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1、叠加、叠加、 叠乘、迭代递推、代数转化叠乘、迭代递推、代数转化已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或是转化为基本数列（等差或等比）的方法求通项第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的结构经验，才能顺利完成，对学生要求高第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法一、叠加相消叠加相消类型一：形如a1nan+ f (n)， 其中f (n) 为关于n的多项式或指数形式（an）
2、或可裂项成差的分式形式可移项后叠加相消例 1：已知数列an,a10,nN，a1nan（2n1） ，求通项公式an解：a1n=an（2n1）a1n=an（2n1） a2a1 =1 、a3a2=3 、 ana1n=2n3 an= a1(a2a1)(a3a2)(ana1n)=0135(2n3)=211(2n3)( n1)=( n1)2 nN练习 1：.已知数列an,a1=1, nN，a1n=an3 n ， 求通项公式an.已知数列an满足a13，) 1(21nnaann，nN，求an二、叠乘相约二、叠乘相约类型二：形如)(1nfaann.其中f (n) =ppcmnbmn )()( （p0，m0,b
3、 c = km,kZ）或 nn aa1=kn（k0）或nn aa1= kmn( k 0, 0m且m 1)例 2：已知数列an, a1=1，an0,( n1) a1n2 n an2a1nan=0，求an解：( n1) a1n2 n an2a1nan=0 (n1) a1nnan(a1nan)= 0 an0 a1nan 0 (n1) a1nnan=0 11 nn aann nnn nn nnaaa aa aa aaannnnnn n1121 23 121 1 1232211LL练习 2：已知数列an满足Sn= 2nan( nN*), Sn是 an的前n项和,a2=1,求an.已知数列an满足a1n=
4、 3 nan( nN*)，且a1=1，求an三、逐层迭代递推三、逐层迭代递推类型三：形如a1n= f (an)，其中f (an)是关于an的函数.需逐层迭代、细心寻找其中规律例 3：已知数列an ，a1=1, nN，a1n= 2an3 n ,求通项公式an解： a1n= 2 an3 n an=2 a1n3 n-1 =2(2 a2n3 n-2)3 n-1 = 22(2 a3n3 n-3)23 n-23 n-1=2 n-2(2 a13 )2 n-33 22 n-43 32 n-53 4223 n-323 n-23 n-1=2 n-12 n-23 2 n-33 22 n-43 3223 n-323
5、n-23 n-1nnnn 2323123121 练习 3:.若数列an中，a1=3，且a1n=a2 n（nN） ，求通项an.已知数列an的前n项和 Sn满足 Sn=2an+n1，nN,求通项an四、运用代数方法变形，转化为基本数列求解四、运用代数方法变形，转化为基本数列求解类型四：形如1nnaa= 1nnqapa， （pq 0） 且0na的数列，可通过倒数变形为基本数列问题当p = q时，则有：paann1111转化为等差数列；当p q时，则有：ppaq ann111同类型五转化为等比数列例 4：若数列an中，a1=1，a1n=22 nn aanN，求通项an解： 221 nn naaa又,
6、 011aQ 0na ， nnaa1 2111 21111nnaa111a数列 an是首项为 1，公差为21的等差数列na1=1121n an=12 nnN练习 4：已知f (n) = xx 32，数列 an满足 a1=1，an=23f (a1n)，求an类型五：形如a1npan+ q ,pq0 ，p、q为常数当p 1 时，为等差数列；当p 1 时，可在两边同时加上同一个数x，即a1n+ x = pan+ q + x a1n+ x = p(an+ pxq )， 令x =pxq x =1pq时，有a1n+ x = p(an+ x )，从而转化为等比数列 an+ 1pq 求解例 5：已知数列an中
7、，a1=1，an= 21a1n+ 1，n= 1、2、3、，求通项an解： an= 21a1n+ 1 an2 =21(a1n2) 又a12 = -10 数列 an2首项为-1，公比为21的等比数列 an2 = -11)21(n即 an= 2 2n1nN练习 5：.已知 a1=1，an= 2 a1n+ 3 (n = 2、3、4) ，求数列an的通项. 已知数列an满足a1= 21，a1n=12 nn aa，求an类型六：形如a1npan+ f (n)，p0 且 p为常数，f (n)为关于n的函数当p 1 时，则 a1nan+ f (n) 即类型一当p 1 时，f (n)为关于n的多项式或指数形式（
