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1、12 22.22.2 用样本的数字特征用样本的数字特征PaCPqPaCPq估计总体的数字特征（结）估计总体的数字特征（结）众数、中位数、平均数的简单运用例 1 某公司销售部有销售人员 15 人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这 15 人某月的销售量如下：销售量(件)1 800510250210150120人数113532(1)求这 15 位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；(2)假设销售部负责人把月销售额定为 320 件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额自主解答 (1)由表格可知：平均数为(1 800151012503210515031202
2、)1 15320(件)，中位数为 210 件，众数为 210 件(2)不合理，因为 15 人中有 13 人的销售量未达到 320件，也就是说：虽然 320 是这一组数据的平均数，但它却不能反映全体销售人员的销售水平销售额定为 210 件更合理些，这是由于 210 既是中位数，又是众数，是大部分人都能达到的定额1.众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量.2.平均数的大小与一组数据里每个数的大小均有关系，任何一组数据的变动都会引起平均数的变动.3.众数考查各数出现的频率，其大小与这组数据中部分数据有关，当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题.4中位数仅与数据的排列位置有
3、关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中个别数据较大时，用中位数描述这种趋势1某工厂人员及工资构成如下：人员经理管理人员高级技工工人学徒合计周工资(元) 2 2002502202001002 970人数16510123合计2 2001 5001 1002 0001006 900(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数(2)这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么？2解：(1)由表格可知：众数为 200 元23 个数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，排在中间的数应是第 12 个数，其值为 220，中位数为 220 元
4、平均数为(2 2001 5001 1002 000100)236 90023300(元)(2)虽然平均数为 300 元/周，但由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平.平均数和方差的运用例 2 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：94 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( )A9.4,0.484 B9.4,0.016C9.5,0.04 D9.5,0.016自主解答 先求平均数：去掉 9.9 和 8.4 得一组数：9.4,9.4,9.6,
5、9.4,9.7，平均数为 9 (0.40.40.60.40.7)9.5.x1 5方差为s2 3(9.49.5)2(9.69.5)2(9.79.5)20.016.1 5答案 D1.极差、方差与标准差的区别与联系：数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述.1极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感.2方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离.2.在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程
6、度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定.2从甲、乙两种玉米的苗中各抽 10 株，分别测得它们的株高如下：(单位：cm)甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40问：(1)哪种玉米的苗长得高？3(2)哪种玉米的苗长得齐？解：(1)甲(25414037221419392142)30030(cm)，x1 101 10乙(27164427441640401640)x1 1031031(cm)1 10甲乙xx所以乙种玉米的苗长得高(2)s(2530)2
7、(4130)2(4030)2(3730)2(2230)2(1430)2(1930)2 甲1 102(3930)2(2130)2(4230)2(2512110049642561218181144)1 101 042104.2(cm2)，1 10s(2272316234022442)103122 乙1 101 288128.8 (cm2)1 10ss.2 甲2 乙所以甲种玉米的苗长得整齐.频率分布与数字特征的综合应用例 3 已知一组数据：125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128(1
8、)填写下面的频率分布表：分组频数累计频数频率120.5,122.5)122.5,124.5)124.5,126.5)126.5,128.5)128.5,130.5合计(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数4自主解答 (1)分组频数累计频数频率120.5,122.5)20.1122.5,124.5)30.15124.5,126.5)正80.4126.5,128.5)40.2128.5,130.530.15合计201(2)(3)在124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数 125.5，事实上，众数的精确值
9、为 125.图中虚线对应的数据是 124.52 125.75，事实上中位数为 125.5.使用“组中5 8值”求平均数： 121.50.1123.50.15125.50.4127.50.2129.50.15125.8，x平均数的精确值为 125.75.x1利用直方图求数字特征(1)众数是最高的矩形的底边的中点(2)中位数左右两边直方图的面积应相等(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和2利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数3某市 2011 年 4 月 1 日4 月 30 日对空气污染指数的监测数据如
10、下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.(1)完成频率分布表；(2)作出频率分布直方图；5(3)根据国家标准，污染指数在 050 之间时，空气质量为优；在 51100 之间时，为良；在101150 之间时，为轻微污染；在 151200 之间时，为轻度污染请你根据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价解：(1)频率分布表：(以 10 为组距)分组频数频率41,51)22 3051,61)11 3061,71)
11、44 3071,81)66 3081,91)1010 3091,101)55 30101,11122 30总计301(2)频率分布直方图：(3)答出下述两条中一条即可：该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平，占当月天数的.有 26 天处于良的水平，占当1 15月天数的，处于优或良的天数共有 28 天，占当月天数的.说明该市空气质量基本良好13 1514 15轻微污染有 2 天，占当月天数的.污染指数在 80 以上的接近轻微污染的天数有 15 天，加上处于1 15轻微污染的天数，共有 17 天，占当月天数的，超过 50%.说明该市空气质量有待进一步改善17 301下列各数字特征中，能反映
12、一组数据离散程度的是( )6A众数 B平均数C标准差 D中位数答案：C2(2012山东高考)在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加 2 后所得数据则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )A众数 B平均数C中位数 D标准差解析：只有标准差不变，其中众数、平均数和中位数都加 2.答案：D3甲、乙两中学生在一年里学科平均分相等，但他们的方差不相等，正确评价他们的学习情况是( )A因为他们的平均分相等，所以学习水平一样B成绩虽然一样，方差较大，说明潜力大，学习态度踏实C表面上看这两个学生平均成绩一样，但方
13、差小的学习成绩稳定D平均分相等，方差不等，说明学习水平不一样，方差较小的同学，学习成绩不稳定，忽高忽低解析：方差小说明成绩稳定，方差大成绩不稳定，忽高忽低答案：C4甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示：甲乙丙丁x8.58.88.88s3.53.52.18.7则参加奥运会的最佳人选为_解析：由表可知乙、丙平均成绩最好，但丙方差比乙方差小，故成绩稳定，选丙答案：丙5.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛，他们每场比赛得分的情况的茎叶图如图所示，若甲运动员得分的中位数为a，乙运动员得分的众数为b，则ab_.解析：由茎叶图可知a19，b11.ab8.答
14、案：86某教师出了一份共 3 道题的测试卷，每道题 1分全班得 3 分、2 分、1 分和 0 分的学生所占比例甲乙7 9 807 8 55 7 911 1 33 4 622 0231 01407分别为 30%、50%、10%和 10%.(1)若全班共 10 人，则平均分是多少？(2)若全班共 20 人，则平均分是多少？解：(1)若全班共 10 人，则得 3 分的学生有 3 人，得 2 分的有 5 人，得 1 分的有 1 人，得 0 分的有1 人，故平均分2(分)；3 32 51 10 1 10(2)若全班共 20 人，则得 3 分、2 分、1 分和 0 分的学生分别有 6 人、10 人、2 人、2 人故平均分2(分)3 62 101 20 2 20
