《高中数学（人教新课标b版）教学设计 必修一：2.1.1.1 变量与函数的概念 (设计者：高建勇)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学（人教新课标b版）教学设计 必修一：2.1.1.1 变量与函数的概念 (设计者：高建勇)（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、示范教案示范教案21.1.1 变量与函数的概念变量与函数的概念整整体体设设计计教学分析 在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关 系，同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围因此，课本采用了从 实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念 三维目标 1会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号 yf(x)的含义 2通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习 数学的兴趣和抽象概括能力 3启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出 问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数
2、学应用意识 4掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域，体会对应关系在刻画函数概 念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学生学习的积极性 重点难点 教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数 教学难点：符号“yf(x)”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理 解成对应关系，甚至认为函数就是函数值 课时安排 1 课时教教学学过过程程导入新课 思路 1.北京时间 2005 年 10 月 12 日 9 时整，万众瞩目的“神舟”六号飞船胜利发射升空， 5 天后圆满完成各项任务并顺利返回在“神舟”六号飞行期间，我们时刻关注“神舟”六号离 我们的距离
3、 y 随时间 t 是如何变化的，本节课就对这种变量关系进行定量的描述和研究，引 出课题 思路 2.问题：已知函数 yError!请用初中所学函数的定义来解释 y 与 x 的函数关系？学 生回答后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，引出课题 推进新课 Error!Error!1给出下列三种对应：幻灯片 一枚炮弹发射后，经过 26 s 落到地面击中目标.炮弹的射高为 845 m，且炮弹距地面的 高度 h单位：m随时间 t单位：s变化的规律是 h130t5t2. 时间 t 的变化范围是数集 At|0t26，h 的变化范围是数集 Bh|0h845，则有对 应 f：th130t5
4、t2，tA，hB. 近几十年来，大气层的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧洞问题下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积 S(单位：106 km2)随时间 t(单位：年)从 19792001 年的变化情 况根据图中的曲线可知时间 t 的变化范围是数集 At|1979t2001，臭氧层空洞面积 S 的变化范围是数集 BS|0S26，则有对应： f：tS，tA，SB. 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质 量越高下表中的恩格尔系数 y 随时间 t(年)变化的情况表明， “八五”计划以来，我国城镇居 民的生活质量发生了显著变化 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数
5、变化情况时间 t19911992199319941995199619971998199920002001恩格 尔 系数 y53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9根据上表，可知时间 t 的变化范围是数集 At|1991t2001，恩格尔系数 y 的变化范 围是数集 BS|37.9S53.8，则有对应：f：ty，tA，yB. 以上三个对应有什么共同特点？ (2)阅读教材上的三个例子，用集合的观点给出函数的定义 (3)如何检验给定两个变量之间是否具有函数关系？ (4)什么是区间？ (5)函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围”
6、的？ (6)函数有意义指什么？ (7)函数 f：AB 的值域为 C，那么集合 BC 吗？ 活动：活动：让学生认真思考三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本 质共性 讨论结果：(1)共同特点是：集合 A、B 都是数集，并且对于数集 A 中的每一个元素 x， 在对应关系 f：AB 下，在数集 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么我们称 y 是 x 的 函数，其中 x 是自变量，y 是因变量 (2)定义：设集合 A 是一个非空的数集，对 A 中的任意数 x，按照确定的法则 f，都有唯 一确定的数 y 与它对应，则这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数记作 yf(x)，xA.
