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1、17、高考解答题典型方法之数列新课程全国卷的试卷结构是固定的，一般来说，第 17 题考查三角函数或数列问题，并且分为两个小问，难度为中等，但是要获得满分，需要应用公式正确，计算快速熟练，书写规范。一基础知识整合1.熟记等差数列、等比数列的通项公式的两种形式；前n项和公式.2.正确理解等差数列、等比数列的性质，优化解题思路.3.正确理解数列的通项与前n项和的关系.nanS4.正确应用等差数列、等比数列定义或等差中项、等比中项进行证明.5.熟悉并掌握数列的求和方法：裂项法、并项法、倒序相加法、错位相减法.6.掌握简单的递推数列及其求解方法.二、高考题型分析在新课程全国卷的考查中，目前数列内容是安排
2、在 17 题进行，难度为中等，试题入口一般为三个方向：（1）由等差数列、等比数列出发构建题设关系；（2）由数列的通项与前项和构建题设关系；（3）由简单的递推数列构建题设关系.n数列求和问题是数列中的重要知识环节，在各地的高考试题中频频出现，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式；而非等差数列、非等比数列的求和问题，一般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等等差数列与等比数列、数列与函数、数列与不等式、数列与概率、数列的实际应用等知识交汇点的综合问题是近几年高考的重点和热点，此类问题在客观题和解答题中都有所体现，难度不一，求解此类问题的主要方法是利用转化与化归的思想，
3、根据所学数列知识及题目特征，构造出解题所需的条件（一）对等差数列、等比数列的综合考查1. （等差数列、等比数列与不等式）已知是等比数列的前项和，成等nSnan4S2S3S差数列，且.23418aaa （）求数列的通项公式；na（）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存n2013nS n在，说明理由2. （等差数列与错位相减法）设等差数列的前n项和为nS，且244SS ,na122nnaa()求数列的通项公式na()设数列满足， ，求的前n项和nT nb1212112n n nbbb aaa *nN nb（二）对数列的通项与前项和的考查nannS3.（等比数列与错位相减法
4、）设为数列的前项和，已知，nSnan01a，112nnaaSS*nN（）求，并求数列的通项公式；1a2ana（）求数列的前项和.nnan4.（等差数列、等比数列与倒序相加法）设表示数列na的前n项和. nS（）若na为等差数列, 推导的计算公式; nS（）若11,0aq, 且对所有正整数n, 有1 1nnqSq. 判断na是否为等比数列. （三）对简单的递推数列的考查5. （等比数列与递推数列、比较法证明不等式）设数列的首项na1 13(01)2n naaa, ,，2 3 4n ，. . .（1）求的通项公式；na（2）设，证明，其中为正整数32nnnbaa1nnbbn6. （等比数列的证明、
5、简单的递推数列的求解）在数列中，na11111,(1)2nnnnaaan（）设，求数列的通项公式n nabn nb（）求数列的前项和nannS（四）数列求和的应用7.（前项和与通项的关系、裂项法求和、数列与不等式）n正项数列的前项和满足：nannS222(1)()0nnSnnSnn（1）求数列的通项公式；nana（2）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有221 (2)n nnbna nbnnT*nN5 64nT 8. （等比数列的证明、裂项法求和）已知数列的首项前项和为且na, 11an,nS., 3 , 2 , 1, 1221 1 nSan nn（）设证明数列是等比数列；, 3 , 2
6、 , 1,2nabn nnnb（）设求的前项和.1 12,1,2,3,(1 3)(1 3)nnnn nncnaa ncnnT（五）对数列与不等式的考查9.（等比数列、不等式与分类讨论）已知等比数列满足：，. na2310aa123125a a a （）求数列的通项公式； na（）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，m121111maaam说明理由。10.（等差数列与等比数列的综合、不等式与分类讨论）已知首项为的等比数列的前3 2nan项和为()，且成等差数列nS*nN2342,4SSS（1）求数列的通项公式；na（2）证明()113 6n nSS*nN11. （简单的递推数列、
7、等比数列的证明、不等式与放缩法） 已知数列满足na.111,31nnaaa（1）证明是等比数列，并求的通项公式；12na na（2）证明121113.2naaa12. （前项和与通项的关系、等差数列与不等式、裂项法求和）n已知数列 na满足对任意的，都有0na ，且*nN2333 1212nnaaaaaa（1）求1a，2a的值；（2）求数列 na的通项公式na；（3）设数列的前n项和为nS，不等式1log13naSa对任意的正整数n恒成立，21nna a求实数a的取值范围17、高考解答题典型方法之数列新课程全国卷的试卷结构是固定的，一般来说，第 17 题考查三角函数或数列问题，并且分为两个小问
