《高中数学教案：2.1.2《求数列的通项公式》（新人教b版必修5）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学教案：2.1.2《求数列的通项公式》（新人教b版必修5）（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 源于名校，成就所托源于名校，成就所托高中数学备课组教师 卢文强班级高一 日期上课时间学生学生情况： 成绩中上主课题:求数列的通项公式教学目的：教学目的： 1理解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同； 2会根据数列的递推公式写出数列的前几项； 3.掌握由数列的递推公式求出数列的通项公式的方法。4理解数列的前 n 项和与的关系；na5会由数列的前 n 项和公式求出其通项公式. 教学重点：教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项并求出通项公式。 教学难点：教学难点：理解并掌握由递推数列求出通项公式的方法教学内容 知识精要知识精要1如何由nS求na。 11(n=1 ) 1(n2)nnss
2、sn（）a2常见的几种由递推公式求通项公式的方法（1）累加法）累加法形如形如型数列，型数列， （其中（其中不是常值函数不是常值函数) )1( )nnaaf n( )f n此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为，从而就1( )nnaaf n有21321(1),(2),(1).nnaafaafaaf nK将上述个式子累加，变成，进而求解1n1(1)(2)(1)naafff nK（2）累积法）累积法形如形如型数列，型数列， （其中（其中不是常值函数不是常值函数) )(1nfaann( )f n此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为，从而就有1( )nnaf na32121(1
3、),(2),(1)nnaaafff naaaK K将上述个式子累乘，变成，进而求解。1n1(1)(2)(1)nafff naK（3 3）凑）凑 t t 法法形如形如型数列型数列qpaann1 此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法是待定系数法构造，设，展开整理)(1mapmann，比较系数有，所以，所以是等1nnapapmmpmmb 1bmp1nbap比数列，公比为，首项为。p11bap（4）取倒数法）取倒数法形如形如型数列（型数列（为非零常数）为非零常数）CBaAaann nCBA,这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个
4、新数列,便可顺利地转化为型数列。1nnapaq（5 5）相除法）相除法形如形如型数列（型数列（p p 为常数）为常数） nfpaann1此类数列可变形为，则可用累加法求出，由此求得. 111 nnn nn pnf pa pann pa na热身练习：热身练习：精解名题精解名题类型一：类型一：（可以求和）可以求和）累加法累加法1( )nnaaf n f n 解决方法例例 1 1、在数列在数列中，已知中，已知=1=1，当，当时，有时，有，求数列，求数列 na1a2n 121nnaan2n 的通项公式。的通项公式。解析：121(2)nnaannQ上述个等式相加可得：213243113521nnaaa
5、aaaaan M1n 2 11naan2 nan类型二：类型二： （可以求积）可以求积）累积法累积法1( )nnaf na( )f n 解决方法例例 2 2、在数列在数列中，已知中，已知有有，( () )求数列求数列的通项公式。的通项公式。 na11,a 11nnnana2n na解析：1232 1 12321nnn n nnnaaaaaaaaaaaaL123 21114 3nnn nnnL2 1n又也满足上式； 1aQ2 1nan*()nN评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。类型三：类型三：待定常数法待定常数法1(nnaAaB其中A, B为常数A0, 1） 解决方法可将其转化为，其
6、中，则数列为公比等于 A1()nnatA at 1BtAnat的等比数列，然后求即可。na例例 3 3 在数列在数列中，中， ，当，当时，有时，有，求数列，求数列的通项公式。的通项公式。 na11a 2n 132nnaa na解析：设，则13nnatat 132nnaat ，于是1t 1131nnaa 是以为首项，以 3 为公比的等比数列。1na 112a 12 31n na类型四：类型四： （且且）1( )nnapaf n0p 1p 一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。例例 4 4 设在数列设在数列中，中， ，求数列求数列的通项公的通项公 na11a 112122nnaa