7、其中 x叫做自变量，自变量取值的范围(数集 A)叫做这个函数的定义域 如果自变量取值 a，则由法则 f 确定的值 y 称为函数在 a 处的函数值，记作 yf(a)或 y|xa. 所有函数值构成的集合y|yf(x)，xA叫做这个函数的值域 函数 yf(x)也经常写作函数 f 或函数 f(x) 因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，所以确定一个函数就只需两个要 素：定义域和对应法则 (3)根据以上定义，我们要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验： 定义域和对应法则是否给出； 根据给出的对应法则，自变量 x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数 值 y. (4)在研究函
8、数时常会用到区间的概念，设 a，b 是两个实数，且 ab，如下表所示：定义名称符号数轴表示x|axb闭区间 x|axb开区间(a，b) x|axb半开半闭区间a，b) x|axb半开半闭区间(a，b x|xaa，) x|xa(a，) x|xa(，a x|xa(，a) R(，)(5)自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围 (6)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为 0，被开方数为非负数，如果函数有实际 意义时，那么还要满足实际取值，等等 (7)CB.Error!思路思路 1例例 1 1 已知函数 f(x)，x31x2(1)求函数的定义域；(2)求 f(3)，f( )的值；23(3)
9、当 a0 时，求 f(a)，f(a1)的值 活动：活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故转化为求使和有意义的自变量的取值范围；有意义，则x31x2x3x30，有意义，则 x20，转化为解由 x30 和 x20 组成的不等式组1x2(2)让学生回想 f(3)，f( )表示什么含义？f(3)表示自变量 x3 时对应的函数值，f(23)表示自变量 x 时对应的函数值分别将3， 代入函数的对应法则中得 f(3)，f( )的23232323值 (3)f(a)表示自变量 xa 时对应的函数值，f(a1)表示自变量 xa1 时对应的函数 值分别将 a，
10、a1 代入函数的对应法则中得 f(a)，f(a1)的值 解：(1)要使函数有意义，自变量 x 的取值需满足Error!解得3x2 或 x2，即函 数的定义域是2g(x)5 等 符号 yf(x)表示变量 y 是变量 x 的函数，它仅仅是函数符号，并不表示 y 等于 f 与 x 的 乘积；符号 f(x)与 f(m)既有区别又有联系，当 m 是变量时，函数 f(x)与函数 f(m)是同一个函 数；当 m 是常数时，f(m)表示自变量 xm 对应的函数值，是一个常量 已知函数的解析式求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围， 即 (1)如果 f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集
11、 R. (2)如果 f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 (3)如果 f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集 合 (4)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意 义的实数集合(即求各部分定义域的交集) (5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约.变式训练1求函数 f(x)的定义域1x1解：要使已知函数有意义，当且仅当 x10. 所以，这个函数的定义域是 x1 的所有实数，即(1，)2求函数 f(x)，xR，在 x0,1,2 处的函数值和值域1x21解：f(0)1，f(1)
12、 ，f(2) .1021112112122115容易看出，这个函数当 x0 时，函数取得最大值 1，当自变量 x 的绝对值逐渐变大时，函 数值逐渐变小并趋向于 0，但永远不会等于 0.于是可知这个函数的值域为集合y|y，xR(0,1.1x21例例 2 2 (1)已知函数 f(x)x2，求 f(x1)； (2)已知函数 f(x1)x2，求 f(x) 分析：(1)函数 f(x)x2，即 xx2，表示自变量通过“平方运算”得到它的函数值，与我们 选择什么符号表达自变量没有关系函数 yy2，tt2，uu2，都表示同一个函数关 系同样自变量换为一个代数式，如 x1，平方后对应的函数值就是(x1)2.这里
13、 f(x1)表 示自变量变换后得到的新函数 (2)为了找出函数 yf(x)的对应法则，我们需要用 x1 来表示 x2. 解：(1)f(x1)(x1)2x22x1； (2)因为 f(x1)x2(x1)22(x1)1，所以 f(t)t22t1，即 f(x)x22x1. 点评：已知 f(x)求 f(g(x)，用 g(x)替换 f(x)中的 x，即可得 f(g(x)；已知 f(g(x)，求 f(x)， 利用配凑法求解还可利用换元法例如(2)另解：设 x1t，则 xt1，f(t)(t1)2t22t1，f(x)x22x1.变式训练1已知 f(x)x ，求 f(x2x)1x答案：答案：f(x2x)x2x.1
14、x2x2已知 f(x1)x2x1，求 f(x) 答案：答案：f(x)x23x3.思路思路 2例例 1 1 已知函数 f(x)，那么 f(1)f(2)f( )f(3)f( )f(4)f( )_.x21x2121314活动：活动：观察所求式子的特点，引导学生探讨 f(a)f( )的值1a解法一：原式1211222122(f(1,2)21(f(1,2)232132(f(1,3)21(f(1,3)242142 (f(1,4)21(f(1,4)2 .124515910110161711772解法二：由题意得 f(x)f( )1，1xx21x2(f(1,x)21(f(1,x)2x21x211x2则原式 1
15、11 .1272点评：本题主要考查对函数符号 f(x)的理解对于符号 f(x)，当 x 是一个具体的数值时， 相应地 f(x)也是一个具体的函数值本题没有求代数式中的各个函数值，而是看到代数式中含有 f(x)f( )，故先探讨 f(x)f( )的值，从而使问题简单地获解求含有多个函数符号的1x1x代数式值时，通常不是求出每个函数值，而是观察这个代数式的特点，找到规律再求解 受思维定势的影响，本题很容易想到求出每个函数值来求解，虽然可行，但是这样会浪 费时间，得不偿失其原因是解题前没有观察思考，没有注意经验的积累.变式训练1已知 a、bN，f(ab)f(a)f(b)，f(1)2，则_.f(2)f(1)f(3)f(2)f(2 007)f(2 006)解析：解析：令 ax，b1(xN)， 则有 f
