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1、高中数学知识要点重温（9）平面向量的概念及运算1向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线） ，首尾相接适用“蛇形法则” （ nnnAAAAAAAAAA11433221） ，)(21 ACAB表示ABC 的边 BC 的中线。向量减法的几何意义：起点相同适用三角形法则， （终点连结而成的向量，指向被减向量） ，| AB|表示 A、B 两点间的距离；以a、b为邻边的平行四边形的两条对角线长分别为|a+b|、|a-b|。G是ABC的重心 0GCGBGA。会用“模不等式”：|a|-|b|ba |a|+|b|解决有关模的范围问题，关注等号成立的条件。 举例 1 已知ABC 的三个顶点 A、
2、B、C 及其所在平面内一点 P，满足PA+PB+PC=AB，则点 P 与ABC 的关系为： A. P 在ABC 内部 B. P 在ABC 外部 C. P 在边 AB 所在的直线上 D. P 是 AC 边的一个三等分点解析：由PA+PB+PC=ABPA+PC=AB+BPPA+PC=APPC=-2PAP 与 A、C 共线且为线段 AC 的三等分点，选 D。举例 2已知a=（3，4） ，|ba =1，则|b|的取值范围是_解析：思路一：用“模不等式” |ba |a|-|b|5-|b|1|b|4，6。思路二：记a=OA，b=OB，则 A（3，4） ，|ba =|BA|=1，即点 B 到定点 A 的距离
3、为1，点 B 在以 A 为圆心，1 为半径的圆周上，数形结合不难得到|OB|4，6，即|b|4，6。巩固 已知ABC，若对任意 tR，| BCtBA| AC|，则AA=900 BB=900 CC=900 DD=900迁移已知向量OB=（2，0） ，向量OC=（2，2） ，向量CA=（2cos,2sin） ，则向量OA与向量OB的夹角范围为：(A) 0,4 (B) 4,125 (C) 125,2 (D) 12,1252.在a0 时，ab(即a、b共线)存在实常数使b=a（特别地：当0 时同向，当0表示BAC 的平分线。举例设a、b是两个起点相同且不共线的非零向量，则当实数 t=_时，a,tb,3
4、1(a+b)三向量的终点共线解析：记a=OA，tb=OB，31(a+b)=OC，A、B、C 三点共线即向量AB、AC共线存在实数，使得AB=AC即：tb-a=（31b-32a） ，a、b不共线（很重要！）t=3且 1=32 t=21。注意：若a、b不共线的非零向量，且 ma+nb=pa+qb则：M=n 且 p=q(m,n,p,q 是实数)，读者可以思考一下为什么？巩固非零向量a=（sin,1）, b=(0,cos),a-b所在的直线的倾角为， （1）若a与b共线，求的值；（2）当（0，）时，求证：=/2 。迁移O是平面上一定点，ABC、是平面上不共线的三个点，动点P满足： OP= OA+),
5、sin|sin|( CACACBABAB则 P 点的轨迹一定通过ABC 的的轨迹一定通过ABC 的（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心3向量的数量积：bababa,cos|（符号运算） ；其中 bab,cos|可视为向量 b在向量 a上的射影。向量的数量积是数而不是向量，向量的射影是数而未必是正数。 。向量的数量积满足交换率、对加（减）法的分配率、不满足不满足结合率，即（ab）c a（bc ） ，一个等式的两边、一个分式的分子分母不能同乘以或同除以一个向量。若a=（x1,y1）, b=(x2,y2),则ab= x1 x2+y1 y2（坐标运算）;在使用向量数量积的公式时，要根据题目的条件和
6、设问特点选择使用符号运算还是坐标运算。应用应用：（1）角度： |,cos bababa且, 0,ba； ba,cos可视为与a、b同向的两个单位向量的数量积；为锐角 a b0 且a、b不共线，为锐角a b0 且a、b不共线；特别地特别地：baba0x1 x2+y1 y2=0；O 是ABC 的垂心 OA OB= OB OC= OC OA（请读者证明这个结论） 。（2）长度：aaa | 即a2=（a）2（符号运算） ；a2=x12+y12 （坐标运算） 。ab |a-b|=|a+b|（矩形） ， （a-b）（a+b）|a|=|b|（菱形） ，|a-b|2+|a+b|2=2（|a|2+|b|2） （