7、nn na式。式。解析：解析：设 nnbaAnb1112nnaAnBaA nB展开后比较得2042 61022A A ABB 这时11462nnnnbbann2 且b 是以 3 为首项，以为公比的等比数列 nb1 2 即， 1132nnb 113462nnan113462nnan 例例 5 5 在数列在数列中，中， ，求数列求数列的通项公式。的通项公式。 na12a 1 1222n nnaan na解答： ，12a 1 1222n nnaan 令，则（） ，1 1222nn nnaa 2n nnab 12nnbb2n 11b ，则1 (1) 2nbn 21n(21) 2 .n nan例例 6
8、6 在数列在数列中，中， ，求数列求数列的通的通 na15a * 12212,n nnaannN na项公式。项公式。解析解析： 评注：若中含有常数，则先待定常数。然后加上 n 的其它式子，再构造或( )f n待定。 ，15a * 12212,n nnaannN ，令1 11(1)222nn nnnaa 2n nnab 则 11123111(1)2222nnnnnnnnbbbbbn 数列的通项公式 na(1) 21.n nan例例 7 7 已知数列已知数列满足满足，求数列，求数列的通项公式。的通项公式。an1a425a3a1n n1n，an解答：用“待定系数法” （双系数）令1 123(2)n
9、n nnaABaAB 则 ， 1322n nnaaAB5,2AB因此数列是以为首项，为公比的等比数列5 22n na 133故 115 2213 313 35 22.nnnn nnaa 类型五：类型五：（）倒数法倒数法1n n nc aapad0c p d解决方法例例 8 8、 已知已知，求，求。 （ ）14a 12 21n n naaana122 27nnna解答：知，14a 12 21n n naaa 111112nnaa令，则，以下用“待定系数法”可得1n nba1112nnbb， 2127 2nnnb122.27nnna评注：去倒数后，一般需构造新的等差（比）数列。类型六：类型六： (
10、)nnSf a解决方法 11(1) (2)n nnsnassn例例 9 9、 已知数列已知数列前前 n n 项和项和. . na2214nnnaS求求与与的关系；的关系； （2 2）求通项公式）求通项公式. . 11nanana 2214nnnaS，两式相减得111142nnnSa1111 2nnnnaaa 111 22nnnaa1 1222nn nnaa 令，则2nnnba12.nnbb ，从而111142,SaaS11a 12,2(1) 2222n nnbbnnan 数列的通项公式为 na1.2nnna类型七：类型七： r nnpaa1)0, 0(nap解法：这种类型一般是等式两边取对数两
11、边取对数后转化为，再利用待定系数法待定系数法求解。qpaann1例例 10：已知数列：已知数列中，中，求数列，求数列na2 111, 1nnaaaa)0( a .的通项公式na12)1(n naaa解答：2 111, 1nnaaaa)0( a 2 111loglog ()log2log1ananananaaaaa令，则lognanba121.nnbb以下用“待定系数法”可得11 2nnb 1112 11 221log1 2.nnnn annaaaa aaa 备选例题备选例题例例 1、在数列在数列 中，中， ， ，求，求 na120,1aa1144nnnaaana思路 在数列中，已知 ，且 ，求
12、其通项公式方法介绍 na12,a a11nnnapaqa如下：当当 时时，存在 满足 （*） ，即1pq12, 11211()nnnnaaaa，与 比较系数，得 ，由根112121()nnnaaa 11nnnapaqa121 2pq 与系数的关系知 是二次方程 两实根，此方程称为递推式的特征方12, 20tptq程。易见，只需将递推式中的 换成 即可得特征方程。由 （*）式11,nnnaa a2, ,1tt知数列 是等比数列，于是 或 11nnaa1 11221 1()n nnaaaa 。1 121221()n nnaaaa 当当 时时，将 p=1-q 代入递推式，得 ，则 是1pq11()n
13、nnnaaq aa 1nnaa以 为首项，-q 为公比的等比数列，从而。21aa1 121()()n nnaaqaa 解题 递推式特征方程为 ，解得 ，所以递推式可表示为2441121 2，数列是首项为 ，公比为 11111()222nnnnaaaa11 2nnaa21112aa的等比数列，所以，两边同除以 ，得 1 21111,1,2,22nnnaan12n，12 1221nn nnaa 于是 是首项为 0，公差为 1 等差数列，故，。22nna221n nan21 2nnna收获 一般的，在数列中，已知 ，且 ，它的特征方程na12,a a11nnnapaqa两根为，则，当时 ，通项公式 ；当20pq12, 121 1()n naAnB时 ，通项公式 ，其中 A，B 为常数，可由 1211 12,1,2,nn naABn推出。12,a a利用这一结论可方便的推出通项公式。na巩固练习巩固练习1.
