《高中数学（人教新课标b版）教学设计 必修一：2.2.2 二次函数的性质与图象》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学（人教新课标b版）教学设计 必修一：2.2.2 二次函数的性质与图象（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、示范教案示范教案 整整体体设设计计 教学分析 在讨论二次函数性质的过程中，其图象显然起了重要作用，但是又不忽视解析式的作 用因此教材突出数与形的有机结合高中学生，已经处于思维接近成熟的阶段，有些情况 下，不能就事论事，而应该适度思考一些带有综合性的问题，但不可过分对一般学生来说， 分寸掌握到课本例题和习题的水平为宜程度好一些的学生，当然，也可以自选一些题目来 做对于二次函数单调性证明，用文字表示对称轴、顶点、最大(小)值、单调区间等，教师 应该带领学生尝试 三维目标 对一般二次函数解析式配方，确定其图象位置，并能研究其定义域、值域、单调性、最 大(小)值等性质，提高学生数形结合的能力 重点难点
2、 教学重点：二次函数的性质与图象 教学难点：求二次函数的值域 课时安排 1 课时 教教学学过过程程 导入新课 思路 1.在初中，我们已经学过了二次函数，知道其图象为抛物线，并了解其图象的开口 方向、对称轴、顶点等特征，本节课进一步研究一般的二次函数的性质，引出课题 思路 2.高考试题中，有关二次函数的题目经常出现，二次函数是高中数学最重要的函数， 因此有必要对二次函数的图象和性质进行深入学习，教师引出课题 推进新课 Error! Error! 画出 y2x24x3 的图象，根据图象讨论图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、单 调区间、最大值和最小值. 画出 yx24x5 的图象，根据图象讨论图象的
3、开口方向、顶点坐标、对称轴、单 调区间、最大值和最小值. 讨论二次函数 fxax2bxca0图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区 间、最大值和最小值. 活动：学生回顾画二次函数图象的方法，思考函数的单调性、最值的几何意义 讨论结果：y2x24x32(x1)25，其图象如下图所示 观察图象得：开口向上；顶点 A(1，5)；对称轴直线 x1；在(，1上是减少的， 在上是增加的，在上是减少的，在上是增加的，在上是减少的，在(x2x1) 因为 x1，x2，所以 x1x2 ， b 2a b 2a b a 即 a(x1x2)b. 也就是 a(x1x2)b0. 又 x2x10，所以 f(x2)f(x1)
4、0， 即 f(x2)f(x1) 由函数单调性的定义，f(x)在(，上是减少的 b 2a 同理可证，f(x)在 (x4)22. 1 2 1 2 由于对任意实数 x，都有 (x4)20，因此 f(x)2， 1 2 当且仅当 x4 时取等号这说明该函数在 x4 时，取得最小值2，记为 ymin2.它的图象的顶点为(4，2) (2)求函数的图象与 x 轴的交点 令 y0，即 x24x60，x28x120. 1 2 解此一元二次方程，得 x16，x22，这说明该函数的图象与 x 轴相交于两点 (6,0)，(2,0) (3)列表描点作图 以 x4 为中间值，取 x 的一些值(包括使 y0 的 x 值)，列
5、出这个函数的对应值表： x7654321 y 5 2 0 3 2 2 3 2 0 5 2 在直角坐标系内描点作图，如下图所示 (4)函数图象的对称性质 从上表和函数的图象容易推测，该函数的图象是以过点 M(4，0)，且平行于 y 轴的直 线为对称轴的轴对称图形下面我们来证明这个事实 在 x4 的两边取两个对称的 x 值：4h，4h(h0) 因为 f(4h) (4h)24(4h)6 h22， 1 2 1 2 f(4h) (4h)24(4h)6 h22， 1 2 1 2 所以 f(4h)f(4h) 这就是说，抛物线 y x24x6 关于直线 x4 对称 1 2 注意：通过点(a,0)平行于 y 轴
6、的直线上的所有点的横坐标都为 a，通常将这条直线记为 直线 xa. (5)函数的增减性 再观察这个函数的图象，还可以发现，函数在区间(，4上是减函数，在区间上是 减函数，在上是增函数，在(x2)27，由(x2)20，得该函数对任意实数 x 都有 f(x) 7， 当且仅当 x2 时取等号，即 f(2)7.这说明函数 f(x)在 x2 时取得最大值 7，记 作 ymax7. 所以函数图象的顶点是(2,7) 注：记号 ymax，ymin分别表示函数 yf(x)的最大值，最小值 (2)求函数图象与 x 轴的交点 令x24x30，解此方程，得 x120.65，x224.65. 77 这说明这个函数的图象
7、与 x 轴相交于两点(2，0)，(2，0) 77 (3)列表描点作图 以 x2 为中间值，取 x 的一些值(包括 y0 的 x 值)，列出这个函数的对应值表： x5 4. 65 4. 5 432100.50.651 y200.75367630.7502 在直角坐标系内描点作图 (4)函数的对称性、增减性 由下图可得到函数 f(x)x24x3， 关于直线 x2 成轴对称图形，在区间(，2上是增函数，在区间上是减函数， 在区间上是增函数； (4)当函数 f(x)在区间(，m上是增函数时，求实数 m 的取值范围 分析：(1)画二次函数的图象时，重点确定开口方向和对称轴的位置；(2)根据单调性的几 何