7、即平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，对已知三角形三边长求中线长的问题用这个结论很快捷） 。举例 1已知a=（1，0） ，b=（0，1） ，求使向量a+kb与向量b+2ka的夹角为锐角的 k 的取值范围。解析：a+kb=（1，k） ，b+2ka=（2k，1） ，向量a+kb与向量b+2ka的夹角为锐角（a+kb） （b+2ka）0,且a+kb与b+2ka不共线，即 2k+k0 且 2k21 得：k0,且 k22。举例 2已知向量a（cos23x，sin23x） ，b（cos2x，sin2x） ，且 x2，23.(1) 求ba及|a+b|；（II）求函数 f(x)ba-ba 的最小值。解
8、析：（）ba= cos23xcos2xsin23xsin2x=cos2x （坐标运算）,ba =xbbaa2cos22)(2)(22= 2cosx（符号运算） ；（）f(x)= cos2x +2cosx =2 cos2x+2cosx1=2（cosx+21）223， cosx-1，0当 cosx =0 时 f(x)取得最小值23。巩固 1已知aba, 2| , 3|与b的夹角为 60，如果)()53(bamba，则 m 的值为（ ）A.2332B.4223C.4229D.3242巩固 2 已知OFQ的面积为S，且1FQOF，(1)若21S2,求向量OF与FQ的夹角 的取值范围； (2）设|OF|
9、=)2( ,cc，S =c43，若以O为中心，F 为焦点的椭圆经过点 Q，当|OQ|取得最小值时，求此椭圆的方程迁移 已知非零向量AB 与AC 满足().0ABACBC ABAC 且12ABACABAC 则ABC为（ ）（A）等边三角形（B）直角三角形 （C）等腰非等边三角形 （D）三边均不相等的三角形Oxy6004关注平面向量基本定理中的关键词：1e、2e不共线不共线有且仅有有且仅有一对实数1、2。举例 设同一平面内的两向量 a、 b不共线， c是该平面内的任一向量，则关于 x 的方程 ax2+ bx+ c= 0的解的情况，下列叙述正确的是：（ ）A至少有一个实数解 B至多有一个实数解 C有
10、且只有一个实数解 D可能有无数个解解析：此题不可用“判别式” ， “判别式”只能判别实实系数一元二次方程的根的情况，而本题中二次方程的系数是向量向量。原方程即： c=- x2 a- x b， a、 b不共线，可视为“基底” ，根据平面向量基本定理知，有且仅有一对实数1、2使得1= - x2且2= - x，即当1= -22时方程有一解，否则方程无解，故选 B。QU巩固已知AD、BE分别是ABC 的边 BC、AC 上的中线，且AD= a，BE= b，则BC可以用向量 a、 b表示为 。迁移如图，在平面斜坐标系xOy中，xOy=600，平面上任一点 P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP=x1
11、e+y2e，其中1e、2e分别为与 x 轴、y 轴同方向的单位向量，则 P 点的斜坐标为(x,y).（1）若点 P 的斜坐标为（2，-2） ，求 P 到 O 的距离|PO|；（2）求以 O 为圆心、1 为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。简答简答1巩固记：/BCBCt（B、C、C/共线） ，则 BCtBA=AC/|AC/| AC|即对直线 BC 上任意一点 C/都有|A C/|AC|AC BC，故选 C；迁移 |CA|=2，A 点在以 C为圆心，2为半径的圆上，图示，选 D， 2、巩固（1）k， （2）a-b= （sin,1-cos）,tan= sincos1=tan2,2(0,2);迁移记A
12、BC 中 BC 边上的高为h，则|AB|sinB=|AC|sinC=h, OP= OA+h(AB+AC),记 BC 的中点为 M, OP= OA+2hAM,选 C；3、 巩固 1C，巩固 2 （1）, 4arctan4（2）以OF为 x 轴正向，O 为原点建系，OF=（c,0),记 Q(x0,y0), FQ=(x0-c,y0),则：c(x0-c )=1,且21c|y0|=c43,得：x0=cc1,|y0|=23,|OQ|2=27122cc记：t=2c,(t4),g(t)=tt1在4，)递增，当 t=4 即 c=2，x0=25时，|OQ|最小，此时 Q（25，23） ，Q 在椭圆上且 c=2，求得椭圆方程：161022 yx； 迁移 (|ABAC ABAC )=0，即角 A 的平分线垂直于 BC， AB=AC，又BCcos A | |ABAC ABAC = A=3，所以ABC 为等边三角形，选 A。124.巩固ba34 32，迁移（1）2， （2）x2+y2+xy-1=0w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
