高中数学苏教版选修2-3教案： 2.1 随机变量及其概率分布

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1、2.12.1 随机变量及其概率分布教案随机变量及其概率分布教案 教学目标教学目标（1）在对具体问题的分析中，了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解取有限值的离散型随机变量及其概率分布的概念；（2）会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象的重要性；（3）感受社会生活中大量随机现象都存在着数量规律，培养辨证唯物主义世界观 教学重点，难点教学重点，难点（1）理解取有限值的随机变量及其分布列的概念；（2）初步掌握求解简单随机变量的概率分布教学过程教学过程一问题情境一问题情境在一块地里种下 10 棵树苗，成活的树苗棵数X是 0，1，10 中的某个数；抛掷一颗骰子，向上的点

2、数Y是 1，2，3，4，5，6 中的某一个数；新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女如果将男婴用 0 表示，女婴用 1 表示，那么抽查的结果Z是 0 和 1中的某个数；上述现象有哪些共同特点？二学生活动二学生活动上述现象中的X，Y，Z，实际上是把每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数，即在试验结果（样本点）与实数之间建立了一个映射例如，上面的植树问题中成活的树苗棵数X：0X ，表示成活 0 棵；1X ，表示成活 1 棵；三建构数学三建构数学1 1随机变量：随机变量：一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变随机变量量通常用大写拉丁字母X，Y，Z（或小

3、写希腊字母， ，）等表示，而用小写拉丁字母，y， （加上适当下标）等表示随机变量取的可能值如：上面新生婴儿的性别Z是一个随机变量，0Z ，表示新生婴儿是男婴；1Z ，表示新生婴儿是女婴例例 1 1 （1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用X表示掷得正面的次数，则随机变量X的可能取值有哪些？（2）一实验箱中装有标号为 1，2，3，3，4 的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为Y，则随机变量Y的可能取值有哪些？解解 （1）抛掷硬币是随机试验，结果有两种可能，一种是正面向上，另一种是反面向上，所以变量X的取值可能是 1（正面向上） ，也可能是 0（反面向上） ，故随机变量X的取值构成集合0，1（2

4、）根据条件可知，随机变量Y的可能值有 4 种，它的取值集合是1，2，3，4 说明说明：(1)引入了随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示(2) 在例 1（1）中，随机事件“掷一枚硬币，正面向上”可以用随机变量表示为1X ，随机事件“掷一枚硬币，反面向上”可以用随机变量表示为0X (3) 在例 1（2）中，也可用1Y ，2Y ，3Y ，4Y 分别表示取到 1 号、2 号、3 号和 4 号白鼠这 4 个随机事件另一方面，在例 1（2）中，可以用3Y 这样的记号表示“取到 1 号、2 号或 3 号白鼠”这件事情，也就是说，复杂的事件也可以用随机变量的取值来表示这样，我们就可以用随机事件发生的概率

5、来表示随机变量取值的概率了如例 1（1）中1X 的概率可以表示为1P X （） P 抛一枚硬币， 12正面向上，其中1P X （）常简记为1P X （）同理，0P X 1（）=2这一结果可用表 2-1-1 来描述X01P1 21 2例例 1 1（2）中随机变量Y所表示的随机事件发生的概率也可用表 2-1-2 来描述Y1234P1 51 52 51 5上面的两个表格分别给出了随机变量X，Y表示的随机事件的概率，描述了随机变量的分布规律2 2随机变量的概率分布：随机变量的概率分布：一般地，假定随机变量X有个不同的取值，它们分别是1x，2x，nx，且()iiP Xxp，1,2,in， 则称为随机变量

6、随机变量X的概率分布列的概率分布列，简称为X的分布列也可以将用表 2-1-3 的形式来表示X1x2xnxP1p2pnp我们将表 2-1-3 称为随机变量X的概率分布表它和都叫做随机变量X的概率分布3 3随机变量分布列的性质：随机变量分布列的性质：（1）0ip ； （2）121nppp四数学运用四数学运用1 1例题：例题：例例 2 2从装有 6 只白球和 4 只红球的口袋中任取一只球，用X表示“取到的白球个数” ，即1,0,X 当取到白球时，当取到红球时，求随机变量X的概率分布解解 由题意知42(0)645P X ，63(1)645P X ，故随机变量X的概率分布列为2(0)5P X ，3(1)

7、5P X ，概率分布表如下X01P2 53 5说明说明：1本题中，随机变量X只取两个可能值 0 和 1像这样的例子还有很多，如在射击中，只考虑“命中”与“不命中” ；对产品进行检验时，只关心“合格”与“不合格”等我们把这一类概率分布称为 0-10-1 分布或两点分布分布或两点分布，并记为X0-1 分布或X两点分布此处“”表示“服从” 2 2求随机变量求随机变量X的分布列的步骤：的分布列的步骤：（1）确定X的可能取值(1,2, )ix i ；（2）求出相应的概率()iiP Xxp；（3）列成表格的形式。例例 3 3 若随机变量X的分布列为：试求出常数cc 29c83解解：由随机变量分布列的性质可

8、知： 2293 8109103 81cccccc ，解得1 3c 。变式变式：设随机变量的分布列为1()(1,2,3,4)3k Pkak，求实数的值。 （41 40）例例 4 4 某班有学生 45 人，其中O型血的有 10 人，A型血的有 12 人，B型血的有 8 人，AB 型血的有 15 人，现抽 1 人，其血型为随机变量X，求X的分布列。解解：设O、A、B、AB四种血型分别编号为 1，2，3，4，则X的可能取值为1，2，3，4。则1 10 1 452(1)9CP XC，1 12 1 454(2)15CP XC，1 8 1 458(3)45CP XC，1 15 1 451(4)3CP XC。

