《甘肃省金昌市第一中学高中数学学案：3.3.1 函数的单调性与导数 选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《甘肃省金昌市第一中学高中数学学案：3.3.1 函数的单调性与导数 选修1-1（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会利用导数求函数的单调区间。2、 过程与方法通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。3、 情感、态度与价值观通过实例探究函数的单调性与导数的关系。通过这一过程，提高理性思维的能力。教学重难点教学重难点重点：函数单调性和导数的关系；会根据导数判断函数的单调性；会利用导数求出函数的单调区间。难点：理解并掌握函数的单调性与导数的关系教学过程教学过程 一、 复习引入：复习引入： 1. 常见函数的导数公式：； 0C1)(nnnxxxxcos)(sinxxsin)(cosxx1)(lnexxaalog1)(logxxee)(aaaxxln
2、)(2.法则 1 )()()()(xvxuxvxu法则 2 , ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x ( )( )Cu xCu x 法则 3 2(0)uu vuvvvv二、二、 讲授新课讲授新课1问题：问题：图 3.3-1（1） ，它表示跳水运动中高度随时间h变化的函数的图像，图 3.3-t2( )4.96.510h ttt 1（2）表示高台跳水运动员的速度随时间 变化的函数vt的图像( )( )9.86.5v th tt 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间 的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最
3、高点，离水面的高度随h时间 的增加而增加，即是增函数相t( )h t应地，( )( )0v th t（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间 的增加而减少，即是减函ht( )h t数相应地，( )( )0v th t2函数的单调性与导数的关系函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系如图 3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率 0()fx( )f x00(,)xy在处，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；0xx 0()0fx( )f x0x在处，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减1xx 0()0fx( )f x1x结论
4、：函数的单调性与导数的关系结论：函数的单调性与导数的关系 在某个区间在某个区间内，如果内，如果，那么函数，那么函数在这个区间内单调递增；如果在这个区间内单调递增；如果( , )a b( )0fx ( )yf x，那么函数，那么函数在这个区间内单调递减在这个区间内单调递减( )0fx ( )yf x说明：（说明：（1）特别的，如果）特别的，如果，那么函数，那么函数在这个区间内是常函数在这个区间内是常函数( )0fx ( )yf x3求解函数求解函数单调区间的步骤：单调区间的步骤：( )yf x（1）确定函数）确定函数的定义域；的定义域；( )yf x（2）求导数）求导数；( )yfx（3）解不等
5、式）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；，解集在定义域内的部分为增区间；( )0fx （4）解不等式）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间，解集在定义域内的部分为减区间( )0fx 三典例分析三典例分析例例 1已知导函数的下列信息：( )fx当时，；14x( )0fx 当，或时，；4x 1x ( )0fx 当，或时，4x 1x ( )0fx 试画出函数图像的大致形状( )yf x解：解：当时，可知在此区间内单调递增 14x( )0fx ( )yf x当，或时，；可知在此区间内单调递减；4x 1x ( )0fx ( )yf x当，或时，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点” 4x 1x (
6、 )0fx 综上，函数图像的大致形状如图 3.3-4 所示 ( )yf x例例 2判断下列函数的单调性，并求出单调区间（1）； （2）3( )3f xxx2( )23f xxx（3）； （4）( )sin(0,)f xxx x32( )23241f xxxx解：（1）因为，所以，3( )3f xxx22( )333(1)0fxxx因此，在 R 上单调递增，如图 3.3-5（1）所示3( )3f xxx（2）因为，所以， 2( )23f xxx( )2221fxxx当，即时，函数单调递增；( )0fx 1x 2( )23f xxx当，即时，函数单调递减；( )0fx 1x 2( )23f xxx
7、函数的图像如图 3.3-5（2）所示2( )23f xxx（3）因为，所以，( )sin(0,)f xxx x( )cos10fxx 因此，函数在单调递减，如图 3.3-5（3）所示( )sinf xxx(0,)（4）因为，所以 32( )23241f xxxx当，即 时，函数 ； ( )0fx 2( )23f xxx当，即 时，函数 ；( )0fx 2( )23f xxx函数的图像如图 3.3-5（4）所示32( )23241f xxxx注：（注：（3） 、 （4）生练）生练例例 3如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度
8、与时间 的函数关系图像ht分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢， 以后高度增加得越来越快反映在图像上， （A）符合上述变化情况同理可知其它三种容器的情 况解： 1, 2, 3, 4BADC思考：思考：例 3 表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢结 合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这 时，函数的图像就比较时，函数的图像就比较“陡峭陡峭” ；反之，函
9、数的图像就；反之，函数的图像就“平缓平缓”一些一些如图 3.3-7 所示，函数在或内的图像“陡峭” ，( )yf x0,b,0a在或内的图像“平缓” ,b ,a例例 4求证：函数在区间内是减函数3223121yxxx2,1证明：因为22661262612yxxxxxx当即时，所以函数在区间内是2,1x 21x 0y 3223121yxxx2,1减函数说明：证明可导函数说明：证明可导函数在在内的单调性步骤：内的单调性步骤： f x,a b（1）求导函数）求导函数； fx（2）判断）判断在在内的符号；内的符号； fx,a b（3）做出结论：）做出结论：为增函数，为增函数，为减函数为减函数 0fx
10、0fx 例例 5已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值232( )4()3f xxaxxxR1,1a范围解：，因为在区间上是增函数，所以对2( )422fxaxx f x1,1( )0fx 恒成立，即对恒成立，解之得：1,1x 220xax1,1x 11a 所以实数的取值范围为a1,1说明：说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则若函数单调递增，则；若函数单调递减，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公( )0fx ( )0fx 式中的等号不能省略，否则漏解例例 6已知函数 y=x+，试讨论出此函数的单调区间.x1解：y=
11、(x+)x1=11x2=222) 1)(1(1 xxx xx令0. 2) 1)(1( xxx解得 x1 或 x1.y=x+的单调增区间是(，1)和(1，+).x1令0，解得1x0 或 0x1.2) 1)(1( xxxy=x+的单调减区间是(1，0)和(0，1)x1四、课堂练习四、课堂练习： 1确定下列函数的单调区间 (1)y=x39x2+24x (2)y=3xx3(1)解：y=(x39x2+24x)=3x218x+24=3(x2)(x4) 令 3(x2)(x4)0，解得 x4 或 x2.y=x39x2+24x 的单调增区间是(4，+)和(，2) 令 3(x2)(x4)0，解得 2x4.y=x3
12、9x2+24x 的单调减区间是(2，4) (2)解：y=(3xx3)=33x2=3(x21)=3(x+1)(x1) 令3(x+1)(x1)0，解得1x1.y=3xx3的单调增区间是(1，1). 令3(x+1)(x1)0，解得 x1 或 x1.y=3xx3的单调减区间是(，1)和(1，+) 2、设是函数的导数, 的)x(fy)x(fy )x(fy图象如图所示, 则的图象最有可能是( ) )x(fy 小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？五、课堂小结五、课堂小结 ： 1.函数导数与单调性的关系:若函数 y=f(x)在某个区间内可导,如果 f (x)0, 则 f(x)为增函数;如果f(x)0, 则 f(x)为减函数. 2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合 在解题中的应用. 3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.六、课后作业：六、课后作业： 课本课本 习题习题 3.33.3 A A 组组 1 1，2 2【思考题思考题】对于函数 f(x)=2x36x2+7 思考 1、能不能画出该函数的草图？思考 2、在区间（0， 2）内有几个解？3276xx1 1确定下列函数的单调区间(1) (2)2yxx3yxx2.讨论二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的单调区间.
