《高中数学（人教新课标b版）教学设计 必修五：2.1.2数列的递推公式（选学）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学（人教新课标b版）教学设计 必修五：2.1.2数列的递推公式（选学）（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、教学设计教学设计2 21.21.2 数列的递推公式数列的递推公式( (选学选学) )整体设计整体设计教学分析教学分析 本节作为选学内容，课标对递推公式没有明确要求考虑到它在认识数列中的作用，教材把它单列一节作为选学实际上，递推公式作为数列的一种表示方法，有其独特的作用，高考试卷中常常见到它的踪影，因此，教学中还是把它作为必学内容对待为好数列作为刻画自然规律的基本数学模型，教材意图是用函数的观点和递推的观点理解数列同上节一样本节也是通过一些例子及章头前言中的事例来引入递推公式并通过例题，让学生明确数列的递推公式应包括数列的首项和公式本身没有首项，就没有递推的基础，没有递推公式则无法向后延续让学生
2、体会，给出首项和递推公式，就可唯一确定一个数列数列的递推公式也是数列的一种表示方法，它与数列的通项公式紧密相连，但作为开始认识数列，本节不宜过分拓展，加大难度，仅限于理解递推公式的定义，并能用数列的首项和递推公式写出数列的后续各项即可三维目标三维目标 1通过本节学习，理解数列递推公式的意义，理解递推公式与通项公式的异同会根据数列的首项和递推公式写出数列的后续各项2通过探究、交流、观察、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用，并通过思考与讨论本章章头左图中的说明，体会数学来源于生活3通过对数列递推公式的探究，培养学生动手试验，大胆猜想的优秀品质，培养学生对科学的探究精神和严肃认真的态度重点难点重
3、点难点 教学重点：理解用递推公式定义数列的方法；能用递推公式和首项写出数列的后续各项教学难点：利用数列的递推公式和首项，猜想该数列的通项公式课时安排课时安排 1 课时教学过程教学过程导入新课导入新课 思路 1.(章头图引入)让学生观察章头图中左图兔子的繁殖情况假设每次生出的小兔子都是一雄一雌，并且排除兔子发生死亡的情况，这样每个月兔子的对数，依次可以排成一个数列，你能把这个数列的每一项(第一项除外)用前一项表示出来吗？由此展开新课的探究思路 2.(直接引入)我们知道数列 1,2,3,4，可用通项公式 ann 表示容易发现，这个数列从第 2 项起的任一项都可用它的前一项表示出来，即 anan11
4、(n2)，这就是数列的另一种表示方法，也就是今天我们探究的主要内容：递推公式由此展开探究推进新课推进新课 Error!Error!Error!Error!(1)多媒体演示图 1，是工厂生产的钢管堆放示意图，你能写出它的一个通项公式吗？你能找出它的相邻两层之间的关系吗？(2)数列an的通项公式是 an2n.从第 2 项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系？章头数列 3， 从第 2 项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系呢？1 cos cos cos(3)怎样理解递推公式？若已知数列 an2an11，你能写出这个数列吗？为什么？活动：教师用多媒体演示工厂生产的钢管堆放示意图引导学生观察钢管
5、堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型由学生合作探究，必要时教师给予点拨模型一：自上而下第 1 层钢管数为 4，即 1413；第 2 层钢管数为 5，即 2523；第 3 层钢管数为 6，即 3633；第 4 层钢管数为 7，即 4743；第 5 层钢管数为 8，即 5853；第 6 层钢管数为 9，即 6963；第 7 层钢管数为 10，即 71073.若用 an表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且ann3(1n7)模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1，即 a14；a2541a11；a3651a21.依此类推：anan11(
6、2n7)在教师的引导点拨下，学生最终能得到以上两种数学模型，教师适时给以点评首先表扬学生的这种探究问题的精神，不怕困难敢于钻研，而且推得两个很重要的结论对于推得的 ann3，只要将 n 的具体值代入，我们就会很快地求出某一层的钢管数因为这一关系反映了每一层的钢管数与其层数之间的对应规律，这会给我们的统计与计算带来很大方便，这是由特殊到一般的数学思想方法的运用，是非常正确和成功的对于推得anan11(2n7 且 nN*)的同学就更值得表扬，因为这是我们没有见过的，这就是创新，这就是聪明智慧的闪现这个关系式说明：只要知道 a1，则以后的每一项都等于它的前项加1，这样就可以求出第二项，以此类推即可求
7、出其他项这就是我们今天要探究的一个重点内容，也就是数列的另一种表示法，递推公式法我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式递推公式很重要，显然教材上涉及的内容不多，但在每年的高考卷上都有所体现，应引起注意下一节要学习的等差数列就是最简单的递推数列引导学生给递推公式这样下定义：通过给出数列的第一项(或前若干项)，并给出数列的某一项与它的前一项(或前若干项)的关系式来表示数列，这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式注意：递推公式也是给出数列的一种方法如下列数字排列的一个数列：3,5,8,13,21,34,55,89，递推公式为 a13，a25，anan1an2(3n8)掌握递推公式的关键一点
