 y0.2x；yx3；yx2；y. 5 1 x 活动：活动：学生独立思考，讨论回答，教师巡视引导，及时评价学生的回答根据幂函数的 定义判别，形如 yx(xR)的函数称为幂函数，变量 x 的系数为 1，指数 是一个常数，严 格按这个标准来判断 解：y0.2x的底数是 0.2，因此不是幂函数；
12、yx3的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数； yx2的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数； y的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数 5 1 x 点评：点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断. 变式训练 判别下列函数中有几个幂函数？ yx ；y2x2；y；yx2x；yx3. 3 1 3 2 x 解：的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数；的变量 x2的系数为 2，因 此不是幂函数； 的变量是和的形式，因此也不是幂函数； 的变量 x3的系数为1，因此不是幂函数. 例例 2 2 函数 y(x22x)的定义域是( ) 2 1 Ax|x0 或 x2 B(，0)(2，) C(，02，) D(0
13、,2) 解析：解析：函数 y(x22x) 化为 y，要使函数有意义需 x22x0，即 x2 2 1 1 x22x 或 x0，所以函数的定义域为x|x2 或 x0 答案：答案：B 点评：点评：注意换元法在解题中的应用. 变式训练 函数 y(1x2)的值域是( ) 2 1 A C(0,1) D 活动：活动：学生独立解题，先思考，然后上黑板板演，教师巡视指导函数的值域要根据函数 的定义域来求函数可化为根式形式，偶次方根号的被开方数大于零，转化为等式或不等 式来解，可得定义域，这是复合函数求值域问题，利用换元法 解析：解析：令 t1x2，则 y， t 因为函数的定义域是x|1x1，所以 0t1.所以
14、0y1. 答案：答案：D Error! 1下列函数中，是幂函数的是( ) Ay2x By2x3 Cy Dy2x 1 x 2下列结论正确的是( ) A幂函数的图象一定过原点 B当 0 时，幂函数 yx是减函数 C当 0 时，幂函数 yx是增函数 D函数 yx2既是二次函数，也是幂函数 3下列函数中，在(，0)上是增函数的是( ) Ayx3 Byx2 Cy Dy 1 x2 3 x 4已知某幂函数的图象经过点(2，)，则这个函数的解析式为_ 2 答案：答案：1.C 2.D 3.A 4.y 2 1 x Error! 分别在同一坐标系中作出下列函数的图象，通过图象说明它们之间的关系 yx1，yx2，yx
15、3；yx，yx； 2 1 3 1 yx，yx2，yx3；y，yx . 2 1 x 3 1 活动：活动：学生思考或交流，探讨作图的方法，教师及时提示，必要时，利用几何画板演 示 解：利用描点法，在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如下图甲、乙、丙、丁 甲 乙 丙 丁 观察上图甲得到： 函数 yx1、yx 2、yx3的图象都过点(1,1)，且在第一象限随 x 的增大而下降， 函数在区间(0，)上是单调减函数，且向右无限接近 x 轴，向上无限接近 y 轴，指数越小， 向右无限接近 x 轴的图象在下方，向上离 y 轴越远 观察上图乙得到： 函数 yx、yx的图象都过点(1,1)，且在第一象限随 x 的增大而下降，函数在区 2 1 3 1 间(0，)上是单调减函数，且向右无限接近 x 轴，向
