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1、2.3 函数的奇偶性与周期性,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,自测点评,1.函数的奇偶性,f(-x)=-f(x),原点,g(-x)=g(x),y轴,-3-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,2.奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相同”“相反”). (2)在公共定义域内 两个奇函数的和函数是 ,两个奇函数的积函数是 . 两个偶函数的和函数、积函数是 . 一个奇函数,一个偶函数的积函数是 . (3)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.,相同,相反,奇函数,偶函数,偶函数,奇函数
2、,-4-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,3.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)= ,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.,f(x),存在一个最小,-5-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,4.函数周期性三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x, (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;,2,-6-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,自测点评,
3、1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)函数y=x2,x(0,+)是偶函数. ( ) (2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0. ( ) (3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. ( ) (4)若函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数. ( ) (5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在(-,0)内是减函数,则f(x)在(0,+)内是增函数. ( ) (6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT
4、(nZ)是函数f(x)的周期. ( ),答案,-7-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,2.已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数,那么a+b的值是( ),答案,解析,-8-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x(1+x),则当x0时,f(x)的解析式为( ) A.f(x)=x(1+x) B.f(x)=x(1-x) C.f(x)=-x(1+x) D.f(x)=x(x-1),答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,4. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数
5、,当x0时,f(x)=x(1+x),则当x0时,-x0,此时f(x)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x). 故对于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,例2(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点所构成的集合为( ) A.1,3 B.-3,-1,1,3(3)已知函数f(x)为奇函数,当x0时,f(x)=x2-x,则当x0时,函数f(x)的最大值为 . (4)已知函数g(x)是定义在
6、-2,2上的偶函数,当x0时,g(x)单调递减,若g(1-m)0时,f(x)=x3-8,则x|f(x-2)0=( ) A.x|-22 B.x|04 C.x|x2 (4)设a,bR,且a2,若定义在区间(-b,b)内的函数 是奇函数,则a+b的取值范围为 .,答案,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)由f(x)与g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,知f(-1)=f(1),g(-1)=-g(1). 又f(x)-g(x)=x3+x2+1, 故可令x=-1,得f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1, 即f(1)+g(1)=1.故选C.,-23-,考点1,考点2
7、,考点3,考点4,(3)当x=2时,有f(2)=0,因为f(x)为奇函数,所以f(-2)=0,作出f(x)的大致图象,由图象可知,当-22,即04时,有f(x-2)0,故选B.,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,例3(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1x3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 015)等于 ( ) A.335 B.336 C.1 678 D.2 0122x3时,f(x)=x,则f(105.5)= . 思考函数周期性的主要应用是什么?,答案,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,
8、解析: (1)f(x+6)=f(x), 函数f(x)的周期T=6. 当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2; 当-1x3时,f(x)=x, f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0, f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0, f(1)+f(2)+f(6)=1.又f(2 016)=f(0)=0, f(1)+f(2)+f(3)+f(2 015)=336.,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,函数f(x)的周期为4. f(105.5)=f(427-2.5)=f(-2.5)=f(2.5). 22.53,f(2.5)=2.5. f(105.5)
9、=2.5.,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得利用函数的周期性,可将函数在其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为在已知区间上的相应问题进行求解.,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3(1)已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x+2)=-f(x),当2x3时,f(x)=x,则f(2 018)= . (2)已知偶函数f(x)对任意xR,都有f(x+3)= ,且当x-3,-2时,f(x)=2x,则f(113.5)的值为 .,答案,解析,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,例4(1)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=-f(x),
10、若f(x)在-1,0上是减函数,则f(x)在1,3上是( ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数,A.(-,-1) B.(-1,2) C.(0,2) D.(1,2) 思考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性 综合问题的策略有哪些?,答案,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)由f(x)在-1,0上是减函数,又f(x)是R上的偶函数,故f(x)在0,1上是增函数. 由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f(x+1)+1=-f(x+1)=f(x),故2是函数f(x)的一个周期. 结合以上性质,画出f(x)的部分草图,如图所示.,由图象可以观察出,f
11、(x)在1,2上为减函数,在2,3上为增函数.故选D.,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略: (1)函数的单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反. (2)函数的周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解. (3)函数的周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,答案,
12、对点训练4(1)已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(2 018)的值为( ) A.2 B.0 C.-2 D.2 (2)(2017山西晋中模拟)已知f(x)是R上的奇函数,f(1)=2,且对任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,则f(2 017)= .,-34-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)g(-x)=f(-x-1), -g(x)=f(x+1). 又g(x)=f(x-1), f(x+1)=-f(x-1). f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 则f(x)是以4为周期的
13、周期函数, f(2 018)=f(2)=2.,-35-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)因为f(x)是R上的奇函数, 所以f(0)=0. 又对任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3), 所以当x=-3时,有f(3)=f(-3)+f(3)=0, 所以f(-3)=0,f(3)=0, 所以f(x+6)=f(x),周期为6. 故f(2 017)=f(1)=2.,-36-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:(1)“定义域关于原点对称”是“函数f(x)为奇函数或偶函数”的必要不充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇函数、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数进行化简,或应用定义的等3.函数的奇偶性、定义域关于原点的对称性、周期性,知二断一.特别注意“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0;偶函数一定有f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.,
