《高中数学（人教新课标b版）教学设计 必修一：3.2.3 指数函数与对数函数的关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学（人教新课标b版）教学设计 必修一：3.2.3 指数函数与对数函数的关系（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、示范教案示范教案 整整体体设设计计 教学分析 教材通过函数 y2x与 ylog2x 引入反函数的概念，值得注意的是在课程标准中，对反 函数的要求仅仅局限于了解即可，防止过多的求反函数等练习，以免加重学生的负担 三维目标 了解反函数的概念，知道 yax与 ylogax(a0，a1)互为反函数，树立普遍联系的思 想 重点难点 教学重点：yax与 ylogax(a0，a1)的关系和反函数的概念 教学难点：理解反函数的概念 课时安排 1 课时 教教学学过过程程 导入新课 思路 1.复习指数函数与对数函数的关系，那么函数 yax与函数 ylogax 到底还有什么 关系呢？这就是本堂课我们要研究的新内容
2、思路 2.在比较系统地学习对数函数的定义、图象和性质的基础上，利用对数函数的图象 和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图象和性质，特别明确了对数函数 的单调性，并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题因此，搞清 yax和函数 ylogax 的关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力 推进新课 Error! Error! 用列表描点法在同一个直角坐标系中画出 xlog2y 与 y2x与 ylog2x 的函数图象. 通过图象探索在指数函数 y2x中，x 为自变量，y 为因变量，如果把 y 当成自变量， x 当成因变量，那么 x 是 y 的函数吗？ 如果是，那么对应关系
3、是什么？如果不是，请说明理由. 探索 y2x与 xlog2y 的图象间的关系. 探索 y2x与 ylog2x 的图象间的关系. 结合与推测函数 yax与函数 ylogax 的关系. 讨论结果：y2x与 xlog2y. x3210123 y 1 8 1 4 1 2 1248 ylog2x. y3210123 x 1 8 1 4 1 2 1248 图象如下图所示 在指数函数 y2x中，x 是自变量，y 是 x 的函数，而且其在 R 上是单调递增函 数过 y 轴的正半轴上任意一点作 x 轴的平行线，与 y2x的图象有且只有一个交点，即对 任意的 y 都有唯一的 x 相对应，可以把 y 作为自变量，x
4、 作为 y 的函数 由指数式与对数式关系，y2x得 xlog2y，即对于每一个 y，在关系式 xlog2y 的 作用之下，都有唯一的确定的值 x 和它对应，所以，可以把 y 作为自变量，x 作为 y 的函数， 即 xlog2y.这时我们把函数 xlog2yy(0，)叫做函数 y2x(xR)的反函数，但习惯 上，通常以 x 表示自变量，y 表示函数，对调 xlog2y 中的 x、y 写成 ylog2x，这样 ylog2xx(0，)是指数函数 y2x(xR)的反函数由上述讨论可知，对数函数 ylog2xx(0，)是指数函数 y2x(xR)的反函数；同时，指数函数 y2x(xR)也是 对数函数 yl
5、og2xx(0，)的反函数因此，指数函数 y2x(xR)与对数函数 ylog2xx(0，)互为反函数 以后，我们所说的反函数是 x、y 对调后的函数如 ylog3x，x(0，)与 y3x(xR) 互为反函数，ylog0.5x 与 y0.5x(xR)互为反函数函数 yf(x)的反函数通常用 yf1(x) 表示 从我们的列表中知道，y2x与 xlog2y 是同一个函数图象 通过观察图象可知，y2x与 ylog2x 的图象关于直线 yx 对称 通过与类比，归纳知道，yax(a0，且 a1)的反函数是 ylogax(a0，且 a1)， 且它们的图象关于直线 yx 对称 由反函数的概念可知，同底的指数函
6、数和对数函数互为反函数，它们的图象关于直线 yx 对称 Error! 思路思路 1 例例写出下列函数的反函数： (1)y30x；(2)ylog0.7x. 解：(1)f1(x)log30x；(2)f1(x)0.7x. 点评：点评：函数 yax与函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数. 变式训练 本节练习 A 1. 思路思路 2 例例 求下列函数的反函数： (1)y2x；(2)y2x1. 解：(1)x y，则 f1(x) x. 1 2 1 2 (2)2xy1，则 xlog2(y1)，f1(x)log2(x1)(x1) 点评：点评：求反函数的步骤：将 yf(x)看成关于 x 的方程，解方程得
7、 x；x、y 互换得 f1(x). 变式训练 求证：函数 y 的图象关于直线 yx 对称 2 x 证明：x ，f1(x) . 2 y 2 x 则 y 的反函数是其本身y 的图象关于直线 yx 对称. 2 x 2 x Error! 1函数 ylgx 的反函数是( ) Aylgx By10x Cylnx Dy10x 答案：答案：B 2函数 y的图象关于( ) 3 x A直线 yx 对称 B直线 y2x 对称 Cx 轴对称 Dy 轴对称 答案：答案：A 3写出下列函数的反函数： (1)yx；(2)y2x1；(3)y6x. 2 1 log 解：(1)f1(x)( )x；(2)f1(x) x ；(3)f
