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1、高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 1分类加法计数原理完成一件事，有 n 类不同方案，在第 1 类方案中有 m1种不同的方法，在第 2 类方案中有 m2种不同的方法在第 n 类方案中有 mn种不同的方法那么完成这件事共有 N_种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1种不同的方法，做第 2 步有 m2种不同的方法做第 n 步有 mn种不同的方法那么完成这件事共有 N_种不同的方法3分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法_
2、，用其中_都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法_，只有_才算做完这件事4用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析需要分类还是需要分步(1)分类要做到“_”分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数(2)分步要做到“_”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要_，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数【基础自测基础自测】1 将 5 封信投入 3 个邮筒，不同的投法共有( )A53种 B35种 C3 种 D15 种解：第 1 封信，可以投入第 1 个邮
3、筒，可以投入第 2 个邮筒，也可以投入第 3 个邮筒，共有 3 种投法；高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 同理，后面的 4 封信也都各有 3 种投法所以，5 封信投入 3 个邮筒，不同的投法共有 35种故选 B.2 某人去有四个门的商场购物，若进出商场不同门，则不同的进出方案有( )A256 种 B81 种 C16 种 D12 种解：进商场的方案有 4 种，则出商场的方案有 3 种，由分步计数原理知，共有进出商场的方案4312 种故选 D.3 点 Q(x，y)中 x1，2，y2，3，4，则不在直线 yx 上的点 Q(x，y)的个数是( )A1 B4 C5 D
4、6解：这样的点共有 236 个，在直线 yx 上的只有(2，2)，因此不在直线 yx 上的点的个数是615.故选 C.4 某校高一有 6 个班，高二有 7 个班，高三有 8 个班现选两个班的学生参加社会实践活动，若要求这两个班来自不同年级，则有不同的选法_种解：先分类再分步，共有不同的选法：677868146 种故填 146.5 60 的正约数有_个解：602235，因此可设 60 的正约数为 m2n13n25n3，其中 n1可取 0，1，2 共 3 个数；n2可取0，1 共 2 个数；n3可取 0，1 共 2 个数由分步乘法计数原理可知，60 的正约数共有 32212 个故填12.【典例典例
5、】类型一类型一 分类与分步的区别与联系分类与分步的区别与联系例一 甲同学有若干本课外参考书，其中有 5 本不同的数学书，4 本不同的物理书，3 本不同的化学书现在乙同学向甲同学借书，试问：(1)若借一本书，则有多少种不同的借法？(2)若每科各借一本，则有多少种不同的借法？(3)若借两本不同学科的书，则有多少种不同的借法？(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借两本不同学科的书”，要分三种情况：借一本数学书和一本物理书，只有两本书都借，事情才能完成，由分步计数原理知，有 5420(种)借法；借一本数学书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有 5315(种)借法；借一本物理书和一本化学书，同理，
6、由高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 分步计数原理知，有 4312(种)借法而上述的每一种借法都可以独立完成这件事情，由分类计数原理知，共有 20151247(种)不同的借法【评析】仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关如果完成一件事有 n 类办法，这 n 类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成 n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成 n 个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法
7、，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理变式变式 某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的共有 28 人，A 型血的共有 7 人，B 型血的共有 9 人，AB 型血的共有 3 人(1)从中任选 1 人去献血，有多少种不同选法？(2)从四种血型的人中各选 1 人去献血，有多少种不同的选法？解：从 O 型血的人中选 1 人有 28 种不同的选法，从 A 型血的人中选 1 人有 7 种不同的选法，从 B 型血的人中选 1 人有 9 种不同的选法，从 AB 型血的人中选 1 人有 3 种不同的选法(1)任选 1 人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选 1 人去献血”的事情即可完
