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1、高中知识要点重温（2）函数的概念、图象、性质1.一条曲线是函数图象的必要条件是：图象与平行于 y 轴的直线至多至多只有一个交点。一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域须一一对应，反应在图象上平行于 X 轴的直线与图象至多至多有一个交点。单调函数必存在反函数吗？（是的,任何函数在它的一个单调区间内总有反函数） ；举例函数 f(x)=x2-tx+2 在1,2上有反函数，则 t 的一切可取值的范围是_解析：对于“连续”函数而言，函数有反函数即单调；f(x)=x2-tx+2 在1,2上单调即区间1,2在对称轴 x=2t的一侧，2t2 或2t1，即t2 或 t4。2.求一个函数的反函数必须标明反函
2、数的定义域，即要求出原函数的值域。求反函数的表达式的过程就是解（关于 x 的）方程的过程。注意：x=f-1(y)一定是唯一的。举例 函数, 1,11lnxxxy的反函数为（A） , 0, 11x eeyxx（B） , 0, 11x eeyxx（C）0 , 11 x eeyxx（D）0 , 11 x eeyxx解析： , 1x，11 xx=1+12 x1（关注分离常数） ，11lnxxy（0，+）又由11lnxxy得11 xx=ye，不难解出11 yyeex，yx,互换后得 , 0, 11x eeyxx（互换是“全面”的，表达式上换，定义域、值域也要换）故选 B。3.原函数的定义域是反函数的值域
3、，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函数的图象关于 y=x 对称；若函数 y=f(x)的定义域为 A，值域为 C，aA,bC,f f-1(b)=b; f-1f(a)=a 举例 1 已知函数 axxf1)(的反函数)(1xf的图象的对称中心是（0，2） ，则 a=_ 解析：原函数 axxf1)(是有反比例函数（奇函数）平移而来，其图象关于（a,0）对称，它的反函数)(1xf的图象应关于（0，a）对称，即 a=2举例 2已知 f(x)=x2+2x+3,(x-1),则 f-1(3)= 。解析：此题不宜求反函数（麻烦） ，注意到 3 是反函数 y=f-1(x)的自变量，就是原函数 y=f(x)的
4、函数值，令 x2+2x+3=3，得 x=0 或 x=-2,又 x-1，x=0，此即反函数的函数值 f-1(3)（原函数的自变量） 。迁移已知 f(x)=2sinxcosx+23cos2x-3,x12,2,求 f-1(1)的值。4.奇函数对定义域内的任意任意x 满足 f(-x)+f(x)=0;偶函数对定义域内的任意任意x 满足 f(-x)-f(x)=0;注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于 x 的恒等式恒等式而不是方程。若函数 f(x)是奇函数或偶函数，则 f(x)定义域必关于原点对称；反之，函数定义域不关于原点对称，该函数既非奇函数也非偶函数。若 f(x)是奇函数且 f(0)存在，则
5、 f(0)=0；反之不然。反之不然。举例函数 f(x)= loga|x-b|是偶函数的充要条件为 解析：思路一：函数 f(x)=loga|x-b|是由偶函数 y=loga|x|平移所得，函数 f(x)=loga|x-b|的图象关于直线 x=b 对称，而它自身又是偶函数，图象又关于 y 轴(x=0)对称，b=0。思路二：f(x)=loga|x-b|是偶函数则 loga|-x-b|= loga|x-b|恒成立,即|x+b|=|x-b|恒成立，b=0。巩固 设 f(x)=lg(10x+1)+ax 是偶函数,g(x)=xxb 24 是奇函数,那么 a+b 的值为（ ） A.1 B.-1 C.-21D.