8、an）或指数和多项式的混合形式若f (n)为关于n的多项式（f (n) = kn + b或kn2+ bn + c，k、b、c为常数） ，可用待定系数法转化为等比数列例 6：已知数列 an满足a1=1，a1n= 2ann2，nN求an解：令a1n+ xa(n+1)2+ b(n+1) + c = 2(an+ an2+ bn + c) 即 a1n= 2 an+ (2aax)n2+ (2b -2ax bx)n +2c ax bx cx 比较系数得：0202212cxbxaxcbxaxbaxa xbxaxcxaxbxa22221 令x = 1，得： 321cba a1n+ (n+1)2+2(n+1) +
9、 3 = 2(an+ n2+2n + 3) a1+1+21+3 = 7令bn= an+ n2+2n + 3 则 b1n= 2bn b1= 7 数列 bn为首项为 7，公比为 2 德等比数列 bn= 7 21n即 an+ n2+2n + 3 = 7 21n an= 7 21n( n2+2n + 3 ) nN若f (n)为关于n的指数形式（an） 当p不等于底数a时，可转化为等比数列；当p等于底数a时，可转化为等差数列例 7：（同例 3）若a1=1，an= 2 a1n+ 31n，(n = 2、3、4) ，求数列an的通项an解: an= 2 a1n+ 31n 令an+ x3n= 2(a1n+x31
10、n) 得 an= 2 a1nx31n令-x3n= 3nx = -1 an3n= 2(a1n31n) 又 a13 = - 2 数列n na3是首项为-2,公比为 2 的等比数列n na3=-221n即an= 3n-2nnN例 8：数列 an中,a1=5 且an=3a1n+ 3n-1 (n = 2、3、4) 试求通项an解： an=3a1n+ 3n-1 an)21(321 1na 3n132132111 nnnnaanna321 是公差为 1 的等差数列nna321 =321 1a +(1n) = 3215 +(1n) = n +21an= (213)21nn nN若f (n)为关于n的多项式和指
11、数形式（an）的混合式，则先转换多项式形式在转换指数形式例如上面的例 8练习 6:.已知数列an中a1= 1,a1n= 3 an+ n , Nn; 求an的通项设a0为常数，且an= 31n2 a1n(nN且n 2 )证明：对任意n 1，an= 513n+ (-1)1n2n +(-1)n2na0类型七：形如a2n= p a1n+ q an( pq 0， p、q为常数且p2+ 4q 0 )，可用待定系数法转化为等比数列例 9: 已知数列an中a1= 1, a2= 2 且nnnaaa212, Nn; 求an的通项解:令a2n+x a1n= (1+x) a1n+ 2 an a2n+x a1n= (1
12、+x)( a1n+ x12an)令x =x12x2+ x 2 = 0 x = 1 或 -2当x = 1 时,a2n+ a1n=2(a1n+ an) 从而a2+ a1= 1 + 2 = 3数列 a1n+ an是首项为 3 且公比为 2 的等比数列. a1n+ an= 312n 当x = - 2 时, a2n- 2a1n= - (a1n-2an) , 而 a2- 2a1= 0 a1n- 2an= 0 DABC由、得:an= 21n, Nn练习 7：已知: a1= 2, a2= 35, nnnaaa32 35 12,(n = 1、2、3、),求数列 an的通项已知数列：1、1、2、3、5、8、13、
13、，根据规律求出该数列的通项五、数列的简单应用五、数列的简单应用. .例 10:设棋子在正四面体 ABCD 的表面从一个顶点移向另外三个顶点时等可能的.现抛掷骰子,根据其点数决定棋子是否移动,若投出的点数是奇数,则棋子不动；若投出的点数是偶数,棋子移动到另外一个顶点.若棋子初始位置在顶点 A，则: 投了三次骰子,棋子恰巧在顶点 B 的概率是多少? 投了四次骰子,棋子都不在顶点 B 的概率是多少? 投了四次骰子,棋子才到达顶点 B 的概率是多少？ 分析：考虑最后一次投骰子分为两种情况 最后一次棋子动；最后一次棋子不动 解： 事件投一次骰子棋子不动的概率为21；事件投一次骰子棋子动且到达顶点 B 的概率为31 21 =61投了三次骰子,棋子恰巧在顶点 B 分为两种情况.最后一次棋子不动，即前一次棋子恰在顶点 B；.最后一次棋子动，且棋子移动到 B 点设投了i次骰子，棋子恰好在顶点 B 的概率为pi，则棋子不在顶点 B 的概率为(1- pi)所以，