8、成，所以由分类加法计数原理，共有 2879347 种不同的选法(2)要从四种血型的人中各选 1 人，即要在每种血型的人中依次选出 1 人后，这件“各选 1 人去献血”的事情才算完成，所以用分步乘法计数原理，共有 287935292 种不同的选法类型二类型二 两个原理的综合应用两个原理的综合应用例二 (1)现有来自高(一)四个班的学生 34 人，其中一、二、三、四班分别为 7 人、8 人、9 人、10 人，他们自愿组成数学课外小组现推选两人作中心发言，这两人须来自不同的班级，有多少种不同的选法？【评析】对于复杂问题，不能只用分类加法计数原理或只用分步乘法计数原理解决时，可以综合运用两个原理可以先
9、分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某一步中再分类本题可先根据两个班级的不同分类，再分步从两个班级中各选 1 人(2)有一个圆被两相交弦分成四块，现用 5 种不同的颜料给这四块涂色，要求相邻的两块颜色不同，每块只涂一种颜色，共有多少种涂色方法？高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 解：如图，分别用 A，B，C，D 记这四个部分，A 与 C，B 与 D 不相邻，因此，它们可以同色，也可以不同色首先分两类，即 A，C 涂相同颜色和 A，C 涂不同颜色：类型一，分三步：第一步，给 A，C 涂相同的颜色，有 5 种涂法；第二步，给 B 涂色有 4 种涂法；第三步，给
10、D 涂色，由于 D 与 B 可以涂相同的颜色，所以有 4 种涂法由分步计数原理知，共有 54480种不同的涂法类型二，分四步：第一步，给 A 涂色，有 5 种涂法；第二步，给 C 涂色，有 4 种涂法；第三步，给 B涂色有 3 种涂法；第四步，给 D 涂色有 3 种涂法由分步计数原理知，共有 5433180 种不同的涂法综上，由分类计数原理可知，共有 80180260 种不同的涂法【评析】本题也可以在分四步的基础上再分类来完成：A 有 5 种涂法，B 有 4 种涂法，若 C 与 A 相同，则 D 有 4 种涂法，若 C 与 A 不同，则 C 有 3 种涂法，且 D 有 3 种涂法，故有 54(
11、433)260 种涂法涂色问题多以平面、空间为背景，涂色对象以平面区域居多，也有以点或线为对象的涂色问题此类问题往往需要多次分类、分步(也有用穷举法解决的题目)，常用分类依据有：所涂颜色种类；可涂同色的区域(或点、线等)是否涂同色变式变式 (1)用 0，1，2，3，4，5 可以组成多少个无重复数字且比 2000 大的四位偶数第二类：用 2 作个位的比 2000 大的四位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去 2，1，0，只有 3 个数字可以选择，有 3 种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之外，还有 4 个数字可供选择，有 4 种选法；第三步，选取十位
12、上的数字，还有 3 种选法依据分步计数原理，这类数的个数有 34336 个第三类：用 4 作个位的比 2000 大的四位偶数，其步骤同第二类，这类数的个数也有 36 个综合以上所述，由分类计数原理，可得所求无重复数字的比 2000 大的四位偶数有483636120 个高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 (2)()假设佛山五区行政区划图如图，测绘局想要给地图着色，相邻区域颜色不同，2013广东佛山二模每块区域只涂一色现有 4 种颜色可供选择，那么共有不同的着色方案为_种(用数字作答)题图 答图【名师点睛名师点睛】1运用分类加法计数原理时，首先要根据问题的特点，确
13、定分类标准分类应满足：完成一类事情的任何一种方法，必须属于某一类且仅属于某一类，即类与类之间具有确定性与并列性2运用分步乘法计数原理时，要确定分步的标准分步必须满足：完成一件事情必须且只须完成这几步，即各个步骤是相互依存的，注意“步”与“步”的连续性3在处理具体的应用问题时，必须先分清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”与“分步”的具体标准是什么，选择合理、简洁的标准处理事件，可以避免计数的重复或遗漏4对于既要运用分类加法计数原理，又要运用分步乘法计数原理的复杂问题，可以恰当地画出示意图或树形图来进行分析，使问题的分析过程更直观、清楚，便于探索规律5解答日常生活中的计数方法问题的总体思路
14、：根据完成事件所需的过程，对事件进行整体分类，确定可分为几大类，整体分类以后，再确定在每类中完成事件要分几个步骤，这些问题都弄清了，就可以根据两个基本原理解决问题了，此外，还要掌握一些非常规计数方法，如：(1)枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于计数种数较少且计数对象不规律的情况；(2)转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问题；(3)间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑利用正难则反的策略，采用间接法计算其反面情形，再用总数减掉【针对训练针对训练】1有不同颜色的 4 件上衣与不同颜色的 3 条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 法种数为( )A7 B64 C12 D81解：由分步乘法计数原理知可配 3412 套故选 C.2现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A56 B65C. D654325 6 5 4 3 22解：因为每位同学均有 5 种讲座可供选择，所以 6 位同学共有 55555556种选法故选 A.3由数字 0，1，2，3，4，5 组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是( )A72 B60 C48 D12解：分两类：当首位