6、 215. 偶函数图象关于 y 轴对称，推广：函数 f(x)对定义域内的任意 x 都有 f(a-x)=f(a+x) 函数 f(x)的图象关于 x=a 对称，再推广： 函数 f(x)对定义域内的任意 x 都有 f(a+x)=f(b-x)，f(x)的图象关于 x=2ba 对称。奇函数图象关于原点对称,关推广：函数 f(x)对定义域内的任意 x 都有 f(a-x)=-f(a+x) 函数 f(x)的图象关于（a,0）对称。注意：两个函数图象之间的对称问题不同于函数自身的对称问题。函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 的对称曲线是函数 y=f(2a-x)的图象，函数 y=f(x)的图象关于点（ a
7、，0）的对称曲线是函数 y=-f(2a-x)的图象。 ，举例 1 若函数 y=f(x-1)是偶函数，则 y=f(x)的图象关于 对称解析：思路一：y=f(x-1)是偶函数，其图象关于 y 轴对称，向左平移 1 个单位后得到函数y=f(x)的图象，对称轴也随之平移至 x=-1，即函数 y=f(x)的图象关于 x=-1 对称；思路二：y=f(x-1)是偶函数，则有 f(-x-1)=f(x-1),由轴对称的等价定义知函数 y=f(x)的图象关于 x=-1 对称。举例 2若函数 f(x)=(x-a)3满足 f(1+x)=-f(1-x),则 f(2)= .解析：由 f(1+x)=-f(1-x)知，函数
8、y=f(x)的图象关于（1，0）对称，事实上函数 f(x)=(x-a)3的图象关于（a，0）对称，a=1，于是 f(x)=(x-1)3，f(2)=1。巩固函数 y=f(a+x)与函数 y=f(a-x)的图象A.关于 y 轴对称 B.关于直线 x=a 对称C.关于点 M（a，0）对称 D. 关于点 M（-a，0）对称6. 若函数 f(x)满足：f(x+a)= f(x-a), 则 f(x)是以 2a 为周期的函数。注意：不要和对称性相混淆。若函数 f(x)满足：f(a+x)=-f(x)(a0)，则 f(x)是以 2a 为周期的函数。类似的条件还有)(1)(,)(1)(xfaxfxfaxf等。举例已
9、知函数)(Rxxfy满足) 1() 1(xfxf，且当1 , 1x时，2)(xxf，则)(xfy 与xy5log的图象的交点个数为 （ ） 来源:KA、2 B、3 C、4 D、5解析：由) 1() 1(xfxf知函数)(xfy 的周期为 2，作出其图象如右，当 x=5 时，f(x)=1,log5x=1;当 x5 时，f(x)=10，1，log5x1, )(xfy 与xy5log的图象不再有交点，故选 C。巩固设奇函数 f(x)的定义域为 R，且对任意实数 x 满足 f(x+1)= -f(x)，若当 x0,1时，f(x)=2x-1,则 f(6log21)= .7.判断函数的单调性可用有关单调性的
10、性质（如复合函数单调性的“同增异减”法则） ，研究三次或三次以上的多项式函数的单调性多用导数；证明函数单调性只能用定义或导数，不不能用关于单调性的任何性质，能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解。记住并会证明：函数)0( ,axaxy的单调性。了解单调性定义的变形：对区间a,b内的任意x,y 都有0)()( yxyfxf，则函数 f(x)在a,b递增（小于 0 则递减） 。举例 1证明函数)0( ,axaxy在（0，a上递减，在a，）上递增。解析：记)(xf=xax ，思路一：用定义证明，任取 01,来源:高考资源网 ZXXK(1x-2x)(1-21xxa)0,
11、即21()(xfxf),函数)0( ,axaxy在（0，a上递减.在a，）上递增的证明留给读者自己完成。思路二：用导数，)(/xf=1-2xa，若x（0，a，则2xa1，)(/xf=1-2xa0，函数)(xf在（0，a上递减.yx O1-115举例 2函数) 1( ,1axaxy在区间（0，3）上单调递减，则 a 的取值范围为Aa10 B10)个单位，则方程（表达式）中的 y(x)应变为 y-m(x-m); 曲线（函数图象）横（纵）坐标变为原来的 n 倍，则方程（表达式）中的 x(y)应变为nx(ny)。对称（翻折）变换，如函数 y=f(-x)的图象是由 y=f(x)的图象沿 y 轴翻折得到，
12、y=-f(x)的图象是由 y=f(x)的图象沿 x 轴翻折得到, y=|f(x)| 的图象是由 y=f(x)的图象保留 x 轴上方的部分并翻折 x 轴下方的部分得到，y=f(|x|)是由 y=f(x)的图象保留 y 轴右侧的部分，擦去左侧部分并将右侧的部分沿 y 轴翻折得到。记住两个函数图象：y=|x-a|的图象是“V 字形” ， “尖顶”是（a,0） ；dcxbaxy的图象是由一个反比例函数平移（分离常数）而来。举例奇函数 y=f(x) (x0 ) ,当 x(0,+)时，f (x)=x1 ，则函数 f(x-1)的图象是（ ）A B C D解析：函数 y=f(x)的图象为 C 图，将 y=f(x)的图象向右平移 1 个单位即得到函数 f(x-1)的图象，故选 D。巩固 函数 f(x)=sin2x+2cos2x 的图象向右平移 m 个单位后为偶函数，则最小正数 m 的值为_迁移使得函数 y=x2+a|x|有四个单调区间的 a 的取值范围 。简答简答4. 巩固D； 5. 巩固A，6. 巩固21， 7. 迁移bxbaxf1)(，当 ab 时在XOY11 O1XY1O XY11O 2XY（ , b）上递减，b-1，即 ab1; 若变为“闭”则 ab1；8. 巩固 83，迁移满足条件的函数图象在 y 轴的右侧要“拐弯” ，即对称轴在 y 轴的右侧，a0w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