8、，难度为中等，但是要获得满分，需要应用公式正确，计算快速熟练，书写规范。一基础知识整合1.熟记等差数列、等比数列的通项公式的两种形式；前n项和公式.2.正确理解等差数列、等比数列的性质，优化解题思路.3.正确理解数列的通项与前n项和的关系.nanS4.正确应用等差数列、等比数列定义或等差中项、等比中项进行证明.5.熟悉并掌握数列的求和方法：裂项法、并项法、倒序相加法、错位相减法.6.掌握简单的递推数列及其求解方法.二、高考题型分析在新课程全国卷的考查中，目前数列内容是安排在 17 题进行，难度为中等，试题入口一般为三个方向：（1）由等差数列、等比数列出发构建题设关系；（2）由数列的通项与前项和
9、构建题设关系；（3）由简单的递推数列构建题设关系.n数列求和问题是数列中的重要知识环节，在各地的高考试题中频频出现，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式；而非等差数列、非等比数列的求和问题，一般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等等差数列与等比数列、数列与函数、数列与不等式、数列与概率、数列的实际应用等知识交汇点的综合问题是近几年高考的重点和热点，此类问题在客观题和解答题中都有所体现，难度不一，求解此类问题的主要方法是利用转化与化归的思想，根据所学数列知识及题目特征，构造出解题所需的条件（一）对等差数列、等比数列的综合考查1. （等差数列、等比数列与不等式）已知
10、是等比数列的前项和，成等nSnan4S2S3S差数列，且.23418aaa （）求数列的通项公式；na（）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存n2013nS n在，说明理由解：（）设数列的公比为，则，. 由题意得naq10a 0q 解得 23 2431111112 234122()2()18(1)18,SSSaa qaa qa qa qaaaa qqq 13, 2.a q 故数列的通项公式为. na1*3( 2),n nanN（）由（）有 . 3 1( 2) 1( 2)1( 2)n n nS 若存在，使得，则，即 n2013nS 1( 2)2013n ( 2)2012
11、.n 当为偶数时， 上式不成立；当为奇数时，即，n( 2)0nn( 2)22012nn 22012n则.11n 综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的n的集合为. n21,5n nkkN k点评：本题入口较浅，第一问很基础，第二问考查分类讨论，同时对规范表达有一定的要求.2. （等差数列与错位相减法）设等差数列的前n项和为nS，且244SS ,na122nnaa()求数列的通项公式na()设数列满足， ，求的前n项和nT nb1212112n n nbbb aaa *nN nb解：() 设等差数列的首项为，公差为，由244SS ,122nnaa得na1ad解得.因此.11111144 34(
12、)2 212211adaadandand 11,2ad*21,nannN()由已知， 当时，；1212112n n nbbb aaa 1n 111 2b a当时，从而 .2n 112 1 121112n n nbbb aaa 11111(1)222n nnn nb a 所以，由() 知1 2n n nb a*nN*21,nannN所以 ，21 2nnnb*nN又 ， ，2313521 2222nnnT2311132321 22222nnnnnT两式相减得，2311122221()222222nnnnT113121 222nnn所以 .2332nnnT点评：第一问比较简单，可是第二问的方法明显要
13、求较高，先考查前项和与通项的方法，n而且考查的形式是展开式的形状，没有出现，增加了难度，随后再1212n n nbbbQaaa考查错位相减法求和，难度适中.（二）对数列的通项与前项和的考查nannS3.（等比数列与错位相减法）设为数列的前项和，已知，nSnan01a，112nnaaSS*nN（）求，并求数列的通项公式；1a2ana（）求数列的前项和.nnan解： ()当时，当时，1n 2 111112aaSSa110,1.aa2n 22222112aSaa 由已知得，相减得21nnaS 1121nnaS 1111222nnnnnnnaaSSaaa所以 是以为公比， 为首项的等比数列，na211
14、*2,n nanN（）由()可知，数列即，记其前项和为nna12nnnnT则 212311 12 23 2221 22 23 2(1) 22nnn nnTnTnn 相减得 211 2122.2222121 (1)21 2n nnnnnn nTnnnn .(1) 21n nTn点评：本题考查关系及其变形，等比数列的证明，错11,1,2n nnSnaSSn11nnnaSS位相减法求和.4.（等差数列、等比数列与倒序相加法）设表示数列na的前n项和. nS（）若na为等差数列, 推导的计算公式; nS（）若11,0aq, 且对所有正整数n, 有1 1nnqSq. 判断na是否为等比数列. 解：() 设公差为,则dnaan) 1(1，则d)()()()(2111121 121121aaaaaaaaSaaaaSaaaaSnnnnn nnnnnn 1 11()12()(1)22n nnnn aaSn aaSnan nd() 由题知11,0,aq1q nnnn