8、意义，写出单调区间；(3)证明函数的增减性，先在区间上取 x1x2，然后作差 f(x1)f(x2)， 判断这个差的符号即可；(4)讨论对称轴和区间(，m的相对位置 解：(1)函数 f(x)x22x3 的图象如下图所示. (2)由函数 f(x)的图象得，在直线 x1 的左侧图象是上升的，在直线 x1 的右侧图象是 下降的，故函数 f(x)的单调递增区间是(，1，单调递减区间是(1，) (3)设 x1，x2(，1，且 x1x2，则有 f(x1)f(x2)(x 2x13)(x 2x23) 2 12 2 (x x )2(x1x2)(x1x2)(2x1x2) 2 22 1 x1、x2(，1，且 x1x2
9、，x1x20，x1x22. 2x1x20.f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2) 函数 f(x)x22x3 在区间(，1上是增函数 (4)函数 f(x)x22x3 的对称轴是直线 x1，在对称轴的左侧是减函数，那么当区 间(，m位于对称轴的左侧时满足题意，则有 m1，即实数 m 的取值范围是(，1 点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其综合应用讨论二次函数的单 调性时，要结合二次函数的图象，通过确定对称轴和单调区间的相对位置来解决. 变式训练 如果二次函数 f(x)x2(a1)x5 在区间( ， )上是减函数，那么 f(2)的取值范围是( 1 4 1 2 ) A(，7 B(，
10、7) C(7，) D7，) 解析：解析：本题主要考查二次函数的单调性二次函数 f(x)在区间( ， )上是减函数，由于图象 1 4 1 2 开口向上， 对称轴 x . a1 2 1 2 a2.故 f(2)222(a1)5112a7. 答案：答案：A 例例 2 2 某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需 增加投入 100 元，已知总收益满足函数：R(x)Error! Error!其中 x 是仪器的月产量 (1)将利润表示为月产量的函数 (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益总成本利 润) 分析：(1)利润总收益总成本；(2)转
11、化为求函数的最值，由于此函数是分段函数，则 要求出各段上的最大值，再从中找出函数的最大值 解：(1)设月产量为 x 台，则总成本为 20 000100x，从而 f(x)Error! Error! (2)当 0x400 时，f(x) (x300)225 000，当 x300 时，有最大值 25 000； 1 2 当 x400 时，f(x)60 000100x 是减函数， 又 f(x)60 00010040025 000， 所以，当 x300 时，有最大值 25 000. 即当月产量为 300 台时，公司所获利润最大，最大利润是 25 000 元 点评：本题主要考查二次函数及其最值，以及应用二次函
12、数解决实际问题的能力二次 函数模型是一种常见的函数应用模型，是高考的重点和热点其解题关键是列出二次函数解 析式，即建立函数模型，转化为求二次函数的最值等问题. 变式训练 某工厂生产某种产品的固定成本为 200 万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加 1 万元，又知总收入 R 是单位产量 Q 的函数：R(Q)4QQ2，则总利润 L(Q)的最大值是 1 200 _万元，这时产品的生产数量为_(总利润总收入成本) 解析：解析：L(Q)4QQ2(200Q)(Q300)2250，则当 Q300 时，总利润 L(Q) 1 200 1 200 取最大值 250 万元 答案：答案：250 300 Erro
13、r! 1已知函数 f(x)ax22(a2)xa4.当 x(1,1)时，恒有 f(x)0，则 a 的取值范围 为( ) Aa2 Ba2 C0a2 Da2 且 a0 解析：解析：思路 1：当 a0 时，f(x)4x4，则此时 f(x)是减函数，且 f(1)0，则当 x(1,1)时，恒有 f(x)f(1)0，即 a0 符合题意，排除 C、D；当 a2 时，f(x) 2x22，由于 x(1,1)，则有 f(x)2x22f(1)f(1)0，即 a2 符合题意，排除 B；故选 A. 思路 2：当 x(1,1)时，有 x22x1(x1)20，又 f(x)(x22x1)a4(x1)， 则恒有(x22x1)a4
14、(x1)0，即 a恒成立，又 x(1,1)，则 4(x1) (x22x1) 4 x1 2，则只需 a2 即可 4 x1 答案：答案：A 2若函数 f(x)(a2)x22x4 的图象恒在 x 轴下方，则 a 的取值范围是_ 解析：解析：由题意得Error!解得 a . 7 4 答案：答案：(， ) 7 4 3二次函数 f(x)x2ax，对任意 xR，总有 f(1x)f(1x)，则实数 a_. 解析：解析：对任意 xR，总有 f(1x)f(1x)， 函数 f(x)的对称轴是 x1，则有 1，a2. 1x1x 2 a 2 答案：答案：2 4函数 yx22(m1)x3 在区间(，2上是减函数，则 m 的取值范围是( ) Am3 Bm3 Cm3 Dm3 解析：解析：结合二次函数的图象来分析二次函数 yx22(m1)x3 的对称轴 x(m1)1m. 10，开口向上，在(，2上递减，需满足对称轴 x1m 在区间(，2 的右侧，则21m，m3. 答案：答案：A 5已知 f(x)x22x3，在闭区间上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范
