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1、高中数学知识要点重温（5）等差、等比数列1公差不为 0 的等差数列的通项是关于 n 的一次函数，一次项系数是公差；前 n 项和是关于 n 的二次函数，二次项系数是公差之半且常数项为 0；即等差数列na中，na=dn+b（d为公差，nN） ，cnndSn2 2（nN ） 。证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：an-an-1=常数(1nn aa=常数) （)2n，也可以证明连续三项成等差（比）数列。举例 na、nb都是各项为正的数列，对任意的Nn，都有na、2 nb、1na成等差数列，2 nb、1na、2 1nb成等比数列.试问nb是否为等差数列，为什么？解析：
2、由2 1na=2 nb2 1nb得1na=nb1nb，于是na=1nbnb（)2n，又 22 nb=na+1na，22 nb=nb1nb+1nbnb（)2n，即 2nb=1nb+1nb（)2n，数列nb是等差数列。注意：当用定义证明等差（比）数列受阻时，别忘了这“一招”！上述思路的关键是由“1na=nb1nb”到“na=1nbnb（)2n”的过渡，即所谓“升降标”，这也是处理数列问题的一个通法。巩固已知等差数列na的前n项和为nS，且55,1052SS，则过两点),(nSnPn、)2, 2(2 nSnQn的直线的斜率为：(A)4 (B)3 (C) 2 (D)1迁移公差非零的等差数列 na中，前
3、 n 项之和为nS，则数列,21SSnS中 A不存在等于零的项B最多有一项等于零C最多有 2 项等于零 D可有 2 项以上等于零2. 等差数列an中，m+n=p+q，则 am+an=ap+aq，等比数列an中，m+n=p+q，则aman=apaq（m、n、p、qnN ）；等差（等比）数列中简化运算的技巧多源于这条性质。举例 1在等差数列 na中，972aaa为常数，则其前（ ）项和也为常数（A）6 （B）7 （C）11 （D）12 解析：等差数列 na的前 k 项和为常数即kaa 1为常数，而972aaa=36a为常数，26a=111aa 为常数，即前 11 项和为常数，选 C。注意：千万不要
4、以为972aaa=18a=171aa ，那就大错特错了！所谓“下标和相等则对应项的和相等”，是指两项和等于两项和，三项和等于三项和。等差数列中“n 项和”与“两项和（转化为 a1+an） ”有关，某一项或某几项和均需转化为“两项和”才能与“n 项和”联系起来。举例 2等比数列na中，a4+a6=3，则 a5（a3+2a5+a7）= 解析：a5（a3+2a5+a7）=a5a3+2a52+a5a7=a42+2a4a6+a62=(a4+a6)2=9巩固 在正项的等差数列na和正项的等比数列nb中，有11ba ，1212kkba，试比较ka与kb的大小。迁移 等比数列na中，2a、98a是方程032
5、mxx（0m）的两根，则50a= 若把条件中的“0m”换成“0m”呢？若把条件中的“2a、98a”换成“1a、99a”呢？提高 在等差数列 na中，前 n 项之和为nS,已知 S5=25,Sn=64,Sn-5=9,则 n=_3等差数列前 n 项和、次 n 项和、再后 n 项和（即连续相等项的和）仍成等差数列；等比数列前 n 项和（和不为 0） 、次 n 项和、再后 n 项和仍成等比数列。举例 1在等比数列 na中，S2 =40，S4 =60，则 S6等于 ( )A 10 B 70 C 80 D 90解析：在等比数列 na中，第一个两项和为 40，第二个两项和为 20（注意：S4是前 4 项和，
6、不是两项和） ，则第三个两项和为 10，S6为三个两项和相加，选 B。举例 2 在等差数列 na中，前 n 项之和为nS,已知 S3=4，S18-S15=12，则 S18= 解析：在等差数列 na中，第一个三项和为 4，第六个三项和为 12，S18即首项为 4，末项为 12 的等差数列的 6 项和，为 48。巩固在等差数列an中,其前 n 项和为 Sn,已知 S5=2-b,S10=4-b,则 S15=_4. 等差数列当首项 a10 且公差 d0 时，前 n 项和存在最小值。 类似地确定 n 值，即可求得 sn的最小值；也可视 sn为关于 n 的二次函数，通过配方求最值；还可以利用二次函数的图象
