《高中数学（人教新课标b版）教学设计 必修五：3.5.2简单线性规划》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学（人教新课标b版）教学设计 必修五：3.5.2简单线性规划（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、教学设计教学设计3 35.25.2 简单线性规划简单线性规划整体设计整体设计教学分析教学分析 本节内容在教材中有着重要的地位与作用线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法数学建模法通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问
2、题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是本节的重点也是难点对许多学生来说，解数学应用题的最常见的困难是不会将实际问题转化成数学问题，即不会建模，所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点对学生而言，解决应用问题的障碍主要有三类：不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；孤立地考虑单个的问题情境，不能多方面联想，形成正迁移针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本节设计为计算机辅助教学，充分利用现代化教学工具，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理
3、解实际教学中注意以下几个问题：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找到目标函数可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域如果可行域是一个凸多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点到底哪个顶点为最优解，可有两种确定方法：一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是；另一种方法可利用围成可行域的直线的斜率来判断若实际问题要求的最优解是整数解，而我
4、们利用图解法得到的解为非整数解(近似解)，应作适当的调整其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也是很有效的办法在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小如果条件允许，可将本节的思考与讨论融入课堂三维目标三维目标 1使学生了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问
5、题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题2通过本节内容的学习，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力3通过本节学习，理解线性规划求最优解的原理，明确线性规划在现实生活中的意义重点难点重点难点 教学重点：求线性目标函数的最值问题，培养学生“用数学”的意识，理解线性规划最优解的原理教学难点：把实际问题转化为线性规划问题，并给出解 答课时安排课时安排 2 课时教学过程教学过程第第 1 课时课时导入新课导入新课 思路 1.(问题引入)由身边的线性规划问题导入课题，同时阐明其重要意义如 6 枝玫瑰花与 3 枝康乃馨的价格之和大于 2
6、4 元而 4 枝玫瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小于 22 元如果想买 2 枝玫瑰与 3 枝康乃馨，那么价格比较结果是怎样的呢？可由学生列出不等关系，并画出平面区域由此导入新课导入新课思路 2.(章头问题引入)在生产与营销活动中，我们常常需要考虑：怎样利用现在的资源取得最大的收益，或者怎样以最少的资源投入去完成一项给定的任务我们把这一类问题称为“最优化”问题线性规划知识恰是解决这类问题的得力工具由此展开新课推进新课推进新课 Error!Error!Error!Error!1回忆二元一次不等式 AxByC0 在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法.2怎样从实际问题中抽象出不等式组，并画出所确定的平
7、面区域？3阅读教材，明确什么是目标函数，线性目标函数，约束条件，线性约束条件，线性规划问题，最优解，可行域.,4你能给出解决线性规划问题的一般步骤吗？活动：教师引导学生回顾二元一次不等式表示平面区域常用的方法是：直线定界、原点定域，即先画出对应直线，再将原点坐标代入直线方程中，看其值比零大还是比零小；不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，是它们平面区域的公共部分教师引导学生探究教材本节开头的问题根据上节所学，学生很容易设出计划生产甲种产品 x 工时，生产乙种产品 y 工时，且很容易地列出获得利润总额为 f30x40y，及 x，y 满足的条件Error!Error!教师引导学
8、生画出上述不等式组表示的区域，如下图结合图形，教师与学生一起探究，原问题就是在 x，y 满足的情况下，求 f 的最大值也就是在图中阴影部分内找一点，把它的坐标代入式子 30x40y 时，使该式值最大若令 30x40y0，则此方程表示通过原点的一条直线，记为 l0，则在区域 OABC 内有30x40y0.设这个区域内任意一点 P(x，y)到 l0的距离为 d，则d，即 30x40yd.|30x40y|30240230x40y302402302402由此可发现，点 P(x，y)到直线 l0的距离 d 越大，式子 30x40y 的值就越大这样问题又转化为：在区域 OABC 内，找与直线 l0距离最大
