《高中数学人教a版必修2学案：1.3.3球的表面积与体积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教a版必修2学案：1.3.3球的表面积与体积（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、球的表面积与体积1球的体积和表面积 2等积变换 3轴截面的应用1 （1）将一个气球的半径扩大 1 倍，它的体积扩大到原来的几倍？ （2）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是 a cm，求球的体积. （3）一个球的体积是 100 cm2，试计算它的表面积(取 3.14，结果精确到 1cm2，可用 计算器). 参考答案：1 （1）8 倍；（2）33 6a cm（3）104.经典习题例 1已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 AC = BC = 6，AB = 4，求球面面积与球的体积【分析】 可以用球的截面性质。即截面小圆的圆心到球心的线段垂直于截面小圆平面【解析】
2、 如图，设球心为 O，球半径为 R，作 OO1平面 ABC于 O1，由于 OA = OB = OC = R，则 O1是ABC 的外心设 M 是 AB 的中点，由于 AC = BC，则 O1CM设 O1M = x，易知 O1MAB，则 O1A = 222x，O1C = CM O1M = 2262 x又 O1A = O1C 2222262xx解得7 2 4x 则 O1A = O1B = O1C = 9 2 4在 RtOO1A 中，O1O = 2R，OO1A = 90，OA = R，由勾股定理得2229 2()()24RR解得3 6 2R 故234454 ,27 63SRVR球面球例 2如图所示棱锥
3、 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，边长为a，PD = a，PA = PC =2a，且 PD 是四棱锥的高（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；（2）求四棱锥外接球的半径【分析】 （1）当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积分割法求解 （2）四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D 五点的距离均为半径，只要找出球心的位置即可球心 O 在过底面中心 E且垂直于底面的垂线上【解析】 （1）设此球半径为 R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为 S，连结SA、SB、SC、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为 R3111
4、333PABCDABCDVSPDa a aa A，211 22PADPDCSSa aa AA，212222PABPBCSSaaa AA，SABCD = a2VP ABCD = VS PDA + VS PDC + V S ABCD + VS PAB + Vs PBC ，311()33PADPDCPABPBCABCDaR SSSSSAAAAA，322222111122()332222aRaaaaa，所以231(22)33Raa，222(1)2222aRaa ，即球的最大半径为2(1)2a（2）法一：设 PB 的中点为 F因为在 RtPDB 中，FP = FB = FD，在 RtPAB 中，FA = FP = FB，在 RtPBC 中，FP = FB = FC，所以 FP = FB = FA = FC = FD所以 F 为四棱锥外接球的球心，则 FP 为外接球的半径法二：球心 O 在如图 EF 上，设 OE = x，EA = 2 2a，22221 2REAOEaxOA图 439BACDPF图 4310又22221()()22aOPaxDEaxax 得即球心 O 在 PB 中点 F 上【评析】方法二为求多面体（底面正多面边形）外接球半径的通法；求多面体内切球半径经常采用体积分割求和方法
