《陕西省榆林育才中学高中数学北师大版选修2-1导学案：空间向量的正交分解及其坐标表示 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《陕西省榆林育才中学高中数学北师大版选修2-1导学案：空间向量的正交分解及其坐标表示 （4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 学习目标 1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示； 2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；学习过程 一、课前准备 复习复习 1：平面向量基本定理：对平面上的任意一个向量，是平面上两个 向量，总P , a b是存在 实数对，使得向量可以用来表示，表达式为 ，, x yP , a b其中叫做 . 若，则称向量正交分解. , a babP 复习复习 2：平面向量的坐标表示： 平面直角坐标系中，分别取 x 轴和 y 轴上的 向量作为基底，对平面上任意向量，有且只有一对实数 x，y，使得， ，则称有, i jaaxiy j序对, x y为向量的 ，即 .aa二、新课导学 学习探究 探究
2、任务一探究任务一：空间向量的正交分解空间向量的正交分解问题问题：对空间的任意向量，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？a这几个向量有何位置关系？新知新知：1 1空空间向量的正交分解间向量的正交分解：空：空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、a11a 、，使. 如果两两 ，这种分解就是空间向量22a 33a 112233aaaa 123,a a a 的正交分解.(2)空间向量基本定理空间向量基本定理：如果三个向量 ，, ,a b c 对空间任一向量，存在有序实数组，使得. 把 的一个基底，p , , x y zpxaybzc 都叫做基向量., ,a b c 反思反思：空间
3、任意一个向量的基底有 个.单位正交分解：单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫 做单位正交基底单位正交基底，通常用i,j,k表示. 空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系 O-xyz 和向量 a，且设 i、j、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序 , , x y zaxiy jzk实数组为向量 a 的坐标，记着 . , , x y zp 设 A，B，则 .111( ,)x y z222(,)xyzAB向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算： 设 a，b，则123(,)a a a123( ,)b
4、b bab；112233(,)ab ab abab；112233(,)ab ab aba；123(,)aaa()Rab.1 1223 3a ba ba b试试试试：1. 设，则向量的坐标为 .23aijka2. 若 A，B，则 .(1,0,2)(3,1, 1)AB3. 已知 a，b，求 ab，ab，8a，ab(2, 3,5)( 3,1, 4) 典型例题例例 1 已知向量是空间的一个基底，从向量中选哪一个向量，一定可以与向量, ,a b c , ,a b c 构成空间的另一个基底？,pab qab变式变式：已知 O,A,B,C 为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点,OA OB OC O
5、,A,B,C 是否共面？小结小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面不共面. 例例 2 如图，M,N 分别是四面体 QABC 的边 OA,BC 的中点，P,Q 是 MN 的三等分点，用,OA OB OC 表示和.OP OQ变式变式：已知平行六面体，点 GABCDA B C D是侧面的中心，且，试用向量表示下列向量:BBC COAa ,OCb OOc , ,a b c .,;OB BA CA OG 动手试试练练 1. 已知，求：2, 3,1 ,2,0,3 ,0,0,2abc； .abc68abc练练 2. 正方体的棱长为 2，以 A 为坐标原点，以为 x 轴、y
6、ABCDA B C DAB,AD,AA 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则点，的坐标分别是 ， 1D,AC AC ， .三、总结提升 学习小结 1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理； 2. 空间向量坐标表示及其运算 知识拓展 建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据 已知条件，通过作辅助线来创造建系的图形. 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1. 若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ）a, , b c A. B. ,a ab ab ,b ab ab C. D. ,c ab ab 2 ,ab ab ab 2. 设
7、i、j、k 为空间直角坐标系 O-xyz 中 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，且，则点 B 的坐标是 ABijk 3. 在三棱锥 OABC 中，G 是的重心（三条中线的交点） ，选取为基底，试ABC,OA OB OC 用基底表示 OG4. 正方体的棱长为 2，以 A 为坐标原点，以为 x 轴、y 轴、ABCDA B C DAB,AD,AA z 轴正方向建立空间直角坐标系，E 为 BB1中点，则 E 的坐标是 .5. 已知关于 x 的方程有两个实根，且222350xtxttcatb，1,1,3 ,1,0, 2ab 当 t 时，的模取得最大值.c课后作业 1. 已知,求线段 AB 的中点坐标及线段 AB 的长度.3,5, 7 ,2,4,3AB ,AB BA 2. 已知是空间的一个正交基底，向量是另一组基底，若在的坐, ,a b c ,ab ab c p , ,a b c 标是，求在的坐标.1,2,3p ,ab ab c