8、1(x)log6x. 1 2 1 2 1 2 Error! 若 1x2，比较(log2x)2，log2x2，log2(log2x)的大小 活动：活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，学生有困难，教师可以提 示并及时评价这是有条件的比较大小，几个对数式各不相同，应采取中间量法很明显， log2(log2x)小于 0，只要比较(log2x)2与 log2x2的大小即可 解：log2(log2x)(log2x)2log2x2. 解法一：因为 log2x2(log2x)2log2x(2log2x)log2xlog2， 4 x 又因为 1x2，所以 1x . 4 x 所以 log20，l
9、og2x0.所以 log2x2(log2x)20. 4 x 又因为 log2x1，log2(log2x)0，所以 log2(log2x)(log2x)2log2x2. 解法二：因为(log2x)2log2x2(log2x)22log2x11(log2x1)21， 又 1x2，所以 0log2x1，即 0(log2x)21. 因此(log2x1)210. 又 log2(log2x)0，故 log2(log2x)(log2x)2log2x2. 点评：点评：比较数的大小方法： 作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大 作商，但必须是同号数，看商与 1 的大小，再决定两个数的大小 计算出每个数的值
10、，再比较大小 若是两个以上的数，有时采用中间量比较 利用图象法 利用函数的单调性 Error! 1互为反函数的概念及其图象间的关系 2对数函数图象的平移变换规律 3本节课又复习了对数函数的图象与性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数 的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数 图象的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中总结规律 4指、对数函数图象性质对比 Error! 课本本节练习 B 1、2. 设设计计感感想想 学生已经比较系统地掌握了对数函数的定义、图象和性质，因此本堂课首先组织学生回 顾函数的通性，以及有关指数型函数的图象的变化规律以及与指数
11、式有关的复合函数的奇偶 性、单调性的讨论方法与步骤，为学生用类比法学习作好方法上的准备由于本节课是本单 元的最后一节，内容比较综合，量也较大，所以应响应高考要求，抓住关键，强化细节，努 力使学生掌握与高考相适应的知识与能力，做到与高考接轨 备备课课资资料料 1f(x23)loga(a0，a1)，判断 f(x)的奇偶性 x2 6x2 活动：活动：学生考虑，学生之间可以相互交流讨论判断函数的奇偶性，一般用定义法；首 先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；学生回忆判断函数奇偶性的方法， 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 解：f(x23)loga， x233 3(x23) f(x)log
12、a.由0，得 f(x)的定义域为(3,3) 3x 3x 3x 3x 又f(x)logaloga()1loga()f(x)， 3x 3x 3x 3x 3x 3x f(x)是奇函数 点评：点评：解指数不等式要注意底数的大小，必要时要分类讨论 2已知常数 a、b 满足 a1b0，若 f(x)lg(axbx)， (1)求 yf(x)的定义域； (2)证明 yf(x)在其定义域内是增函数； (3)若 f(x)恰在(1，)上恒取正值，且 f(2)lg2，求 a、b 的值 (1)解：由 axbx0，得( )x1. a b 因为 ab0，所以 1. a b 所以 y( )x是增函数而且由( )x1 得 x0，
13、 a b a b 即函数 f(x)的定义域是(0，) (2)证明：任取 x1，x2(0，)，且 x1x2， 因为 a1，所以 g1(x)ax是增函数所以 ax1ax20， (ax1ax2)(bx1bx2)0， 即(ax1bx1)(ax2bx2)0.因此 0ax1bx1ax2bx2， 于是 lg(ax1bx1)lg(ax2bx2)，故 f(x)lg(axbx)在(0，)内是增函数 (3)解：因为 f(x)在(1，)内为增函数，所以对于 x(1，)内每一个 x 值，都有 f(x) f(1) 要使 f(x)恰在(1，)上恒取正值，即 f(x)0，只需 f(1)0. 于是 f(1)lg(ab)0，得 ab1. 又 f(2)lg2，所以 lg(a2b2)lg2.所以 a2b22，即(ab)(ab)2. 而 ab1，所以 ab2. 由Error!解得Error!经检验知 a ，b 为所求 3 2 1 2 点评：点评：解(3)要用到(1)与(2)的结果，是相互联系的，恒成立问题是高考的热点问题， 要注意把握 (设计者：张新军)
