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1、 A B C 1 2 正余弦定理例题解析正余弦定理例题解析例例 1 1在ABC中，如果a18，b24，A，则此三角形解的情况为( B ).45A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 不确定解： 由 bsinAab 故 有两解 选 B例例 2 2在ABC中，a，b，A，则c等于( C ).51530A. 2B. C. 2或D. 以上都不对5555解： 由 bsinAab 故 有两解 选 C例例 3 3在ABC中，abc357，则此三角形的最大内角是( B ).A. B. C. D.15012090135解：解：设a3k，b5k，c7k，由余弦定理易求得 cosC-，所以最大角C为.21120例
2、例 4 4(1) 在ABC中，若B，AB2，AC2，则ABC的面积是_.303(2) ABC中，若AB1，BC2，则角C的取值范围是_.解：(1) sinC，于是C或，故A或，23 230sin32601209030由SABC可得答案 2或.AACABsin2133(2) 如图所示，由已知得BC2AB，又ABC CAB sinsin sinC 又 0CA 0CAsin21 21 6 例例 5 5在ABC中，求证：a2sin2B+b2sin2A2absinC证明：由正弦定理知 Bb Aa sinsin22sin2sin2sin2sin2aBbAabBAabba故原式成立.sinsin2sinsi
3、n22(sincossincos)2sin()2sinsinsinABBAABBAABCBA例例 6 6在锐角三角形ABC中，A，B，C是其三个内角，记 求证：S1BAStan11 tan11 证明： 111tan1tan1tan1tan 1tan1tan(1tan)(1tan)1tantantantanABABSABABABAB ， ， cotBtanA即1， S1.90BA9090ABBA tantan例例 7 7在ABC 中，如果 lga-lgclgsinB-lg，且 B 为锐角，判断此三角形的形状.2解：由 lga-lgclgsinB-lg，得 sinB，222D C A B E 又
4、B 为锐角， B，又 得，45 22ca22 sinsinCA sinC2sinA2sin(-C)， sinCsinC+cosC，2135 cosC0 即 C， 故此三角形是等腰直角三角形.90例例 8 8已知 a，b，c 分别是ABC 三个内角 A，B，C 的对边. 若ABC 面积为，c2，A，求 b，a 的值.2360 若 acosAbcosB，试判断ABC 的形状，证明你的结论.解： 由已知得， b1.60sinsin21 23bAbc由余弦定理 a2b2+c2-2bccosA3， a.3 由正弦定理得：2RsinAa，2RsinBb，2RsinAcosA2RsinBcosB 即 sin
5、2Asin2B，由已知 A，B 为三角形内角， A+B或 AB，90ABC 为直角三角形或等腰三角形.例例 9 9如图所示，已知在梯形 ABCD 中 ABCD，CD2, AC，BAD，求梯形的高.1960解:作DEAB于E， 则DE就是梯形的高. BAD， 在RtAED中，有DE=AD ，即 DEAD. 6060sin23AD23下面求AD(关键)： ABCD，BAD， 在ACD中，ADC，60120又 CD2, AC， 19,cosADCCDADCDADAC2222即 12022219222cos)(ADAD解得AD3，(AD-5，舍). 将AD3代入， 梯形的高.233323 23ADDE例例1010如图所示, 在ABC中，若c4, b7，BC边上的中线AD, 求边长a.27解： AD是BC边上的中线， 可设CDDBx. c4, b7, AD, 在ACD中，有272 22772cos.2 7x Cx A 7 C D B 4 27在ACB中，有 2227(2 )4cos.2 7 2xCx 2 22 222777(2 )42,2 72 7 2xx xx x, a2x9.29
