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1、AOxy高中数学知识要点重温（13）直线及线性规划1直线的倾斜角的范围：0，)，x 轴及平行于 x 轴的直线倾斜角是 0 而不是；y 轴及平行于 y 轴的直线的倾斜角为2而不是没有倾斜角（只是斜率不存在） ；已知斜率（的范围）会求倾斜角（的范围） ，记住：当倾斜角 是锐角时，斜率 k 与 同增同减，当 是钝角时，k 与 也同增同减。斜率的求法：依据直线方程依据倾斜角依据两点的坐标方向向量（以a=（m,n） （m0）为方向向量的直线的斜率为mn） 。关注斜率在求一类分式函数值域时的运用。举例 1已知两点 A(1，5)，B(3，2)，直线 l 的倾斜角是直线 倾斜角的一半，则直线 l 的斜率为：
2、解析：记直线 l 的倾斜角为，则直线 AB 的倾斜角为 2，其斜率 tan2=4343 tan1tan22tan=-3 或 tan=31而由 tan2=430 得 2是锐角，则（0，4） ，tan=31。举例 2 函数 CosSiny31的值域为 。解析：记 P（cos,sin）,A(-3,1)则 y=kPA，P 点的轨迹是圆心为原点的单位圆，如右图：当直线 PA 与圆相切时，其斜率分别为 0 和 43，y=kPA 43，0。注：这里存在一个 kPA在 0 与43“之间”还是“之外”的问题，原则是其间是否有斜率不存在的情况，若有则在“之外” ，若无则在“之间” 。巩固 1 已知直线l：02co
3、s yx则l倾斜角的范围是： 。巩固 2实数 x,y 满足24, 012222 xyyxyx则的取值范围为（ ）A),34B34, 0C34,(D)0 ,34迁移 点 P 是曲线323xxy上的动点，设点 P 处切线的倾斜角为，则的取值范围是 A、 2, 0B、 ,43 2, 0 C、 ,43D、 43,22 “点斜式”是直线方程的最基本形式，是其它各种形式的源头，但它不能表示斜率不存在的直线；解决“直线过定点”的问题多用“点斜式” 。 “斜截式”最能体现直线的函数性质（一次函数，一次项系数是斜率） ， “斜截式”中所含的参数最少（2 个，而其它各种形式中都是 3 个） ，所以用待定系数法求直
4、线方程时多设为“斜截式” ，它也不能表示斜率不存在的直线。“截距式”最能反映直线与坐标轴的位置关系；注意：截距是坐标而不是距离；在两坐标轴上截距相等的直线斜率为-1 或过原点过原点；“截距式”不能表示斜率为 0、斜率不存在以及过原点的直线。 “两点式”完全可以由“点斜式”替代， “两点式”不能表示斜率为 0 和斜率不存在的直线，但它的变形（“积式” ）：)()(112112xxyyyyxx却能表示所有的直线。 “一般式”能表示所有的直线，它是直线方程的“终极”形式。举例已知直线l：kx+y-k+2=0 和两点 A（3，0） ，B（0，1） ，下列命题正确的是 （填上所有正确命题的序号） 。直线
5、l对任意实数 k 恒过点 P（1，-2） ；方程 kx+y-k+2=0 可以表示所有过点 P（1，-2）的直线；当 k=1 及 k=2 时直线l在坐标轴上的截距相等；若1300 yx，则直线) 1)(2()2)(1(00xyyx与直线 AB 及直线l都有公共点；使得直线l与线段 AB 有公共点的 k 的范围是-3，1；使得直线l与线段 AB 有公共点的 k 的范围是(，-31，)。解析：直线l：y +2= - k（x -1）恒过 P（1，-2） ，方程 kx+y-k+2=0 不能表示直线x=1，当 k= -1 时直线l在坐标轴上的截距相反；若1300 yx，则点 M（x0,y0）在直线AB 上
6、（截距式） ，又点 P（1，-2）在直线l，而直线) 1)(2()2)(1(00xyyx过点M，P（两点式） ，即与直线 AB 有公共点 M，与直线l有公共点 P；直线l与线段 AB 有公共点，不宜先解方程组再解不等式组（麻烦） ，数形结合易见，直线l应在直线 PA 到 PB 之间，而其间有斜率不存在的位置，故命题正确。巩固已知圆 C：x2+(y-2)2=1，则在坐标轴上的截距相等且与圆相切的直线有 条？迁移 对任意实数 m，直线（m+2）x-(2m-1)y-(3m-4)=0 和椭圆1922 myx恒有公共点，则 m 的取值范围是 。3.“到角”的范围：（0，） ， “到角公式”就是两角差的正
7、切公式，多用于解决与角平分线有关的问题；“夹角”的范围：（0，2。两直线1l：A1x+B1y+C1=0,2l：A2x+B2y+C2=0 平行、垂直的条件有“比”和“积”两种形式（重合只有“比式” ） ，如：1l2lA1A2+B1B2=0，若1l、2l不重合，则1l2lA1B2=A2B1；判断两直线位置关系时要特别注意斜率不存在及斜率为 0 的情形。举例 1直线1l：x=1 到直线2l：2x+y+1=0 的角是： （ ）Aarctan2, Barctan21C- arctan2 D arctan(-21)解析：记直线1l到2l的角为，直线2l的倾斜角为，作图可见=-2，tan=-cot=21,故
