《青海省高中数学人教版选修2-1导学案 3.1.4 空间向量的直角坐标运算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《青海省高中数学人教版选修2-1导学案 3.1.4 空间向量的直角坐标运算（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -3.1.43.1.4 空间向量的直角坐标运算空间向量的直角坐标运算 学案编号：GEXX2-1T3-1-4 【学习要求】1了解空间向量坐标的定义2掌握空间向量运算的坐标表示3能够利 用坐标运算来求空间向量的长度与夹角 【学法指导】通过类比平面向量的坐标运算，掌握空间向量运算的坐标表示空间向量的运 算与向量的坐标表示结合起来，可以使一些问题简单化，培养从复杂问题中抽象出简单问题 的能力. 1空间直角坐标系及空间向量的坐标空间直角坐标系及空间向量的坐标 (1)建立空间直角坐标系 Oxyz，分别沿 x 轴、y 轴、z 轴的正方向引单位向量
2、i、j、k，这三个 互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底i，j，k，这个基底叫做_；单 位向量 i、j、k 都叫做_ (2)空间向量的坐标：已知任一向量 a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)， 使 aa1ia2ja3k，a1i，a2j，a3k 分别为向量 a 在 i，j，k 方向上的分向量，有序实数组 (a1，a2，a3)叫做向量 a 在此直角坐标系中的_上式可简记作 a_. 2空间向量的坐标运算法则空间向量的坐标运算法则 设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)则向量运算坐标表示加法ab_减法ab(a1b1，a2b2，a3b3)数乘a(a1，a2，a3)
3、数量积aba1b1a2b2a3b33. 空间向量平行和垂直的条件空间向量平行和垂直的条件：设设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)(1)ab (b0)_Error! 当 b 与三个坐标平面都不平行时，ab_(2)ab_. 4两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式：两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式： (1)设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|_，|b|_.cosa，b_.(2)设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则_，AB|_.AB探究点一探究点一 空间向量的坐标表示及运算空间向量的坐标表示及运算 问题 1 如何确定向量的坐标？ 问题 2 向
4、量的坐标和点的坐标有什么联系？例例 1 设正四棱锥 SP1P2P3P4的所有棱长均为 2，建立适当的空间直角坐标系，求、SP1的坐标P2P3跟踪跟踪 1 (1)已知向量 a，b，c 分别平行于 x 轴、y 轴、z 轴，它们的坐标各有什么特点？(2)设 O 为坐标原点，向量(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，OAOBOP高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -则当取得最小值时，求点 Q 的坐标QAQB探究点二探究点二 垂直与平行问题垂直与平行问题问题 1 已知 a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，a、b 共线的充要条件为
5、，对吗？a1a2b1b2c1c2问题 2 a 与 b 垂直的充要条件是什么？例例 2 已知空间三点 A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设 a，b.若向量 kab 与ABACka2b 互相垂直，求 k 的值跟踪跟踪 2 将本例中“若向量 kab 与 ka2b 互相垂直”改为“若向量 kab 与 akb 互相平行” 其他条件不变，求 k 的值 探究点三探究点三 向量的夹角与长度计算向量的夹角与长度计算例例 3 已知在ABC 中，A(2，5,3)，(4,1,2)，(3，2,5)，求顶点 B、C 的坐标，ABBC向量及A 的余弦值AC跟踪跟踪 3 在棱长为 1 的正方体 ABCDA
6、1B1C1D1中，E、F 分别是 D1D、BD 的中点，G 在棱CD 上，且 CG CD，H 为 C1G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题：14(1)求 EF 与 C1G 所成的角的余弦值； (2)求 FH 的长 【达标检测】1若 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则是 ab 的 ( )a1b1a2b2a3b3A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 2已知 a3i2jk，bij2k，i，j，k 是两两垂直的单位向量，则 5a 与 3b 的数量积 等于 ( ) A15 B5 C3 D1 3若 ABCD 为平行四边形，且 A(4,1,3)，B(2，
7、5,1)，C(3,7，5)，则顶点 D 的坐标为 ( )A B(2,3,1) C(3,1,5) D(1,13，3)(72，4，1)4已知 A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC 的形状是 ( ) A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形5已知 A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则在上的投影为_ABAC【课堂小结】1利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直；可以求向量的 模以及两个向量的夹角2几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直线的方向 向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利
8、用数 量积解决. 3.1.4 空间向量的直角坐标运算空间向量的直角坐标运算一、基础过关1在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知点 A 的坐标为(1，2,1)，点 B 的坐标为(1,3,4)，则( )高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -A.(1,2,1) B.(1,3,4)ABABC.(2,1,3) D.(2，1，3)ABAB2与向量 m(0,2，4)共线的向量是( )A(2,0，4) B(3,6，12)C(1,1，2) D.(0，12，1)3设 A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(0,1,0)，则 AB 的中点 M 到 C 的距离|CM|的值为( )A. B.534
9、532C. D.5321324已知 A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则向量与的夹角为( )ABACA30 B45 C60 D905已知 a(2，1,3)，b(4,2，x)，c(1，x,2)，若(ab)c，则 x 等于( )A4 B4 C. D6126已知 a(2，1,2)，b(2,2,1)，则以 a、b 为邻边的平行四边形的面积为( )A. B. C4 D865652二、能力提升7与 a(2，1,2)共线且满足 az18 的向量 z_.8已知 2ab(0，5,10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则b，c_.9在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC1，
10、DD13，则与夹角的余弦值是ACBD1_10单位向量 a(x，y,0)与向量 c(1,1,1)的夹角为 ，求：xy 与 xy 的值411已知空间三点 A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积 S；ABAC高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -(2)若向量 a 分别与向量，垂直，且|a|，求向量 a 的坐标ABAC312已知正四棱锥 SABCD 的侧棱长为，底面的边长为，E 是 SA 的中点，求与23BE的夹角SC三、探究与拓展13已知 a(5,3,1)，b且 a 与 b 的夹角为钝角求 t 的取值范围(2，t，25)