9、故其分布表为X1234P2 94 158 451 32练习：课本第 48 页 练习第 1，2 题五回顾小结：五回顾小结：1随机变量的概念及 0-1 分布，随机变量性质的应用；2求随机变量X的分布列的步骤六课外作业：课本第六课外作业：课本第 5252 页页 习题习题 2 22 2 第第 1 1，3 3 题题七板书设计七板书设计课题： 一、定义、公式二、注意三、小结三、例题：例 1例 2例 3例 4四、课堂练习：1、2、八教后感八教后感第第 2 2 课时课时 随机变量及其概率分布（随机变量及其概率分布（2 2）教学目标教学目标（1）正确理解随机变量及其概率分布列的意义；（2）掌握某些较复杂的概率分

10、布列 教学重点，难点教学重点，难点 求解随机变量的概率分布教学过程教学过程一问题情境一问题情境1 1复习回顾：复习回顾：（1）随机变量及其概率分布的概念；（2）求概率分布的一般步骤2 2练习：练习：（1）写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果一袋中装有 5 只同样大小的白球，编号为 1，2，3，4，5现从该袋内随机取出 3 只球，被取出的球的最大号码数为X；盒中有 6 支白粉笔和 8 支红粉笔，从中任意取 3 支，其中所含白粉笔的支数X；从 4 张已编号（1 号4 号）的卡片中任意取出 2 张，被取出的卡片编号数之和X解解：X可取 3，4，5X3，表示取出的 3

11、 个球的编号为 1，2，3；X4，表示取出的 3 个球的编号为 1，2，4 或 1，3， 4 或 2，3，4；X5，表示取出的 3 个球的编号为1，2，5 或 1，3，5 或 1，4，5 或 2，3，5 或 2，4，5 或 3，4，5 X可取 0，1，2，3，X表示取出支白粉笔，i3支红粉笔，其中i0，1，2，3X可取 3，4，5，6，7X3 表示取出分别标有 1，2 的两张卡片；X4 表示取出分别标有 1，3 的两张卡片；X5 表示取出分别标有 1，4 或 2，3 的两张卡片；X6 表示取出分别标有 2，4 的两张卡片；X7 表示取出分别标有 3，4 的两张卡片（2）袋内有 5 个白球，6

12、个红球，从中摸出两球，记01X 两球全红两球非全红求X的分布列解解：显然X服从两点分布，2 6 2 113(0)11CP XC，则38(1)11111P X 所以X的分布列是:X01P3 118 11二数学运用二数学运用1 1例题：例题：例例 1 1 同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数求两颗骰子中出现的最大点数X的概率分布，并求X大于 2 小于 5 的概率(25)PX解解 依题意易知，掷两颗骰子出现的点数有 36 种等可能的情况：（1，1） ， （1，2） ，（1，3） ， （1，4） ， （1，5） ， （1，6） ， （2，1） ， （6，5） ， （6，6） 因而X的可能取

13、值为 1，2，3，4，5，6，详见下表X的值出现的点情况数1（1，1）12（2，2） ， （2，1） ， （1，2）33（3，3） ， （3，2） ， （3，1） ， （2，3） ， （1，3）54（4，4） ， （4，3） ， （4，2） ， （4，1） ， （3，4） ， （2，4） ， （1，4）75（5，5） ， （5，4） ， （5，3） ， （5，2） ， （5，1） ， （4，5） ， （3，5） ，（2，5） ， （1，5）96（6，6） ， （6，5） ， （6，4） ， （6，3） ， （6，2） ， （6，1） ， （5，6） ，（4，6） ， （3，6） ， （2，6）

14、 ， （1，6）11由古典概型可知X的概率分布如表 2-1-6 所示X123456P1 363 365 367 369 3611 36从而571(25)(3)(4)36363PXP XP X思考思考：在例 3 中，求两颗骰子出现最小点数Y的概率分布分析分析 类似与例 1，通过列表可知：11(1)36P Y ，9(2)36P Y ，7(3)36P Y ，5(4)36P Y ，3(5)36P Y ，1(6)36P Y 例例 2 2 从装有 6 个白球、4 个黑球和 2 个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢 2 元，而每取出一个白球输 1 元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变

15、量X可以取哪些值呢？求X的分布列解析解析：从箱中取出两个球的情形有以下六种：2 白，1 白 1 黄，1 白 1 黑，2 黄，1 黑 1 黄，2 黑当取到 2 白时，结果输 2 元，随机变量X2；当取到 1 白 1 黄时，输 1 元，随机变量X1；当取到 1 白 1 黑时，随机变量X1；当取到 2 黄时，X0；当取到 1 黑 1 黄时，X2；当取到 2 黑时，X4则X的可能取值为2，1，0，1，2，4225)2(2 122 6CCXP； 112) 1(2 121 21 6CCCXP；661)0(2 122 2CCXP； 114) 1(2 121 41 6CCCXP； 334)2(2 121 21 4CCCXP，111)4(2 122 4CCXP从而得到X的分布列如下：X210124225 112 661 114 334 111例例 3 3 袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为1 7，现在甲、乙两人