7、来求。举例 设等差数列 na满足 3 a8=5a13，且 a10，则 na的前_项和最大解析：思路一：由 3 a8=5a13得：d=392a1,若前 n 项和最大，则 03920) 1(3921111naaana ，又 a10 得：241 239 n，n=20,即 na的前 20 项和最大。这一做法最通行。思路二：Sn=na1+21n(n-1)d=na1-391n(n-1)a1=-391a1(n2-40n),当且仅当 n=20 时 Sn最大。这一做法突显了数列的函数特征。思路三：由 3 a8=5a13得 15a8=25a13,即 S15=S25,又a10，Sn的图象是开口向下的抛物线上的点列，
8、对称轴恰为 n=20，故 n=20 时 Sn最大。这一做法中几乎没有运算，但设计太过“精妙”，非对等差数列的性质融会贯通而不能为，仅供欣赏。巩固 数列 na是等差数列，nS是其前 n 项和，且 S5S6，S6=S7S8，则下列结论错误的是：A.d 0 B.a7=0 C.S9S5 D. S6 ,S7均为nS的最大值 （ ）迁移 在等差数列|,|, 0, 0,910109aaaaan且中则在前 n 项和 Sn中最大的负数为AS16BS17CS18DS19 （ ） 5.注意：等比数列求和公式是一个分段函数分段函数 na1 (q=1)Sn= ) 1(1)1 (1qqqan则涉及到等比数列求和时若公比不
9、是具体数值须分类讨论解题。 举例已知等比数列 na的公比为 q，前 n 项和为 Sn，且 S3 ，S9 ，S6 成等差数列，求 q3的值。解析：不可直接用等比数列的求和公式，需讨论：若 q=1，S3=3a1 ，S9=9a1，S6=6a1,则有：18a1=3a1+6a1, 则 a1=0, 与 na是等比数列矛盾，q1，于是有：qqa qqa qqa 1)1 ( 1)1 ( 1)1 (26 13 19 1，化简得：0) 1)(12(333qqq，213q。本题还可以用：第一个三项和、第二个三项和、第三个三项和成等比数列解决，留读者自己完成。巩固已知 an=1+r+r2+r3+rn-1，则数列 na
10、的前 n 项和nS=_6.解等差（比）数列有关通项、求和问题时别忘了“基本元”，即把问题转化为首项 a1，公差d（或公比 q）的方程（组）或不等式（组）去处理。已知等差或等比数列中的任两项也可用 am-an=(m-n)d，或nm aa=qm-n。举例 1 等差数列 na的前 n 项和 Sn，若 S3=9，S13=26 求 S23的值。 解析：用求和公式解方程组，求出 a1,d,再代入求和公式中求 S23，这是通法。也可简化为：S3=3a2=9a2=3，S13=13a7=26a7=2, a12= 1(a2、a7、a12成等差数列)，S23=23a12=23。举例 2已知等差数列an中，a3与 a
11、5的等差中项等于 2，又 a4与 a6的等比中项等于 6，则a10等于 (A) 54 (B) 50 (C) 26 (D) 16 解析：a3与 a5的等差中项等于 2，即 a4=2；a4与 a6的等比中项等于 6，即 a6=18；于是 2d=16,a10= a6+4d=50,选 B。巩固已知等差数列an的首项 a1=120，公差 d=4，若 Snan(n1)，则 n 的最小值为 （A）61 （B）62 （C）63 （D）70迁移等差数列an中若 am=n，an=m 且 mn 求证：am+n=0；uXx简答简答1. 巩固C，迁移视 Sn为关于 n 的二次函数，其图象是经过原点的抛物线上的点，故选B，2. 巩固ka=2121kaa=2121kbb121kbb=kb，迁移等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号也相同；-3 ，3，3 ，提高 Sn-Sn-5=an+an-1+an-2+an-3+an-4=55,与 a1+a2+a3+a4+a5=25 两式相加得 5（a1+an）=80,得n=8，3.巩固6； 4. 巩固 C, 迁移B，5. 举例-21，巩固nS ) 1( ,)1 (1 1) 1( ,2) 1(2rrr rnrnnn6. 巩固B，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