8、选 B。举例 2已知 P（x0,y0）是直线l：f(x,y)=0 外一点，则直线 f(x,y)+f（x0,y0）=0 与直线l的位置关系是 ； 设 a、b、c 分别是ABC 中角 A、B、C 的对边，则直线:0sincayAx与直线0sinsinCBybx的位置关系是 。解析：方程 f(x,y)=0 与 f(x,y)+f（x0,y0）=0 两变量的系数完全相同，而 f（x0,y0）0，即常数项不同，故平行；由正弦定理知：0sinsinBaAb，故垂直。巩固已知直线 l1的方程为 y=x，直线 l2的方程为 y=ax+b(a,b 为实数)，当直线 l1与 l2夹角的范围为0，12)时，a 的取值
9、范围是：A.(33,1)(1,3)，B.(0，1) ， C.(33,3) ， D.(1,3)迁移直线012yax与直线0312byxa互相垂直，,Rba则|ab的最小值是：A1B2C4D5 （ ）4点到直线的距离公式在求三角形的面积、判断直线与圆的位置关系、求圆的弦长、解决与圆锥曲线的第二定义有关的问题等场合均有运用，推导两平行线间的距离公式也是它的一个运用。举例 已知 5x12y60，则xy22的最小值是:A. 60 13B. 13 5C. 13 12D. 1解析：xy22表示直线l：5x12y60 上的动点到原点的距离，其最小值即原点到直线l的距离，选 A。注：此题若代入消元、配方求最值则
10、很麻烦。巩固直线l过点（1，0） ，且被两平行直线 3x+y-6=0 和 3x+y+3=0 所截得的线段长为 9，则直线l的方程为 。迁移 若动点 P（x,y）满足|x+2y-3|=22)2() 1(yx，则 P 点的轨迹是：A圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线提高若 a、b、c 为实数，恒存在实数 x,y,使得 ay-bx=c22)()(byax0,则a、b、c 满足: A.c2a2+b2 B.c2a2+b2 C.c20(a0)所表示的区域为直线 ax+by+c=0 的右侧，不等式 ax+by+c0)所表示的区域为直线 ax+by+c=0 的左侧；a0 时情况相反。也可以说：不等式ax+b
11、y+c0(b0)所表示的区域为直线 ax+by+c=0 的上方，不等式 ax+by+c0)所表示的区域为直线 ax+by+c=0 的下方；b0 时情况相反。目标函数 z=mx+ny(m0)在“可行域”D 内的最值：令 mx+ny=0, 在“可行域”D 内平移直线 mx+ny=0 使之位于最左侧，此时 z 取得最小值; 位于最右侧，此时 z 取得最大值;m0), 也可以说：在“可行域”D 内平移直线 mx+ny=0 使之位于最下方，此时 z 取得最小值; 位于最上方，此时z 取得最大值;n0)取得最小值的最优解有无穷多个, 求 a 的值。解析：要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，令 ax+
12、y=0 并平移使之与过点 C（34,32） （可行域中最左侧的点）的边界重合即可，注意到 a0，只能和 AC 重合，a=1举例 2已知点 P(3,-1)和 Q(-1,2)，直线l：ax+2y-1=0 与线段 PQ 有公共点，则实数 a 的取值范围为：A.1a3 B.a1 或 a3 C.a1 D.a3解析：本题可参照“3举例”的做法，确定直线l的斜率的范围。现在用不等式所表示的区域解决：直线l与线段 PQ 有公共点即点 P、Q 在直线l的两侧或在直线l上，记：f (x,y)= ax+2y-1,则 f(3,-1)f(-1,2) 0,解得：a1 或 a3，选 B。 “3举例”也可照此办理。巩固 1
13、已知 x,y 满足约束条件：2x-y0,x+y-20,6x+3y18,且 z=ax+y 取得最大值的最优解恰为（23,3） ，则 a 的取值范围是 。巩固 2点（-2，t）在直线 2x-3y+6=0 的上方，则 t 的取值范围是 。迁移 双曲线 x2-y2=1 右支上一点 P（a,b）到直线 y=x 的距离为2，则 a+b 的值是( ) A. -21B. 21C. -21或21D.2 或217关注“线性规划”问题的各种“变式”：“可行域”由不等式和方程共同确定（为线段或射线） ，“约束条件”由二次方程的“区间根”间接提供，“约束条件”非线性，目标函数非线性，如：byax （斜率） ，22)()
14、(byax（距离）等。举例 实系数方程022baxx的一个根大于 0 且小于 1，另一个根大于 1 且小于 2，则12 ab的取值范围是 解析：)(xf=baxx22，数形结合容易得到使实系数方程022baxx的两根分别在(0，1)和(1，2)内当且仅当：A0)2(0) 1 (0)0(fff 02240210babab点 P（a，b）的可行域如右，记 A（1，2） ，线段 PA 的斜率为PAk，PAk=12 ab41,1。巩固 若 x,y 满足:x+y-30,x-y+1=0,3x-y-50,设 y=kx,则 k 的取值范围是_JeW提高 已知不等式 ax2+bx+a0)的解集是空集，则 a2+b2-2b 的取值范围是 。简答简答1巩固 14, 0),43，巩固 2A，迁移B；2 2、巩固3，迁移), 9()9 ,29(U；3、巩固C， 迁移B；4、巩固4x+3y-4=0 或 x=1；迁移将条件变形为：55|32|)2() 1(22 yxyx，由圆锥曲线的统一定义知 P 点轨迹为双曲线；提高 将条件变形为：22)()(byaxc