8、是把握其中的递推关系，应特别注意探究和发现递推关系中前项和后项，或前、后几项之间的关系有了以上探究活动，学生很容易探究出问题(2)(3)，至此，学生对数列的表示方法有了全面的理解，为数列的后续内容的学习打下了坚实的基础讨论结果：(1)略(2)a12，an2an1(n2,3,4，)；数列 3，a11，ancos(an1)(n2,3,4，)(3)递推公式包括已知的第 1 项(或前几项)才能写出这个数列的后续各项前者是递推的基础，后者是递推的延续因此仅知 an2an11 无法写出这个数列的各项Error!Error!例例 1 已知 a12，an12an，写出前 5 项，并猜想 an.活动：根据 a1
9、2 及 an12an，学生很容易求出前 5 项，分别是 2,4,8,16,32.由观察可猜想 an2n，这种解法在选择题或填空题中是非常有效的，但若改为求 an，这种解法则是不完整的由2，可得到以下解法：anan12n1，anan1an1an2an2an3a2a1ana1an2n.解：a12，an12an，a22a14，a32a28，a42a316，a52a432.a22222，a322223，a41624，猜想 an2n.变式训练已知 a12，an1an4，求 an.解：由 an1an4 依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来，anan14an1an24an2an34 a2a14ana1
10、4n1an24(n1)例例 2(教材本节例 1)活动：本例由学生自己完成，并通过本例边注中的提问，让学生进一步体会数列两种表示方法的特色，用递推公式写出数列的前几项后，引导学生观察、归纳并猜想该数列的通项公式，虽有一定难度，但学生应有这个能力教师可引导学生分析，如果不代入 a1的值，由依次计算的结果可能更容易看到 an与 n 的函数关系：a2；a3，a4，a5，an.a11a1a112a1a113a1a114a1a11n1a1232n变式训练已知数列an的递推公式是 an23an12an，且 a11，a23.求：(1)a5；(2)127 是这个数列中的第几项？解：(1)a11，a23，an23
11、an12an，a33a22a17，a43a32a215，a53a42a331.(2)由递推公式，可得 a63a52a463，a73a62a5127，127 是此数列的第 7 项例例 3(教材本节例 2)活动：本例为数列这一大节的最后一个教材例题，具有一定的综合性，难度较大要求学生有较坚实的数形结合基础和解题能力这种解题的综合能力，要努力去训练，学生才能掌握具体讲解时，可把 P1，P2，P3的坐标都写出来让学生观察发现 an与 an1间的关系变式训练在数列an中，a12，an1anln(1 )，则 an等于( )1nA2lnn B2(n1)lnnC2nlnn D1nlnn答案：答案：A解析：解析
12、：方法一，由 a2a1ln22ln2，排除 C、D；由 a3a2ln(1 )2ln3，排12除 B.故选 A.方法二，由已知，an1anln，a12，n1nanan1ln，an1an2ln，nn1n1n2a2a1ln ，21将以上 n1 个式子累加得ana1lnlnlnnn1n1n221ln( )lnn，nn1n1n221an2lnn.例例 4 如图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图乙所示的一连串直角三角形演化而成，其中 OA1A1A2A2A3A7A81，记OA1，OA2，OA3，OA7，OA8的长度所在的数列为ln(nN*,1n8)甲乙(1)写出数列的前 4 项；(2)
13、写出数列ln的一个递推关系式；(3)求ln的通项公式；(4)如果把图中的三角形继续作下去，那么 OA9，OA2 007的长度分别是多少？活动：本例虽然题干看起来很繁杂，但难度并不大，可让学生独立探究解决，学生充分理解题意后会很快完成第(1)问，关于递推公式，教师可点拨学生递推公式的关键是递推关系，也就是前项和后项的关系，这是递推公式的核心所在教师可借此进一步向学生点拨：数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式解：(1)l1OA11，l2OA2，l3
14、OA3，l4OA42.23(2)通过观察图形，可知：OAn1，OAn,1 组成直角三角形，而 OAn1ln1，OAnln.由勾股定理可得 ll 1(nN*,1n8)2n12 n(3)ln.n(4)OA9l93，OA2 0073.2 007223点评：递推关系在教材上的要求并不高，仅是明了递推公式是数列的一种表示方法，并能根据给出的数列递推公式写出其中的几项，对繁难复杂的递推公式，如 3 项或 2 项以上的递推公式不作要求Error!Error!1若数列an前 n 项的值各异，且 an8an对任意的 nN*都成立，则下列数列中可取遍an的前 8 项值的数列为( )Aa2n1 Ba3n1 Ca4n1 Da6n12已知 anan2an1(n3)，a11，a22，bn，则数列bn的前 4 项依次是anan1_答案：答案：1B 解析：解析：取 k0,1,2，8 验证，周期为 8.2前 4 项依次是 ， .12233558Error!Error!1先由学生自己总结归纳本节课所学到的数学知识，即数列的简单表示法：通项公式、列表法、图象法、简单的递推公式法探求和发展了数列的各项之间的关系及其规律，并用合适的表示法来表示这种规律2教师强调，通过例题进一步明确了数列的图象是一些离散的点，并通过实际例子探究出数列的递推公式由于教材内容对