9、的点观察图象易发现，平移直线 l0，最后经过的点为 B，易知区域 OABC 内的点 B 即为所求解方程组Error!Error!得 B(200,300)，代入式子，得 fmax302004030018 000.即问题中，用 200 工时生产甲种产品，用 300 工时生产乙种产品，能获得最大利润 18 000 元进一步探究上述问题，不等式组是一组对变量 x、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件z2xy 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式，我们把它称为目标函数由于 z2xy 又是关于 x、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标
10、函数线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数 z2xy 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解，接着让学生说出上述问题中的目标函数，约束条件，可行域，最优解分别是什么根据以上探究，我们可以得出用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)分析并将已知数据列出表格；(2)确定线性约束条件；(3)确定线性目标函数；(4)
11、画出可行域；(5)利用线性目标函数求出最优解在可行域内平行移动目标函数，从图中能判定问题有唯一最优解，或者是无穷最优解，或是无最优解；(6)实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解讨论结果：(1)(4)略Error!Error!例例 1 已知 x、y 满足不等式Error!Error!求 z3xy 的最小值活动：可先找出可行域，平行移动直线 l0：3xy0 找出可行解，进而求出目标函数的最小值解：不等式 x2y2 表示直线 x2y2 上及其右上方的点的集合；不等式 2xy1 表示直线 2xy1 上及其右上方的点的集合可行域如图所示作直线 l0：3xy0，作一组与直线 l0平行的直线 l：3x
12、yt(tR)x、y 是上面不等式组表示的区域内的点的横纵坐标，由图可知，当直线 l：3xyz 通过点 P(0,1)时，z 取到最小值 1，即 zmin1.点评：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；(3)在可行域内求目标函数的最优解.变式训练若变量 x，y 满足Error!Error!则 z3x2y 的最大值是_答案：答案：70解析：解析：由不等式组Error!Error!画出可行域如下图结合图形，由Error!Error!Er
13、ror!Error!于是 zmax31022070.例例 2(教材本小节例 2)活动：教材此例的数据以表格的形式给出这样可使量与量之间的关系一目了然，非常有助于我们顺利地找出约束条件和目标函数，特别是对于那些量比较多的问题本例难度不大，可由学生自己完成，教师给予适当点拨点评：完成此例后，可让学生对应用线性规划解决实际问题作一简单归纳对较好的学生，教师可结合思考与讨论进行归纳.变式训练某家具厂有方木料 90 m3，五合板 600 m2，准备加工成书桌和书橱出售已知生产每张书桌需要方木料 0.1 m3、五合板 2 m2；生产每个书橱需要方木料 0.2 m3、五合板 1 m2.出售一张书桌可获利润
14、80 元，出售一个书橱可获利润 120 元，如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使所得利润最大？解：(1)设只生产书桌 x 张，可获得利润 z 元，则Error!Error!Error!Error!x300.z80x，当 x300 时，zmax8030024 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产 300 张书桌，获得利润 24 000 元(2)设只生产书橱 y 张，可获利润 z 元，则Error!Error!Error!Error!y450.z120y，当 y450 时，zmax12045054 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可
15、生产 450 个，获得利润 54 000 元(3)设生产书桌 x 张，书橱 y 个，利润总额为 z 元则Error!Error!Error!Error!z80x120y，可行域如图由图可知：当直线 y x经过可行域上的点 M 时，截距最大，即 z 最大，解方23z120z120程组Error!Error!得 M 的坐标为(100,400)zmax80x120y8010012040056 000(元)因此，生产书桌 100 张、书橱 400 个，可使所得利润最大，最大利润为 56 000 元.例例 3 某工厂生产甲、乙两种产品已知生产甲种产品 1 t 需耗 A 种矿石 10 t、B 种矿石 5 t、煤 4 t；生产乙种产品需耗 A 种矿石 4 t、B 种矿石 4 t、煤 9 t每 1 t 甲种产品的利润是600 元，每 1 t 乙种产品的利润是 1 000 元工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 A 种矿石不超过 300 t、B 种矿石不超过 200 t、煤不超过 360 t，甲、乙两种产品应各生产多少(精确到 0.1 t)，能使利润总额达到最大？活动：将已知数据列成下表，然后按线性规划解决实际问题的步骤完成，本例可由学生自己完成解：设生产甲、乙两种产品分别为 x t、y t，利润总额为 z 元，那么Error!Error!目
